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专题拓展3　动量和能量的综合应用
物理观念 科学思维 科学态度与责任
　　进一步理解动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律的内容及其含义。 1.掌握应用动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律解题的方法步骤。 2．通过学习，培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力。 　　有将动量知识应用于生活和生产实践的意识，勇于探索日常生活中的物理问题。
探究点一___“子弹打木块”模型
1．模型特点
如图所示，子弹以某一初速度射入放在光滑水平面上的静止木块，子弹可能留在木块中(未穿出)，也可能穿出木块。
2．基本规律
(1)动量守恒：子弹打木块的过程很短暂，可认为该过程中内力远大于外力，系统动量守恒。
(2)机械能不守恒：在子弹打木块的过程中伴随摩擦生热，系统的机械能不守恒，损失的机械能转化为内能。且子弹未穿出木块时二者最后有共同速度，机械能损失最多。
3．主要关系
(1)子弹留在木块中(未穿出)
①动量守恒：mv0＝(m＋M)v。
②机械能的损失(摩擦生热)
Q热＝Ffd＝mv－(M＋m)v2
其中d为子弹射入木块的深度。
(2)子弹穿出木块
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2。
②机械能的损失(摩擦生热)
Q热＝FfL＝mv－mv－Mv
其中L为木块的长度，注意d≤L。
【例1】 (多选)如图所示，一颗子弹以初速度v0击中静止在光滑水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是(　　)
A．子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
BD　解析：子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律可知子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量的大小相等、方向相反，B正确；摩擦力对木块做的功为Ffs，摩擦力对子弹做的功为－Ff(s＋d)，可知二者不等，C错误；对木块根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，等于木块动能的增量，D正确。
[练1] 如图所示，在水平地面上放置一个质量为M的木块，一颗质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：
(1)子弹射入木块后，木块在地面上前进的距离；
(2)射入的过程中，系统损失的机械能。
答案：(1)　(2)
解析：因子弹未射出，故最后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差。
(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则有mv＝(M＋m)v′
设二者一起沿地面前进的距离为x，由动能定理得
－μ(M＋m)gx＝0－(M＋m)v′2
联立解得x＝。
(2)射入过程中损失的机械能ΔE＝mv2－(M＋m)v′2
解得ΔE＝。
探究点二___“板—块”模型
1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。
2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ffs相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。
3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。
【例2】 (2024·甘肃卷)如图所示，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P，小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)、碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
答案：(1)40 N　(2)4 m/s　(3)0.15
解析：(1)A开始运动到最低点有mgl(1－cos θ)＝mv－0
对最低点受力分析，根据牛顿第二定律得F－mg＝
解得v0＝4 m/s，F＝40 N。
(2)A与C相碰时，水平方向动量守恒，由于碰后A竖直下落可知mv0＝0＋mvC
解得vC＝v0＝4 m/s。
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速，则对CB整体分析，根据动量守恒可得mvC＝(M＋m)v
根据能量守恒得μmgL相对＝mv－(m＋M)v2
联立解得μ＝0.15。
[练2] (多选)(2025·湖南株洲统考)一个质量为m、可视为质点的物块B静止于质量为M的木板C左端，木板静止于光滑水平面上，将质量为m的小球A用长为L的细绳悬挂于O点，静止时小球A与B等高且刚好接触，现对小球A施加一外力，使细绳恰好水平，如图所示。现将外力撤去，小球A与物块B发生弹性碰撞，已知B、C间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球A碰撞后继续运动
B．碰撞后物块B的速度为
C．若物块B未滑离木板C，则物块B与木板C之间的摩擦热为
D．若物块B会滑离木板C，则板长小于
