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　　 　 　　　　　26.4　实际问题与二次函数
第1课时　图形面积最大值问题
· 预习导学 ·
知识点　利用二次函数解决图形面积的最值问题
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用________来刻画，那么就可以利用二次函数的________对其进行研究．
练习　某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙(墙长15 m)，另三边用总长40 m的栅栏围成(如图所示).若设花园的边AB的长为x m，花园的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(2)此花园的面积能否达到150 m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
(3)当x是多少时，花园的面积y最大？最大面积是多少？
方法指导　当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．用总长为40 cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积y(单位：cm2)与一边长x(单位：cm)之间的函数解析式为(　　).
A．y＝x2 B．y＝－x2＋40x
C．y＝－x2＋20x D．y＝－x2＋20
2．如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(　　).
A．4 m2 B．6 m2
C．8 m2 D．12 m2
3．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的解析式是y＝－x2＋2x＋(x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　).
A．3 m B．2.75 m
C．2 m D．1.75 m
4．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(单位：m)与面积y(单位：m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为________m2.
5．如图，一块矩形土地ABCD用篱笆围着，并且用一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
6．已知一个直角三角形两条直角边长的和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为________cm2.
7．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形风筝的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
能力达标
8．九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，其中最佳方案是(　　).
　　
　 　方案1　　　　　　方案2
方案3
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．无法确定
9．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值为________cm2.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边向点B(终点)以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C(终点)以2 cm/s的速度运动，当其中一点运动至终点时，另一点也随之停止运动．
(1)设运动t s后，五边形APQCD的面积为S cm2，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
(2)t为何值时，S最小？最小值是多少？
11．(教材P62复习题T10变式)如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留宽均为1 m的两个门，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S关于x的函数解析式并写出x的取值范围．
(2)若4挑战创新
12．(2025·佛山禅城区期中节选)某校九年级学生在数学活动课上进行了项目式学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一个边长为40 cm的正方形硬纸板设计无盖纸盒．
素材2 如图，在正方形硬纸板的四个角处各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
设折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，剪掉的小正方形的边长为a cm.
(1)求S关于a的函数解析式．
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．
参考答案
知识点
二次函数；图象和性质
练习
练习：(1)由题意可知，AB为x m，
则BC＝(40－2x)m，
所以y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x.
因为墙长15 m，
所以
自变量x的取值范围是12.5≤x<20.
(2)此花园的面积能达到150 m2.
令－2x2＋40x＝150，
解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝15，
所以当x＝15时，花园的面积能达到150 m2.
(3)对于y＝－2x2＋40x，因为－2<0，
抛物线的对称轴为x＝－＝10，
所以当12.5≤x<20时，y随x的增大而减小，
所以当x＝12.5时，y有最大值，最大值为187.5，
即当x是12.5时，花园的面积y最大，最大面积是187.5 m2.
基础巩固
1.C
2.A
3.B
4.144
5.150
6.50
7.(1)S＝－x2＋30x.
(2)因为S＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，且－<0，
所以当x＝30时，S有最大值，最大值为450，
即当x是30时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.
能力达标
8.C
9.3　18
10.(1)由题意，知AP＝t cm，BQ＝2t cm，
所以PB＝(6－t)cm，
故S△PBQ＝·(6－t)·2t＝－t2＋6t.
因为S矩形ABCD＝6×12＝72，
所以S＝S矩形ABCD－S△PBQ＝t2－6t＋72，
自变量t的取值范围为0(2)由(1)，知S＝(t－3)2＋63，0故当t＝3时，S最小，最小值是63.
11.(1)因为花圃的宽AB为x m，
所以BC＝24－3x＋2×1＝(26－3x)m，
所以S＝AB·BC＝x(26－3x)＝－3x2＋26x.
因为0<26－3x≤11，
所以5≤x<，
所以S关于x的函数解析式为S＝－3x2＋26x，x的取值范围为5≤x<.
(2)S的最大值为55.理由如下：
因为
所以5≤x<7.
因为二次函数S＝－3x2＋26x＝－3＋图象的对称轴为x＝，且－3<0，
所以当5≤x<7时，S随x的增大而减小，
所以当x＝5时，S取得最大值，最大值为－3×52＋26×5＝55.
挑战创新
12.(1)由题意知，折成的无盖纸盒的四个侧面都是全等的长方形，其长为(40－2a)cm，宽为a cm，所以S关于a的函数解析式为S＝4a(40－2a)＝－8a2＋160a.
(2)有最大值．
S＝－8a2＋160a＝－8(a－10)2＋800.
因为－8<0，所以当a＝10时，S有最大值，且最大值为800.
所以折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大侧面积为800 cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm.

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