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边界受限分类讨论问题
边界条件和初始条件可以说是经典物理学最重要的两个立足点。拉普拉斯曾经说过，给他初始条件和边界关系，就可以算出宇宙的前世今生。浙江真题对边界关系的要求是非常高的，这些边界关系不仅仅是指对几何条件的约束，也包含了物理的隐藏关系，临界条件。从理综时代开始，浙江真题对圆周运动过最高点问题就特别青睐。圆周运动过最高点问题一直是浙江真题的极高频考点。过最高点也是高一圆周运动教学时一个重难点。尽管同学们早在初学时候就已知晓这个结论，但是遇到不同的场景的问题，如果没有意识到此处的临界情况，将出现漏解或者错解。
类型一、直线折返综合性分析问题
1．（☆G）如图为一游戏装置的示意图，在水平轨道的左侧有一竖直墙面P，PA、AC段均为光滑的水平面，在水平面上有一半径的光滑圆轨道，圆轨道与水平轨道相切于A点，倾角为的倾斜轨道CD与水平轨道平滑接于C点。现有一可视为质点、质量为的滑块放置于弹簧的一端，弹簧的另一端固定于墙面P，弹射时让滑块从静止释放，弹簧的弹性势能与滑块动能相互转化时无能量损耗，由于受弹簧限制，弹性势能最大值不能超过120J。
（1）若滑块恰好能第一次通过圆的最高点B，求滑块在A点的速度的大小；
（2）求在第（1）问的前提下，滑块在圆轨道最右端时对轨道压力的大小；
（3）已知CD段的动摩擦因数为，且CD段的长度为15m，滑块在整个运动过程中不脱离轨道并且不从D点飞离，求首次弹射时弹簧的弹性势能的取值范围。
【答案】（1）；（2）60N；（3）或
【难度】0.65
【来源】浙江省十校联盟2022-2023学年高三上学期10月联考物理试题
【知识点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用
【详解】（1）滑块恰好能第一次通过圆的最高点B
从A到B根据动能定理得
解得
（2）滑块在圆轨道最右端时
解得
（3）若恰好到达B点，根据机械能守恒定律得
若恰好不从D点飞出，则
物体沿斜面向上运动有
因，物体不能静止在斜面上，因此会沿斜面下滑，则有
可得
因此物体要想不脱离轨道且越过D点，则要求返回后的速度，即，
故弹簧的弹性势能的取值范围
如果沿斜面返回的速度恰好到达圆心等高处，则
解得
即，故弹簧的弹性势能的取值范围
若恰好到达圆心等高点，根据机械能守恒定律得
故弹簧的弹性势能的取值范围
故弹簧的弹性势能的取值范围
或
2．如图所示为某品牌拼接玩具搭建的场景。AB、BC为粗糙直轨道，摩擦系数均为0.25，在B点平滑连接，，CDE是光滑半圆弧轨道，半径，与直轨道在C点平滑连接，直轨道AB与水平面夹角，一质量为0.1kg物块从直轨道AB某处下滑，恰好能通过圆弧轨道最高点E，不计空气阻力，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求
（1）物块第一次经过D点时加速度大小；
（2）某同学计算物块平抛时间为0.2s，试分析该同学计算结果是否正确。（物块平抛后会与轨道AB碰撞，只考虑碰撞前平抛运动情况）
（3）欲使物块不脱离轨道，且尽可能使物块在直轨道上滑行较长距离，求物块释放位置以及最终停下来位置。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）停止于距离B点处
【难度】0.65
【来源】2023届浙江省温州市乐清市知临中学高三下学期第二次仿真考试物理试题
【知识点】机械能守恒定律在曲线运动中的应用
【详解】（1）由于物块恰好能通过圆弧轨道最高点E，则在E点有
物块在D点有
物块由D运动到E过程有
解得
则D点加速度为
（2）倘若平抛时间为0.2s，则有
，
根据几何关系有
代入数据显然不匹配，所以该同学计算错误。
（3）欲使物块不脱离轨道，则物块达到D速度恰好为0时满足要求，则有
解得
即物块释放初始位置距B点40cm，物块第二次下滑时距B点x2，则有
解得
建立递归数列
即有
，，，
所以最终停止情况有
解得
即物块最终停止于距离B点1cm处。
