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第3课时　建立适当坐标系解决实际问题
· 预习导学 ·
知识点　利用二次函数解决抛物线形的实际问题
练习　某大学的校门(如图所示)是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，那么校门的高是________m.
温馨提示　同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式．通常应使已知点在坐标轴上．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．某公路隧道的截面为抛物线形，如图为其截面示意图．线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝12 m，抛物线的顶点P到OA的距离为9 m，则抛物线对应的函数解析式为(　　).
A．y＝－(x＋6)2＋9
B．y＝－(x－6)2＋9
C.y＝－(x＋6)2＋9
D．y＝－(x－6)2＋9
2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即OB的长度)是1 m，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为8 m时，达到最大高度1.8 m，则水流喷射的最远水平距离OC的长为(　　).
A．20 m B．18 m
C．10 m D．8 m
3．某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y＝－(x－5)2＋6，则CD的长为(　　).
A．18 m B．20 m
C．22 m D．30 m
4．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y＝－x2，当水面宽度为12 m时，水面与桥拱顶之间的距离为________m.
5．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)该隧道内设双行道，中间隔离带宽1 m，一辆高4 m，宽2.5 m的货车能否安全通过？为什么？
能力达标
6．(2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式．
7．某班在进行掷实心球测试，一名男生在掷实心球时，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2 m，当水平距离为4.5 m时，实心球行进至最高点 m处．
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)男生在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4 m，此项考试可得满分．按此评分标准，该生在此项考试中是否能得到满分？请说明理由．
挑战创新
8．(教材P61复习题T7变式)某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上、下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C.以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．(柱形喷泉装置的粗细忽略不计)
已知OA＝1 m，OB＝2 m，OC＝3 m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式分别是y＝－x2＋bx＋c和y＝－x2＋bx＋c′.
(1)求A喷头喷出的水流的最大高度．
(2)一名游客站在点D处，OD＝4 m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
参考答案
练习
练习：
基础巩固
1.D
2.A
3.C
4.2
5.(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－h)2＋k.
由题意知，抛物线的顶点为(4，6)，
所以y＝a(x－4)2＋6.
因为抛物线过点(0，2)，
所以a(0－4)2＋6＝2，解得a＝－，
所以抛物线对应的函数解析式为y＝－(x－4)2＋6.
(2)不能安全通过．理由如下：
(8－1)÷2－2.5＝1(m).
当x＝1时，y＝<4，
所以该货车不能安全通过该隧道．
能力达标
6.(答案不唯一)建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c.
由题意可知点(0.85，0.18)和点(0，0.001 5)在函数图象上，
分别代入，得
解得
所以y＝x2＋0.001 5(－0.85≤x≤0.85).
7.(1)y＝－＋
(2)该生在此项考试中不能得到满分．理由略．
挑战创新
8.(1)因为OA＝1 m，OB＝2 m，OC＝3 m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式分别是y＝－x2＋bx＋c和y＝－x2＋bx＋c′，
所以A(0，1)，B(0，2)，C(3，0).
令x＝0，易得c＝1，c′＝2；
令x＝3，得y＝－x2＋bx＋c＝－3＋3b＋1＝0，
可求得b＝，
因此A喷头喷出的水流的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的解析式是y＝－x2＋x＋1.
函数y＝－x2＋x＋1的图象的对称轴为x＝－＝1，
把x＝1代入y＝－x2＋x＋1，得y＝－＋＋1＝，
因此A喷头喷出的水流的最大高度是 m.
(2)由(1)知B喷头喷出的水流的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的解析式是y＝－x2＋x＋2.
令x＝4，得y＝－×42＋×4＋2＝－≠0，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．

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