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第3课时　用一元二次方程解决平均变化率问题与销售等问题
· 预习导学 ·
知识点一　平均变化率问题
练习1　某小区新增了一家快递驿站，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递驿站揽件的日平均增长率为________．
归纳总结　平均变化率问题：设a为起始量，b为终止量，n为增长(或降低)的次数，则平均增长率公式为a(1＋x)n＝b(x为平均增长率)；平均降低率公式为a(1－x)n＝b(x为平均降低率).
知识点二　销售问题
练习2　某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后甲与其他两位成员乙、丙交流的情况．
甲：“该商品的进价为24元/件．”成员乙：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”成员丙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，要使该商品每天获利7 680元，应该怎样合理定价？
归纳总结　销售利润问题：利润＝售价－进价；
利润率＝×100%＝×100%；
售价＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量．
知识点三　循环问题
练习3　(教材P24习题T3变式)《教育强国建设规划纲要(2024—2035年)》中指出，要落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，加强校园足球建设，有效控制近视率、肥胖率．某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场．
(1)如果有4支球队参加比赛，那么共需进行________场比赛．
(2)如果全市共需进行28场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
归纳总结　循环问题：设有n个元素，则单循环的总次数为n(n－1)，双循环的总次数为n(n－1).
· 课时作业 ·
基础巩固
1．(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，7月产值增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　).
A．2 500(1＋x)2＝9 100
B．2 500(1－x)2＝9 100
C．2 500(1－2x)2＝9 100
D．2 500(1＋2x)2＝9 100
2．某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2月和3月的总营业额为1 000万元，如果平均每月增长率为x，由题意可列出的方程为(　　).
A．200(1＋x)2＝1 000
B．200＋200×2x＝1 000
C．200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 000
D．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 000
3．某超市以每袋10元的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为(　　).
A．(16－x－10)(200＋80x)＝1 440
B．(16－x)(200＋80x)＝1 440
C．(16－x－10)(200－80x)＝1 440
D．(16－x)(200－80x)＝1 440
4．某中学九年级(2)班学生毕业时，老师要求每位同学给班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共写了2 070条祝福语，问九年级(2)班共有多少名学生？设九年级(2)班共有x名学生，则可列方程为(　　).
A．x2＝2 070
B．x(x＋1)＝2 070
C．x(x－1)＝2 070
D．x(x－1)＝2 070
5．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场．设共有x队参加比赛，则下列方程符合题意的是(　　).
A．x(x＋1)＝90
B．x(x＋1)＝90
C．x(x－1)＝90
D．x(x－1)＝90
6．俗语有云：一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．其大意为：知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程(　　).
A．(1－x)2＝50%
B．(1＋x)2＝50%
C．1－2x＝50%
D．(1－x)(1＋x)＝50%
7．某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为________．
8．象棋作为我国的传统棋类项目，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级(1)班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每名选手都与其他选手比赛一局，信息如下：
·每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两名选手各记1分．
·班主任统计了全班比赛得分共1 980分．
(1)若该班级共有n名参赛选手，则每名选手都要与________名选手比赛一局，比赛总共有________局．
(2)这次比赛共有多少名选手参加？
能力达标
9．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每星期的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)之间满足一次函数y＝－20x＋1 000，若要使该企业每星期销售这种零件可获利6 000元，则每个零件的售价应定为(　　).
A．25元 B．20元或40元
C．40元 D．20元
10．某商店统计某品牌头盔的销售量，4月份售出350个，6月份售出504个，假设从4月份到6月份头盔销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6 000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌的头盔每个应涨价多少元？
11．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示．
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
　　(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
12．已知某产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件.为吸引客流量，该商家承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为多少？
(2)求出日销售量y(单位：件)关于售价x(单位：元/件)的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)该产品的售价每件定为多少元时，商家每天可盈利1 200元？
挑战创新
13．根据以下素材，完成任务．
素材1 泥塑，俗称“彩塑”，是我国一种历史悠久、流传广泛的传统民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1 000件，同年9月份制作泥塑1 440件．
素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件．
问题解决
任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率．
任务2 为使月销售利润达到6 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元？
参考答案
练习
练习1：20%
练习2：设每件涨价x元，则每件的利润为(40－24＋x)元，每日可售出(480－20x)件．
依题意，得(40－24＋x)(480－20x)＝7 680.
整理，得x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝8，
所以40＋x1＝40，或40＋x2＝48.
设每件降价y元，则每件的利润为(40－24－y)元，每日可售出(480＋40y)件．
依题意，得(40－24－y)(480＋40y)＝7 680.
整理，得y2－4y＝0，解得y1＝0，y2＝4，
所以40－y1＝40，或40－y2＝36.
答：当定价为36元/件或40元/件或48元/件时，该商品每天获利7 680元．
练习3：(1)6
(2)设有x支球队参加比赛．
根据题意，得x(x－1)＝28，
解得x1＝8，x2＝－7(不合题意，舍去).
答：有8支球队参加比赛．
基础巩固
1.A
2.C
3.A
4.D
5.D
6.A
7.10%
8.(1)(n－1)　n(n－1)
(2)设这次比赛共有n名选手参加．
依题意，得n(n－1)×2＝1 980，
解得n1＝45，n2＝－44(不合题意，舍去).
答：这次比赛共有45名选手参加．
能力达标
9.D
10.(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.
由题意，得350(1＋x)2＝504，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌的头盔每个应涨价m元．
由题意，得(10＋m)(500－20m)＝6 000，
整理，得m2－15m＋50＝0，
解得m1＝5，m2＝10.
因为要尽可能让顾客得到实惠，
所以m＝5.
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
11.(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋t(k≠0).
将(45，55)，(55，45)分别代入y＝kx＋t，
得解得
所以y关于x的函数解析式为y＝－x＋100.
(2)该商品日销售额不能达到2 600元．理由如下：
依题意，得x(－x＋100)＝2 600，
整理，得x2－100x＋2 600＝0，
所以Δ＝b2－4ac＝(－100)2－4×1×2 600＝－400<0，
所以该方程无解，
所以该商品日销售额不能达到2 600元．
12.(1)设当产品售价为x元/件时，销售量为30件．
依题意，得2×(110－x)＋20＝30，
解得x＝105，
即当销售量为30件时，产品售价为105元/件．
(2)依题意，得y＝2×(110－x)＋20＝－2x＋240.
因为已知该产品的进货价为70元/件，且该商家承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
所以70≤x≤99，
所以日销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)的函数解析式为y＝－2x＋240(70≤x≤99).
(3)该产品的售价每件定为x元时，商家每天可盈利1 200元．
由(2)，得y＝－2x＋240，
则1 200＝(x－70)y＝(x－70)(－2x＋240)，
整理，得600＝(x－70)(－x＋120)，
所以600＝－x2＋120x＋70x－8 400，
整理，得x2－190x＋9 000＝(x－100)·(x－90)＝0，
解得x1＝100，x2＝90.
因为该商家承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
所以x＝100>99，舍去，
即该产品的售价每件定为90元时，商家每天可盈利1 200元．
挑战创新
13.　　【解】任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x.
由题意，得1 000(1＋x)2＝1 440，
解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为20%.
任务2：设该泥塑的售价定为y元/件，
每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件．
由题意，得(y－30)＝6 000，
解得y1＝50，y2＝60.
因为要尽可能让顾客得到实惠，
则y＝50.
答：该泥塑的售价应定为50元/件．

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