3．如图所示是一款固定在竖直平面内的游戏装置。半径R1=0.25m的半圆型细管轨道AB与半径R2=0.15m的半圆形内轨道BC在B点平滑连接，圆心分别为O1和O2，直径AB和BC处于竖直方向。倾角α=37°的足够长直轨道CD与轨道BC在C点用一小段圆弧轨道平滑连接，C点位于水平地面。在水平地面上可左右移动的P点能够斜向上发射质量m=0.15kg的小滑块（可视为质点），而且要求小滑块恰好以水平速度从A点进入细管轨道。已知轨道AB和轨道BC均光滑，小滑块与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.25，忽略空气阻力，不计细管管口直径，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）若小滑块刚进入A点时与细管内壁无挤压求小滑块第一次运动到内轨道BC的B点时受到轨道弹力的大小；
（2）若小滑块从A点进入细管后最终还能从A点飞出，求发射点P到C点的距离需要满足的条件；
（3）通过计算说明小滑块从A点进入细管后能通过B点的最多次数。
【答案】（1）F=11N；（2）x>1.6m；（3）5次
【难度】0.4
【来源】2021届浙江省诸暨市高三下学期5月适应性考试物理试题
【知识点】机械能守恒定律在曲线运动中的应用、动能定理的初步应用
【详解】（1）设小滑块在A点与细管内壁恰好无挤压时的速度为v1，根据向心力公式有
设小滑块在B点的速度为v2，从A点到B点的过程中，根据动能定理有
设小滑块运动到BC轨道的B点时受到轨道的弹力大小为F，根据向心力公式有
联立解得
（2）若小滑块从斜面返回到A点时速度为零，设小滑块在斜面上滑行距离为L1，根据动能定理
解得
设小滑块从A点进入时速度为v3，返回到A点时速度为零，根据能量关系
解得
从P到A的过程中，设小滑块运动时间为t，水平距离为x0，根据平抛运动的规律有
解得
故抛出点O到C点的距离应满足
（3）设小滑块恰好能经过B点的速度为v4，根据向心力公式有
设小滑块C点最小速度为v5，好能经过B点，从C到B过程中，根据动能定理
解得
由于当vA>4m/s时，小滑块将从A点飞出细管，经过B点仅有2次。当小滑块进入A点速度vA=4m/s时，设小滑块在C点的最大速度为v6，从A到C的过程中，根据动能定理:
解得
设小滑块在C点时速度为vC1，沿斜面向上滑行为L，从C到斜面最高点，根据动能定理:
设小滑块从斜面最高点返回到C点时速度为vC2，从斜面最高点到C点，根据动能定理：
解得
小滑块能经过B点的条件为:
即
故n的最大值为2，即小滑块要经过B点，其在斜面上最多往返2次；所以，小滑块最多经过B点5次。
类型二、与圆周运动有关的临界问题分析
4. 如图所示某滑块所在游戏轨道的部分示意图。游戏过程：一质量为的滑块（视为质点）从A处出发，通过B点进入圆心为半径为的竖直圆轨道，再过最高点C后进入D，再通过E点，能过圆心为O2的半径为的凸形桥F的顶点，游戏则算成功。整个轨道只有DE段是粗糙，其他轨道均为光滑。其中点F到E之间的高度差h为0.05m，DE的长度为1m，动摩擦力因素μ为0.5，其中有一次游戏时，滑块以某速度驶过圆轨的最高点C，此时滑块对轨道的作用力恰好为零，重力加速度g取试计算：
（1）滑块在B点对到轨道作用力的大小；
（2）滑块经过E点时的速率vE；
（3）若滑块恰好能过F点，求滑块在A点开始时的动能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）滑块以某速度驶过圆轨的最高点C，此时滑块对轨道的作用力恰好为零，可得
解得
根据机械能守恒，可得
解得
根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可得滑块在B点对到轨道作用力的大小为
（2）根据动能定理可得
解得
（3）由（2）可知当滑块从A点出发，若通过E点，此时必然通过竖直圆环O1的最高点，根据动能定理可得
解得
5.如图装置由弹射器 、水平轨道AB、竖直半圆弧轨道CD、水平轨道DE、倾斜传送带EF、足够长水平轨道FG组成,除传送带 EF 和轨道 FG 粗糙外,其余均光滑,各轨道间 、轨道与传送带间平滑连接 .可视为质点的滑块由弹射器弹出后,经轨道AB、CD、DE 后滑上传送带 , 在传送带上端F处速度方向变为水平并滑上轨道FG.已知CD 半径R=0 .18m , 滑块与传送带 、轨道 FG间的动摩擦因数均为 μ=0 .5 , 传送带 EF长度l=7m , 倾角θ=24°,以恒定速度y=5m/s顺时针传动,滑块质量m=0.1kg ,弹射时滑块从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能 . (取 cos24°=0 . 9 , sin24°=0 .4)g 取 10m/s2 .
