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25．2.4　一元二次方程的根与系数的关系
· 预习导学 ·
知识点一　利用根与系数的关系求相关代数式的值
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝________，x1x2＝________．
练习1　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个根是x1，x2，请利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)x＋x；　　　(2)＋.
知识拓展　重要变形：　　　　　　　　
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2.
(3)＋＝.
(4)＋＝.
知识点二　已知一元二次方程的一个根，求另一个根
练习2　已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.若－1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．
知识点三　利用根与系数的关系及已知条件求方程中参数的值(范围)
练习3　已知关于x的方程x2－2ax＋5＋2a＝0的两个根的平方和为14，求a的值．
解后反思　当利用根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数代回验证Δ≥0，因为根与系数的关系是在一元二次方程中Δ≥0的前提下使用的．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．下列一元二次方程中，两个实数根的和为－4的是(　　).
A．x2＋2x－4＝0　　 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
2．在下列方程中，以3，－4为根的一元二次方程是(　　).
A．x2－x－12＝0 B．x2＋x－12＝0
C．x2－x＋12＝0 D．x2＋x＋12＝0
3．若一元二次方程－3x2＋6x＋m＝0的一个根为3，则该方程的另一个根是(　　).
A．－1　　 B．－3　
C．－5　 　D．5
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．
5．已知一元二次方程x2＋4x－5＝0的两个实数根为x1和x2 ，则x1＋x2＋x1x2的值为________．
能力达标
6．已知实数x1，x2(x1≠x2)是关于x的方程kx2＋2kx＋1＝0(k≠0)的两个根．若＋＝2，则k的值为(　　).
A．1 B．－1
C． D．－
7．(教材P18习题T11变式)若实数x1，x2是关于x的方程x2＋mx－3m＝0的两个根，且x＋x＝7，则m的值为________．
8．已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值．
挑战创新
9．阅读材料．
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，求＋的值．
解：由题意，知m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m＋n＝1，mn＝－1，所以＋＝＝＝＝－3.
根据上述材料解决以下问题．
(1)材料理解：一元二次方程5x2＋10x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________．
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2－7m－1＝0，7n2－7n－1＝0，且m≠n，求m2n＋mn2的值．
(3)思维拓展：已知实数s，t分别满足7s2＋7s＋1＝0，t2＋7t＋7＝0，且st≠1.求的值．
参考答案
知识点
－；
练习
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.
练习2：把x＝－1代入方程，得1＋m－2＝0，解得m＝1.
所以原方程为x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
所以方程的另一个根是2.
故m的值为1，方程的另一个根是2.
练习3：设方程的两个根为x1，x2，
则x1＋x2＝2a，x1x2＝5＋2a.
因为x＋x＝14，
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝14，
所以4a2－2(5＋2a)＝14，
所以a2－a－6＝0，
所以(a－3)(a＋2)＝0，
所以a＝3，或a＝－2.
当a＝3时，方程为x2－6x＋11＝0，Δ＝36－44＝－8<0，方程没有实数根，舍去；
当a＝－2时，方程为x2＋4x＋1＝0，Δ＝16－4＝12>0，方程有实数根，符合题意．
故a＝－2.
基础巩固
1.D
2.B
3.A
4.－3
5.－9
能力达标
6.B
7.1
8.(1)【证明】由题意，得Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1·(－3m2)＝4＋12m2.
因为12m2≥0，
所以4＋12m2≥4>0，
所以该方程总有两个不相等的实数根．
(2)【解】由根与系数的关系可知，
α＋β＝2，αβ＝－3m2.
因为α＋2β＝5，
所以α＝5－2β，
所以5－2β＋β＝2，
解得β＝3，α＝－1，
所以－3m2＝－1×3＝－3，
解得m＝±1.
故m的值为1或－1.
挑战创新
9.(1)－2　－
(2)因为7m2－7m－1＝0，7n2－7n－1＝0，且m≠n，
所以m，n可看作方程7x2－7x－1＝0的两个根，
所以m＋n＝1，mn＝－，
所以m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－×1＝－.
(3)把t2＋7t＋7＝0变形为7·＋7·＋1＝0，
实数s和可看作方程7x2＋7x＋1＝0的两个根，
所以s＋＝－1，s·＝，
所以＝2s＋7·＋＝2＋7·＝2×(－1)＋7×＝－1.

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