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　　 　　　　　26.3　二次函数与一元二次方程
· 预习导学 ·
知识点一　二次函数的图象和x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论：
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是________，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个________．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，它们分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：________实数根，________的实数根，________的实数根．
练习1　已知抛物线y＝x2－6x＋m与x 轴有且只有一个交点，则m的值为________．
知识点二　二次函数的图象与不等式之间的关系
练习2　如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx(a>0)和直线y＝kx(k>0)交于点O和点A，则不等式ax2＋bx知识点三　实际背景的二次函数与一元二次方程
练习3　(教材P47例1 变式)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行时间t为________时，飞行高度能达到15 m.
知识点四　图象法求一元二次方程的近似解
练习4　(教材P48例2 变式)利用函数图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根的近似值(结果精确到0.1).
基础巩固
1．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　).
A.y＝3x2－9x＋3
B．y＝2x2－4x＋12
C．y＝x2－6x＋9
D．y＝5x2－3x＋9
2．已知二次函数y＝x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的根为(　　).
A．x1＝3，x2＝1
B．x1＝－3，x2＝1
C．x1＝－3，x2＝3
D．x1＝－3，x2＝－1
3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是(　　).
A．－1≤x≤5 B．x≤5
C．－15
4．如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象，当y1≤y2时，x的取值范围是(　　).
A．x≥0 B．0≤x≤1
C．－2≤x≤1 D．x≤1
5．下表是二次函数y＝ax2＋bx－2.5中x与y的部分对应值，则方程ax2＋bx－2.5＝0的一个根x1的取值范围是(　　).
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －0.75 －0.465 －0.16 0.165 0.51 …
　　A．1C．1.26．如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是(　　).
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4
C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
7．若二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有公共点，则k的取值范围是________．
能力达标
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于(－1，0)，(3，0)两点，则下列判断错误的是(　　).
A．图象的对称轴是x＝1
B．当x＞2时，y随x的增大而减小
C．当－1＜x＜1时，y＜0
D．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1和3
9．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是(　　).
A．有两个同号不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
10．如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是(　　).
A.x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
11．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，则方程的另一个近似根为________(精确到0.1).
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为______________，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；
(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
13．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数).
(1)求证：无论m为何值，该函数的图象都与x轴没有公共点．
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？
(1)【证明】因为Δ＝(－2m)2－4×1·(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12<0，
所以方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
即无论m为何值，该函数的图象都与x轴没有公共点．
(2)【解】y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3.
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
所以该函数的图象的顶点在x轴上．
故把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上．
挑战创新
14．设a，b是任意两个实数，定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a参照上面的材料，解答下列问题：
(1)min{－5，3}＝________．
(2)若min{3x＋1，－x＋5}＝－x＋5，求x的取值范围．
(3)①函数y＝－x2＋2与y＝x的图象的交点坐标为____________________；
②根据函数y＝－x2＋2和y＝x的图象写出当x＝________时，min{x，－x2＋2}的最大值为________．
参考答案
知识点
（1）0；根
（2）没有；有两个相等；有两个不相等
练习
练习1：9
练习2：0练习3：1或3
练习4： 原方程变形为－x2＋2x＋5＝0.
画出函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图所示．
它与x轴的公共点的横坐标大约是－1.4，3.4，
所以方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.
· 课时作业 ·
基础巩固
1.A
2.B
3.A
4.C
5.C
6.C
7.k≥－且k≠0
能力达标
8.C
9.A
10.D
11.x＝1.4
12.(1)x1＝1，x2＝3　1(2)k<2
挑战创新
14.(1)－5
(2)因为min{3x＋1，－x＋5}＝－x＋5，
所以3x＋1≥－x＋5，
解得x≥1，
所以x的取值范围是x≥1.
(3)①(1，1)，(－2，－2)　②1　1

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