BCD　解析：小球A与物块B发生弹性碰撞，A、B质量相等，碰撞后交换速度，小球碰撞后静止，A错误；小球A下落过程中机械能守恒，有mgL＝mv，解得v0＝，与物块B发生弹性碰撞后交换速度，B的速度变为，B正确；对B、C组成的系统分析可知，水平方向不受外力，则动量守恒，规定初速度方向为正方向，有mv0＝(M＋m)v，根据能量守恒可知，摩擦热为Q＝mv－(M＋m)v2＝，C正确；摩擦热Q＝μmgl，式中l为板长，若B恰好滑离C，则有＝μmgl，解得l＝，因此可知，若物块B会滑离木板C，则板长小于，D正确。
探究点三___“弹簧—小球”模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
2．整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，可以应用能量守恒定律解决此类问题。
3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。
【例3】 (多选)(2025·广西桂林高二期末)如图所示，细线的一端固定在O点，另一端系着质量为m的小球A，O点到光滑水平面的距离为h，未知质量的物块B和质量为2m的物块C用轻质弹簧拴接，静置于光滑的水平面上，且物块B位于O点的正下方。现拉动小球A使细线水平伸直后由静止释放，小球A运动到最低点时与物块B发生弹性正碰(碰撞时间极短)，小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
A．若物块B的质量为m，碰撞后小球A的速度大小为0
B．若物块B的质量为m，碰撞后物块B的速度大小为
C．若物块B的质量为3m，碰撞后轻弹簧获得的最大弹性势能为mgh
D．若物块B的质量为3m，碰撞后物块C的最大速度大小为
AD　解析：根据题意可知，小球A运动到最低点的过程中，机械能守恒，设小球A运动到最低点的速度为v0，则有mgh＝mv，解得v0＝，小球A运动到最低点时与物块B发生弹性正碰(碰撞时间极短)，则碰撞过程小球A和物块B组成的系统动量守恒，机械能守恒，设碰撞后小球A的速度为vA，物块B的速度为vB，则有mv0＝mvA＋mBvB，mv＝mv＋mBv，解得vA＝v0，vB＝v0，若物块B的质量为m，可得碰撞后小球A的速度大小为vA＝v0＝0，碰撞后物块B的速度大小为vB＝v0＝v0＝，B错误，A正确；若物块B的质量为3m，可得碰撞后小球A的速度大小为vA1＝v0＝－v0，碰撞后物块B的速度大小为vB1＝v0＝v0＝，可知碰撞之后小球A弹回，物块B与弹簧和物块C组成的系统动量守恒，能量守恒，当物块B和物块C速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设此时物块B和物块C速度为v，则有3mvB1＝(3m＋2m)v，Epm＝×3mv－×(3m＋2m)v2，解得Epm＝mgh，当弹簧再次恢复到原长时，物块C的速度最大，设此时物块B的速度为vB2，物块C的速度为vC，则有3mvB1＝3mvB2＋2mvC，×3mv＝×3mv＋×2mv，解得vC＝vB1＝，C错误，D正确。
[练3] 如图所示，一个光滑的圆弧固定在小车的左侧，圆弧半径R＝0.8 m，小车的右侧固定连有轻质弹簧的挡板，弹簧处于原长状态，自由端恰在C点，总质量为M＝3 kg，小车置于光滑的水平地面上，左侧靠墙。一个物块从圆弧顶端上的A点由静止滑下，经过B点时无能量损失，物块只与弹簧碰撞一次，最后物块停在车上的B点。已知物块的质量m＝1 kg，物块与小车间的动摩擦因数为μ＝0.1，BC长度为L＝2 m，g取10 m/s2。求在运动过程中：
(1)弹簧的最大压缩量；
(2)弹簧弹性势能的最大值。
答案：(1)1 m　(2)3 J
解析：(1)物块由A点到B点的过程中，由动能定理得
mgR＝mv
解得vB＝4 m/s
从物块第一次经过B点到静止于B点，物块与小车组成的系统动量守恒，取vB方向为正方向，则mvB＝(M＋m)v
根据能量守恒定律，则
mv＝(M＋m)v2＋2μmg(L＋x)
解得x＝1 m。
(2)由B点至将弹簧压缩到最短，系统动量守恒，有
mvB＝(M＋m)v′
此时的弹性势能最大，由能量守恒定律可得
mv＝(M＋m)v′2＋Ep＋μmg(L＋x)
由以上两式可得Ep＝3 J。
探究点四___“滑块—曲(斜)面类”模型
如图所示，质量为M的曲面滑块静止在光滑水平面上，曲面滑块的光滑弧面底部与桌面相切。一个质量为m的小球以速度v0向弧面滚来，若小球不能越过弧面，则小球到达最高点时(即小球竖直方向上的速度为零)，两物体的速度肯定相等(方向为水平向右)。
【例4】 如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的装有弧形槽的小车。现有一个质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦，则(　　)
A．在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B．小球从右侧离开车后，对地将向右做平抛运动
C．小球从右侧离开车后，对地将做自由落体运动
D．小球从右侧离开车后，小车的速度有可能大于v0
C　解析：整个过程中系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，A错误；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒有mv0＝mv1＋mv2，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mv，联立解得v1＝0，v2＝v0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球从小车右侧离开后将做自由落体运动，B、D错误，C正确。
[练4] 在光滑水平面上静置有质量为m的滑板，上表面光滑，AB水平，BC为圆弧，圆弧底端切线水平，如图所示。一个可视为质点的物块P，质量也为m，从滑板的右端以初速度v0滑上滑板，最终恰好能滑到圆弧的最高点C处，求：
