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　 　　　　　　25.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　用一元二次方程解决几何图形问题
· 预习导学 ·
知识点　几何图形问题
练习1　现有一条长为64 cm的绳子．
(1)当这条绳子围成的矩形面积为240 cm2时，矩形的长和宽分别为多少厘米？
(2)能围成面积为270 cm2的矩形吗？如果能，请求出长和宽；如果不能，请说明理由．
练习2　(教材P24习题T7变式)如图，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，求小路的宽．
基础巩固
1．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1 000 m2的矩形绿地，并且长比宽多30 m，设绿地长为x m，根据题意可列方程为(　　).
A．x(x＋30)＝1 000
B．x(x－30)＝1 000
C．2x(x＋30)＝1 000
D．2x(x－30)＝1 000
2．(教材P24习题T9变式)如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等．若要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，设彩条的宽为x cm，根据题意可列方程为(　　).
A．(20－2x)(30－2x)＝20×30×
B．(20－2x)(30－2x)＝20×30×　
C．(20－x)(30－x)＝20×30×
D．(20－x)(30－x)＝20×30×
3．如图，某小区准备用总长为30 m的篱笆围成矩形花圃ABCD，花圃一面靠墙(墙足够长)，且花圃中间隔有一道垂直于墙的篱笆，当矩形花圃ABCD的面积是72 m2时，AB的长为________m.
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向点B以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度运动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间△PBQ的面积是4 cm2.
能力达标
5．图1是一张长28 cm，宽16 cm的矩形纸片，将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图2所示的底面积为80 cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为(　　).
　
A．(28－2x)(16－2x)＝80
B．(28－2×2x)(16－2x)＝80
C.(16－2x)＝80
D．(28－2x)(16－2x)＝80
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝7 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．当四边形APQC的面积为13 cm2时，则点P运动的时间是________s.
7．在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6 m2.已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度．
8．如图，学校计划在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为42 m)，其他的边用总长73 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m.
(1)求车棚的长BC.(用含x的代数式表示)
(2)若矩形车棚ABCD的面积为450 m2，求车棚的长和宽．
(3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
挑战创新
9．综合与实践——用矩形硬纸板制作无盖纸盒．如图1，有一张长30 cm，宽16 cm的长方形硬纸板，裁去角上同样大小的四个小正
方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．(硬纸板厚度忽略不计)
　　
(1)若剪去的正方形的边长为2 cm，则纸盒底面长方形的长为________cm，宽为________cm.
(2)若纸盒的底面积为240 cm2，请计算剪去的正方形的边长．
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm2，请计算剪去的正方形的边长．
参考答案
练习
练习1：(1)设矩形的长为x cm，
则宽为＝(32－x)cm.
依题意，得x(32－x)＝240，
整理，得x2－32x＋240＝0，
解得x1＝12，x2＝20.
当x＝12时，32－x＝32－12＝20>12，不符合题意，舍去；
当x＝20时，32－x＝32－20＝12<20，符合题意．
答：当矩形面积为240 cm2时，矩形的长为20 cm，宽为12 cm.
(2)不能围成．理由如下：
设矩形的长为y cm，
则宽为＝(32－y)cm.
依题意，得y(32－y)＝270，
整理，得y2－32y＋270＝0.
因为Δ＝b2－4ac＝(－32)2－4×1×270＝－56<0，所以该方程无解，
所以不能围成面积为270 cm2的矩形．
练习2：设小路的宽为x m，则长方形花坛的长为(16－2x)m，宽为(12－2x)m.
由题意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12，
整理，得x2－14x＋24＝0，
解得x1＝2，x2＝12(不合题意，舍去)，
所以小路的宽为2 m．
· 课时作业 ·
基础巩固
1.B
2.B
3.4或6
4.5÷1＝5(s)，6÷2＝3(s).
设运动时间为t(0≤t≤3)s，
则AP＝t cm，BP＝(5－t)cm，BQ＝2t cm.
根据题意，得BP·BQ＝4，
即(5－t)·2t＝4，
整理，得t2－5t＋4＝0，
解得t1＝1，t2＝4(舍去).
答：经过1 s △PBQ的面积是4 cm2.
能力达标
5.D
6.3
7.设花边的宽度为x m，
则(2－2x)(1.4－2x)＝1.6，
所以10x2－17x＋3＝0，
解得x1＝0.2，x2＝1.5(不合题意，舍去)，
答：花边的宽度为0.2 m．
8.(1)因为不锈钢栅栏的总长为73 m，左右两侧各开一个1 m的出口，且车棚的宽AB为x m，
所以车棚的长BC为(73＋2－3x)m，即(75－3x)m.
(2)根据题意，得(75－3x)x＝450，
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，75－3x＝75－3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；当x＝15时，75－3x＝75－3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30 m，宽为15 m.
(3)不能围成面积为525 m2的自行车车棚．理由如下：
假设能围成面积为525 m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝(75－3y)m.
根据题意，得(75－3y)y＝525，
整理，得y2－25y＋175＝0.
因为Δ＝(－25)2－4×1×175＝－75＜0，
所以方程没有实数根，
所以假设不成立，
即不能围成面积为525 m2的自行车车棚．
挑战创新
9.(1)26　12
(2)设剪去的正方形的边长为x cm.
根据题意，得(30－2x)(16－2x)＝240，
解得x1＝20(不合题意，舍去)，x2＝3.
答：剪去的正方形的边长为3 cm.
(3)设剪去的正方形的边长为y cm.
根据题意，得30×16－2y2－2·＝412，
解得y1＝－17(不合题意，舍去)，y2＝2.
答：剪去的正方形的边长为2 cm.

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