(1)当弹簧的弹性势能 Ep =1.44J, 求滑块运动到圆弧轨道最低点D 时,轨道对滑块的支持力大小FN ;
(2)若滑块与传送带间不产生热量,求滑块在FG上静止时离F 点的距离x 1;
(3)若滑块运动中不脱离轨道,求滑块在FG上静止时离F 点的最小距离x 2.
答案： (1)从弹出到运动到 D 点 , 由机械能守恒 ,
Epm +2mgRmVD 2
VD =6m/ S
滑块在 D 点时 , 由牛顿第二定律 , FN -mg=m
得 FN =21N
(2) 当滑块在 E 点的速度 V=5m/ S时 , 滑块与传送带间不产生热量 ,
x1 =2 . 5m
(3)①保证滑块不脱离“道 , 在 C点mg=m
从 C点到D 点机械能守恒mVC2 +2mgRmVD 2
VD =3m/ S
在传送带上运动 , a1 =μgc0Sθ-gSinθ=0 . 5m/ S2
m/ S<5 m/ S
x m
6.如图所示，竖直放置的半径为的螺旋圆形轨道与水平直轨道和平滑连接，倾角为的斜面在C处与直轨道平滑连接。水平传送带以的速度顺时针方向运动，传送带与水平地面的高度差为，间的距离为，小滑块P与传送带和段轨道间的摩擦因数，轨道其他部分均光滑。直轨道长，小滑块P质量为。
若滑块P第一次到达圆轨道圆心O等高的F点时，对轨道的压力刚好为零，求滑块P从斜面静止下滑处与轨道高度差H；
（2）若滑块P从斜面高度差处静止下滑，求滑块从N点平抛后到落地过程的水平位移；
（3）滑块P在运动过程中能二次经过圆轨道最高点E点，求滑块P从斜面静止下滑的高度差H范围。
6.题若满分12分，各步骤得分明细。
答案：（1）滑块P在圆轨道F点时的压力刚好为零，则vF = 0,
mg(H - R)- μmgLBC = 0(2分）
解得，H = 0.4m(1分）
（2）H = 1.0m时，设滑块运动到N点时的速度大小为vN，从开始运动至到达N点的过程中，由动能定理得：
解得，vN = 2m/s
从N点飞出后滑块做平抛运动，水平位移大小为
（3）设滑块P在运动过程中恰好能第一次经过E点时具有的高度为H1，从开始到E点，由动能定理得：
在E点时有mg = m 解得H1 = 0.7m
滑块滑上传送带时的速度大小为vM
滑块做减速运动的位移Lm < LMN
因此，滑块返回M点的速度大小也为vM m / s, 则能第二次过E点(1 分）
设高度为H2 时，滑块从传送带返回M点时的最大速度vM m /s < 4m /s 从开始到M点由动能定理得：
解得，H2 = 0.8m
第二次经过E点后，设滑块再次返回圆轨道B点时速度大小为vB , 则
解得，vB = 2m /s < m /s
所以不会第三次过E点，则滑块能第二次经过E点的高度差H的范围是0.7m≤H≤0.8m(1分）
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边界条件和初始条件可以说是经典物理学最重要的两个立足点。拉普拉斯曾经说过，给他初始条件和边界关系，就可以算出宇宙的前世今生。浙江真题对边界关系的要求是非常高的，这些边界关系不仅仅是指对几何条件的约束，也包含了物理的隐藏关系，临界条件。从理综时代开始，浙江真题对圆周运动过最高点问题就特别青睐。圆周运动过最高点问题一直是浙江真题的极高频考点。过最高点也是高一圆周运动教学时一个重难点。尽管同学们早在初学时候就已知晓这个结论，但是遇到不同的场景的问题，如果没有意识到此处的临界情况，将出现漏解或者错解。
类型一、直线折返综合性分析问题
1．（☆G）如图为一游戏装置的示意图，在水平轨道的左侧有一竖直墙面P，PA、AC段均为光滑的水平面，在水平面上有一半径的光滑圆轨道，圆轨道与水平轨道相切于A点，倾角为的倾斜轨道CD与水平轨道平滑接于C点。现有一可视为质点、质量为的滑块放置于弹簧的一端，弹簧的另一端固定于墙面P，弹射时让滑块从静止释放，弹簧的弹性势能与滑块动能相互转化时无能量损耗，由于受弹簧限制，弹性势能最大值不能超过120J。
（1）若滑块恰好能第一次通过圆的最高点B，求滑块在A点的速度的大小；
（2）求在第（1）问的前提下，滑块在圆轨道最右端时对轨道压力的大小；
（3）已知CD段的动摩擦因数为，且CD段的长度为15m，滑块在整个运动过程中不脱离轨道并且不从D点飞离，求首次弹射时弹簧的弹性势能的取值范围。