(1)物块滑到C处时的速度v；
(2)圆弧的半径R；
(3)物块刚滑上圆弧时，水平面对滑板的支持力大小。
答案：(1)　(2)　(3)6mg
解析：因物块刚好能滑到C处，则此时滑板和物块具有相同的速度。
(1)物块由A到C时，取向左为正方向，由动量守恒定律有mv0＝2mv，得v＝。
(2)物块由A到C时，根据机械能守恒定律有
mv＝mgR＋×2mv2，得R＝。
(3)物块刚滑上圆弧时，设在B点滑板对物块的支持力为FNB，由牛顿第二定律得FNB－mg＝m
则FNB＝5mg
结合牛顿第三定律分析可知，此时水平面对滑板的支持力大小为
FN＝FNB＋mg＝6mg。
1．(多选)如图所示，一个质量为M的木块放置在光滑的水平面上，现有一颗质量为m、速度为v0的子弹射入木块并最终留在木块中，在此过程中，木块运动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，木块对子弹的平均阻力为Ff，则下列说法正确的是(　　)
A．子弹射入木块前、后系统的动量守恒
B．子弹射入木块前、后系统的机械能守恒
C．Ff与d之积为系统损失的机械能
D．Ff与s之积为木块增加的动能
ACD　解析：系统所受合外力为零，所以系统动量守恒，A正确；根据题意可知，在该过程中由于有部分机械能转化为内能，所以系统机械能减小，B错误；阻力与相对位移之积等于系统损失的机械能，即整个过程中产生的热量，C正确；根据能量守恒可知，子弹减少的动能一部分转化成了木块的动能，一部分转化成了内能，木块运动的距离为s，根据动能定理可知Ff与s之积为木块增加的动能，D正确。
2．如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为(　　)
A．L B．
C． D．
D　解析：长木板固定时，由动能定理得－μMgL＝0－Mv，若长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有Mv0＝2Mv，由能量守恒定律有μMgs＝Mv－×2Mv2，得s＝，D正确，A、B、C错误。
3．(多选)(2025·广西柳州高二期中)光滑的水平面上，物体A、B的质量分别为m1和m2，且m1　
A．当弹簧最短时，两种情况下物体A的速度大小相等
B．当弹簧最短时，第二种情况下物体A的速度较大
C．两种情况下，弹簧的最大弹性势能相同
D．第二种情况下，弹簧的最大弹性势能较大
BC　解析：弹簧最短时，物体A、B速度相等，弹簧弹性势能最大。第一种情况：由动量守恒定律得m1v＝(m1＋m2)v1，解得弹簧最短时物体A的速度v1＝，弹簧最大的弹性势能Epmax＝m1v2－(m1＋m2)v＝；第二种情况：由动量守恒定律得m2v＝(m1＋m2)v2，解得弹簧最短时物体A的速度v2＝，弹簧最大的弹性势能Epmax′＝m2v2－(m1＋m2)v＝。因为m14．(2025·广西河池高二期末)质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和圆弧轨道均光滑。如图所示，一个质量为m的小球以速度v0水平冲向小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程中，小球和小车组成的系统动量守恒
B．如果m>M，小球脱离小车后，做自由落体运动
C．如果m>M，小球脱离小车后，沿水平向右做平抛运动
D．如果小球mC　解析：整个过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，其他方向动量不守恒，A错误；取水平向右为正方向，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝v0，如果m>M，则v1>0，小球脱离小车后，沿水平向右做平抛运动，C正确，B错误；如果m5．(2024·安徽卷)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道长s＝1.0 m，圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
解析：(1)对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理有
mgL＝mv－0
解得v0＝5 m/s
在最低点，对小球由牛顿第二定律有FT－mg＝m
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为FT＝6 N。
(2)小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，mv＝mv＋Mv
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
v2＝ v0＝4 m/s。
(3)若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒有Mv2＝2Mv3
由能量守恒定律有Mv＝×2Mv＋μ1Mgs
解得μ1＝0.4
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒有Mv2＝2Mv4
由能量守恒定律有Mv＝×2Mv＋μ2Mgs＋MgR
解得μ2＝0.25
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为0.25≤μ<0.4。
课时梯级训练(9)　动量和能量的综合应用
1.(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘在一起，将其放在光滑水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若子弹击中上层，子弹刚好不穿出，若子弹击中下层，则整个子弹刚好嵌入，由此可知(　　)
A．子弹击中上层时对滑块做功多
B．两次子弹对滑块做的功一样多
