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第2课时　商品最大利润问题
· 预习导学 ·
知识点　利用二次函数解决最大利润问题
练习　电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(单位：件)与每件玩具的售价x(单位：元)之间满足一次函数关系．当每件玩具的售价为12元时，每周的销售量为80件；当每件玩具的售价为14元时，每周的销售量为40件．
(1)求y关于x的函数解析式(其中10≤x≤16，且x为整数).
(2)当每件玩具的售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大？最大周利润是多少元？
知识拓展　(1)单件利润＝单件售价－单件成本．
(2)总利润＝单件利润×总件数．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．某商店销售某件商品所获得的利润y(单位：元)与所卖的件数x之间的关系满足y＝－x2＋1 000x－200 000，则当0＜x≤450时的最大利润为(　　).
A．2 500元 B．47 500元
C．50 000元 D．250 000元
2．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．当商品降价销售时，每天的销售额最大是(　　).
A．2 500元 B．2 000元
C．1 800元 D．2 200元
3．(教材P55习题T7变式)假期间，某宾馆预订火爆．该宾馆有150间标准房，当标准房每间价格为200元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在200～300元(含200元，300元)范围内浮动时，每提高5元，日均入住数减少3间．如果不考虑其他因素，为使宾馆的日营业收入最大，宾馆可将标准房间价格提高(　　).
A．100元 B．75元
C．50元 D．25元
4．某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出500 kg，售价每上涨1元，月销售量就减少10 kg，则月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/kg)之间的函数解析式为________________________．
5．某商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元每个出售时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价________元．
6．某电商以每件40元的价格购进某款短袖，以每件60元的价格出售．经统计，“十一黄金周”的前一个星期每天的销售量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售．经调查，发现该短袖在“十一黄金周”前一个星期销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”期间每天的销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于进价，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，那么当该电商获得最大利润时，每件短袖的售价为________元．
能力达标
7．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量y(单位：kg)与售价x(单位：元/kg)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x/(元·kg-1) 40 50 60
销售量y/kg 120 100 80
设销售该商品每天的利润为W(单位：元)，则W的最大值为(　　).
A．1 800 B．1 600
C．1 400 D．1 200
8．某超市对进货价为10元/kg的某品种苹果的销售情况进行统计，发现每天的销售量y(单位：kg)与销售单价x(单位：元/kg)之间存在一次函数关系，如图．
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围).
(2)应怎样确定销售单价，才能使该品种苹果每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
9．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间客房支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元(x为正整数)，一天订住的房间数为y.
(1)写出y关于x的函数解析式：____________，自变量x的取值范围是___________．
(2)若宾馆一天的利润为7 770元，则房价应该为多少元？
(3)当房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少元？
10．(教材P62复习题T11变式)某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在5月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y关于x的函数解析式．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)若某日公司共获得销售利润12 160元，则这天售出了多少辆轮椅？
挑战创新
11．综合与实践．
【问题情境】　小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价(单位：元)与日销售量(单位：盆)情况，记录如下：
花卉店 售价/(元·盆-1) 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
　　【数据整理】
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中．
售价/(元·盆-1)
日销售量/盆
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价之间的关系．
【拓展应用】
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
售价/(元·盆-1) 18 20 22 26 30
日销售量/盆 54 50 46 38 30
参考答案
练习
练习：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.
由题意，得
解得
所以y关于x的函数解析式为y＝－20x＋320(其中10≤x≤16，且x为整数).
(2)设每周销售这款玩具所获利润为W 元．
由题意，得W＝(－20x＋320)(x－10)＝－20x2＋320x＋200x－3 200＝－20x2＋520x－3 200＝－20(x－13)2＋180.
因为－20<0，10≤x≤16，且x为整数，
所以当x＝13时，W最大，最大为180.
即当每件玩具的售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大，最大周利润是180元．
基础巩固
1.B
2.C
3.D
4.y＝－10x2＋1 400x－40 000
5.5
6.52
能力达标
7.B
8.(1)设y＝kx＋b，
将(20，20)，(30，0)分别代入，
得解得
所以y关于x的函数解析式是y＝－2x＋60.
(2)设每天的销售利润为w元，
则w＝(x－10)y＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x2＋80x－600＝－2(x－20)2＋200.
所以当x＝20时，w取得最大值，最大值为200.
即当销售单价定为20元/kg时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是200元．
9.(1)依题意，得y＝40－＝40－x.
因为每个房间每天的房价不得高于300元，且x为正整数，
所以210<210＋10x≤300，且x为正整数，
所以0故答案为：y＝40－x　0(2)根据题意，得(210＋10x－30)(40－x)＝7 770，
整理，得x2－22x＋57＝0，
解得x1＝3，x2＝19(不合题意，舍去)，
房价为210＋30＝240(元).
答：房价应该为240元．
(3)设宾馆一天的利润为w元，
所以w＝(210＋10x－30)(40－x)＝－10x2＋220x＋7 200＝－10(x－11)2＋8 410.
因为－10<0，0所以当x＝9时，w取得最大值，此时 w＝－10×(9－11)2＋8 410＝8 370(元)，
房价为210＋90＝300(元).
答：当房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8 370元．
10.(1)由题意，得y＝(200－x)＝－0.4x2＋20x＋12 000＝－0.4(x－25)2＋12 250.
因为－0.4<0，所以当x<25时，y随x的增大而增大．
因为200－x≥180，所以x≤20.所以当x＝20时，y最大＝－0.4×(20－25)2＋12 250＝12 240.
所以y关于x的函数解析式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000.每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元．
(2)令－0.4(x－25)2＋12 250＝12 160，
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10，
所以售出轮椅的辆数为60＋4×＝64.
答：这天售出了64辆轮椅．
挑战创新
11.(1)按照售价从低到高的顺序排列如下：
(2)日销售量随售价的增加而均匀减少，猜测日销售量与售价之间是一次函数关系．
设日销售量为y盆，售价为x元/盆，
且y＝kx＋b，
所以解得
所以日销售量y与售价x之间是一次函数关系，解析式为y＝－2x＋90.
(3)①(x－15)(－2x＋90)＝400，
解得x1＝35，x2＝25.
答：定价为25元/盆或35元/盆．
②设利润为w元，
则w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450.
因为抛物线的开口向下，
所以当x＝30时，w有最大值．
答：售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润．

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