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　　　　　　　　　　　　28.1　图形的旋转
· 预习导学 ·
知识点一　旋转的概念
1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的________，点O叫作________，转动的角叫作________．
练习1　有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤荡秋千运动．其中属于旋转的有(　　).
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
练习2　如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点________，旋转角是________°，点A的对应点是________．
方法指导　确定旋转中心、对应点、旋转角的方法步骤：
(1)确定旋转中心——旋转前、后位置没有发生变化的点；
(2)确定对应点——旋转后能重合的点；
(3)确定旋转角——对应点与旋转中心所连线段的夹角．
知识点二　旋转的性质
2．(1)旋转前后的图形________．
(2)一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离________；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于________．
练习3　如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B逆时针旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．
知识点三　利用旋转的性质作图
练习4　如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，则点C的对应点C′的坐标为(　　).
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(－2，2) D．(－3，2)
· 课时作业 ·
基础巩固
1．(教材P96习题T2变式)将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是(　　).
A．60°　 　B．90°　 　C．120°　 　D．180°
2．如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，则下列说法错误的是(　　).
A．∠BAD为旋转角，大小为90°
B．∠CAE为旋转角，大小为90°
C．AC＝AD
D．旋转中心为点A
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝55°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD.若点D恰好落在线段AC上，则∠DBC的度数为(　　).
A．55° B．60°
C．65° D．70°
4．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是(　　).
5．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是(　　).
A．15° B．30°
C．35° D．50°
6.如图，P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE的位置．若BP＝a，则PE的长为________．
7．如图，线段AB在第二象限，点A(－2，5)，点B(－4，3).将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′.那么点A的对应点A′的坐标是________．
8．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上一点，连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是________．
能力达标
9．如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
(1)旋转中心是________；
(2)旋转角为________°.
10．(教材P96习题T4变式)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，2)，C(－1，4).
(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为________．
11．如图，在等腰三角形ABC中，CB＝CA，∠ACB＝α，BD⊥AC，垂足为D，将线段CD绕点C顺时针旋转角α后得到线段CE，连接AE.
(1)求∠E的度数；
(2)若CE＝2，AD＝3，求BD的长．
12．如图，D是△ABC内部的一点，连接BD，CD，把BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，把CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AE，ED，DF，FA，AB＝BC＝CA.
(1)若BD＝6，求AF的长；
(2)求证：四边形AEDF是平行四边形．
(1)【解】由旋转的性质，
得∠DCF＝60°，CD＝CF，
所以△DCF是等边三角形，
所以∠DCA＋∠ACF＝60°.
因为AB＝BC＝CA，
所以△ABC是等边三角形，
所以∠ACB＝∠DCA＋∠BCD＝60°，
所以∠BCD＝∠ACF.
在△BDC和△AFC中，
所以△BDC≌△AFC(SAS)，
所以AF＝BD＝6.
(2)【证明】同(1)，得△EBD为等边三角形，△ABE≌△CBD(SAS)，
所以BD＝ED，AE＝CD.
因为△DCF是等边三角形，BD＝AF，
所以CD＝AE＝DF，ED＝AF，
所以四边形AEDF是平行四边形．
挑战创新
13．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1，0)绕点A(0，1)逆时针旋转90°得点D1，再将点D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将点D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将点D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将点D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D6的坐标是(　　).
A．(－9，6) B．(－7，6)
C．(－7，8) D．(－9，8)
参考答案
知识点
1.旋转；旋转中心；旋转角
2.全等
（2）相等；旋转角
练习
练习1：B
练习2：O　90　A′
练习3：16
练习4：B
基础巩固
1.C
2.C
3.D
4.B
5.Da
7.(5，2)
8.19
能力达标
9.(1)(1，1)或(4，4)　(2)90
10.(1)△A1B1C1如图所示．
(2)S△A1B1C1＝4×3－×3×4－1×1－×1×2－×1×3＝2.5.
故答案为：2.5
11.(1)因为BD⊥AC，
所以∠BDC＝90°.
因为将线段CD绕点C顺时针旋转角α后得到线段CE，
所以CE＝CD，∠DCE＝α，
所以∠DCE＝∠ACB.
又因为CB＝CA，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以∠E＝∠BDC＝90°.
(2)因为△ACE≌△BCD，
所以BD＝AE，CD＝CE＝2，
所以AC＝AD＋CD＝3＋2＝5.
由(1)，知∠E＝90°，
所以AE＝＝＝，
所以BD＝.
挑战创新
13.B

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