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26．2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质
· 预习导学 ·
知识点　二次函数y＝ax2的图象和性质
1．二次函数y＝ax2的图象是一条________．
2．(1)一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是________，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最________点；当a<0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最________点．|a|越大，抛物线的开口越________．
(2)从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，那么当x<0时，y随x的增大而________，当x>0时，y随x的增大而________；如果a<0，那么当x<0时，y随x的增大而________，当x>0时，y随x的增大而________．
练习1　关于函数y＝3x2的性质表述正确的是(　　).
A．无论x为任何实数，y的值总是正数
B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于x＝0对称
D．它的图象在第一、第三象限
练习2　已知抛物线y＝ax2经过点(2，－8).
(1)求a的值；
(2)当x＝－时，求y的值；
(3)画出此抛物线，并写出三条性质．
基础巩固
1．下列抛物线中，开口最小的是(　　).
A．y＝－x2　　　　 　B．y＝－2x2
C．y＝3x2 D．y＝5x2
2．关于y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象，下列说法不正确的是(　　).
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．形状相同
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2和y＝kx＋2(k≠0)的图象大致为(　　).
4．若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　).
A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2
5．若抛物线y＝ax2经过点(2，－3)，则a的值为________．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的中心O为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是________．
能力达标
7．若二次函数y＝(m－1)xm2－1有最小值，则m的值为________．
8．若二次函数y＝(2－m)x|m|-3的图象开口向下，则m的值为________．
9．如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝－3x2；②y＝－x2；③y＝－x2的图象，则图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是________(填序号).
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(2，2)，(2，5)，(5，5).若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围为________．
【解析】因为正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(2，2)，(2，5)，(5，5)，所以顶点D的坐标为(5，2).
当抛物线y＝ax2经过点B(2，5)时，a＝；
当抛物线y＝ax2经过点D(5，2)时，a＝.
观察图象可知≤a≤.
11．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m).
(1)求a，m的值．
(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，该解析式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
挑战创新
12．如图，P为抛物线y＝x2上一动点．若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l，垂足为M.在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
知识点
1.抛物线
2.y轴；原点；向上；低；向下；高；小
（2）减小；增大；增大；减小
练习
练习1：C
练习2：(1)因为抛物线y＝ax2经过点(2，－8)，所以将(2，－8)代入y＝ax2，得－8＝a·22＝4a，解得a＝－2.
(2)由(1)可知a＝－2，所以y＝－2x2.
当x＝－时，y＝－2×(－)2＝－4.
(3)图略．
抛物线的性质：①图象开口向下；②对称轴为y轴；③顶点坐标为(0，0).(答案不唯一)
· 课时作业 ·
基础巩固
1.D
2.D
3.D
4.A
5.－
6.8
能力达标
7.
8.5
9.①③②
10.≤a≤
11.(1)因为点P(1，m)在直线y＝2x－1上，所以m＝2×1－1＝1，将(1，1)代入二次函数y＝ax2，得a＝1.
(2)由(1)知二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，该解析式的y随x的增大而增大．
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
挑战创新
12.存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．
如图，过点P作PB⊥y轴，垂足为B.
设点P的坐标为，
所以PM＝PF＝a2＋1.
因为PB＝a，
所以在Rt△PBF中，
BF＝＝＝a2－1.
所以OF＝a2－＝1.所以点F的坐标为(0，1).

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