2．如图所示为某品牌拼接玩具搭建的场景。AB、BC为粗糙直轨道，摩擦系数均为0.25，在B点平滑连接，，CDE是光滑半圆弧轨道，半径，与直轨道在C点平滑连接，直轨道AB与水平面夹角，一质量为0.1kg物块从直轨道AB某处下滑，恰好能通过圆弧轨道最高点E，不计空气阻力，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求
（1）物块第一次经过D点时加速度大小；
（2）某同学计算物块平抛时间为0.2s，试分析该同学计算结果是否正确。（物块平抛后会与轨道AB碰撞，只考虑碰撞前平抛运动情况）
（3）欲使物块不脱离轨道，且尽可能使物块在直轨道上滑行较长距离，求物块释放位置以及最终停下来位置。

3．如图所示是一款固定在竖直平面内的游戏装置。半径R1=0.25m的半圆型细管轨道AB与半径R2=0.15m的半圆形内轨道BC在B点平滑连接，圆心分别为O1和O2，直径AB和BC处于竖直方向。倾角α=37°的足够长直轨道CD与轨道BC在C点用一小段圆弧轨道平滑连接，C点位于水平地面。在水平地面上可左右移动的P点能够斜向上发射质量m=0.15kg的小滑块（可视为质点），而且要求小滑块恰好以水平速度从A点进入细管轨道。已知轨道AB和轨道BC均光滑，小滑块与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.25，忽略空气阻力，不计细管管口直径，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）若小滑块刚进入A点时与细管内壁无挤压求小滑块第一次运动到内轨道BC的B点时受到轨道弹力的大小；
（2）若小滑块从A点进入细管后最终还能从A点飞出，求发射点P到C点的距离需要满足的条件；
（3）通过计算说明小滑块从A点进入细管后能通过B点的最多次数。
类型二、与圆周运动有关的临界问题分析
4. 如图所示某滑块所在游戏轨道的部分示意图。游戏过程：一质量为的滑块（视为质点）从A处出发，通过B点进入圆心为半径为的竖直圆轨道，再过最高点C后进入D，再通过E点，能过圆心为O2的半径为的凸形桥F的顶点，游戏则算成功。整个轨道只有DE段是粗糙，其他轨道均为光滑。其中点F到E之间的高度差h为0.05m，DE的长度为1m，动摩擦力因素μ为0.5，其中有一次游戏时，滑块以某速度驶过圆轨的最高点C，此时滑块对轨道的作用力恰好为零，重力加速度g取试计算：
（1）滑块在B点对到轨道作用力的大小；
（2）滑块经过E点时的速率vE；
（3）若滑块恰好能过F点，求滑块在A点开始时的动能。
5.如图装置由弹射器 、水平轨道AB、竖直半圆弧轨道CD、水平轨道DE、倾斜传送带EF、足够长水平轨道FG组成,除传送带 EF 和轨道 FG 粗糙外,其余均光滑,各轨道间 、轨道与传送带间平滑连接 .可视为质点的滑块由弹射器弹出后,经轨道AB、CD、DE 后滑上传送带 , 在传送带上端F处速度方向变为水平并滑上轨道FG.已知CD 半径R=0 .18m , 滑块与传送带 、轨道 FG间的动摩擦因数均为 μ=0 .5 , 传送带 EF长度l=7m , 倾角θ=24°,以恒定速度y=5m/s顺时针传动,滑块质量m=0.1kg ,弹射时滑块从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能 . (取 cos24°=0 . 9 , sin24°=0 .4)g 取 10m/s2 .
(1)当弹簧的弹性势能 Ep =1.44J, 求滑块运动到圆弧轨道最低点D 时,轨道对滑块的支持力大小FN ;
(2)若滑块与传送带间不产生热量,求滑块在FG上静止时离F 点的距离x 1 ;
(3)若滑块运动中不脱离轨道,求滑块在FG上静止时离F 点的最小距离x 2.
6.如图所示，竖直放置的半径为的螺旋圆形轨道与水平直轨道和平滑连接，倾角为的斜面在C处与直轨道平滑连接。水平传送带以的速度顺时针方向运动，传送带与水平地面的高度差为，间的距离为，小滑块P与传送带和段轨道间的摩擦因数，轨道其他部分均光滑。直轨道长，小滑块P质量为。
若滑块P第一次到达圆轨道圆心O等高的F点时，对轨道的压力刚好为零，求滑块P从斜面静止下滑处与轨道高度差H；
（2）若滑块P从斜面高度差处静止下滑，求滑块从N点平抛后到落地过程的水平位移；
（3）滑块P在运动过程中能二次经过圆轨道最高点E点，求滑块P从斜面静止下滑的高度差H范围。
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