C．子弹射中上层时系统产生的热量多
D．子弹与下层之间的摩擦力较大
BD　解析：两次射击，子弹与滑块都满足动量守恒，之后滑块与子弹以相同的速度共同运动，可知滑块动能增加量相同，即两次射击子弹对滑块做功一样多，A错误，B正确；系统损失机械能也一样多，故产生热量也一样多，C错误；产生的热量等于摩擦力和子弹与滑块相对位移的乘积，由子弹进入滑块的深度可知子弹与下层之间的摩擦力较大，D正确。
2.(多选)(2025·河北唐山期末)在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的运动方向。如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三部分组成，各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上表面的高度为h。一个小球以初速度v0水平向右射入细管，小球的质量与小车的质量(包含细管)相等，小球可视为质点，忽略一切阻力作用。下列说法正确的是(　　)
A．小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统动量守恒
B．小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用
C．当小球初速度v0>时，将会从细管的竖直部分冲出
D．若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中
BCD　解析：小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统在水平方向受到合外力为零，在弯曲处，小球和小车组成的系统，在竖直方向合外力不为零，则小球和小车(包含细管)组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管中运动时，小球和小车(包含细管)组成的系统动量不守恒，A错误；由于小球和小车(包含细管)组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管的竖直部分运动时，水平方向的速度相同，则小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用，B正确；由于水平方向动量守恒，在最高点，由动量守恒定律和能量守恒定律有mv0＝2mv，mv＝·2mv2＋mgL，解得L＝，从细管的竖直部分冲出，则有L＝>h，解得v0>，C正确；小球从细管的竖直部分冲出后，水平方向的速度始终相同，则冲出后一定会落回到细管中，D正确。
3.如图所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上h高处开始自由下滑，下列说法正确的是(　　)
A．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒
B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h高处
C　解析：小球在弧形槽上下滑的过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上动量守恒，但小球接触弹簧的过程中，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力，故在此运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，A错误；小球在弧形槽中下滑的过程中和弧形槽之间产生了一个垂直于接触面的弹力，而且两者都在弹力水平分力的方向上发生了位移，故小球和弧形槽之间的相互作用力做功，B错误；小球下滑时，与光滑弧形槽在水平方向上动量守恒，所以小球离开光滑弧形槽时，两者速度大小相等、方向相反，因此，小球被弹簧反弹后，速度与光滑弧形槽速度相等，且都做匀速直线运动，小球不能追上光滑弧形槽，C正确，D错误。
4.(多选)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一个质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性碰撞，则整个过程中，系统损失的动能为(　　)
A．mv2 B．v2
C．NμmgL D．NμmgL
BD　解析：根据动量守恒定律，小物块和箱子的共同速度v′＝，损失的动能ΔEk＝mv2－(M＋m)v′2＝v2，B正确；根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，所以ΔEk＝FfNL＝NμmgL，D正确。
5．(多选)如图甲所示，一根轻质弹簧的两端分别与质量为m1、m2的A、B两物块相连，它们静止在光滑水平面上，两物块质量之比m1∶m2＝2∶3。现给物块A一个水平向右的初速度v0并从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．物块A、B与弹簧组成的系统动量守恒
B．物块A、B与弹簧组成的系统机械能不守恒
C．v3＝v0
D．v3＝0.4v0
AD　解析：物块A、B与弹簧组成的系统所受合外力为零，满足动量守恒，A正确；物块A、B与弹簧组成的系统只有弹簧的弹力做功，机械能守恒，B错误；在0～t1时间内，A向右减速，B向右加速，结合题图乙可知，t1时刻两者达到共同速度v3，据动量守恒定律可得m1v0＝(m1＋m2)v3，解得v3＝0.4v0，C错误，D正确。
6.如图所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上。一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块。当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s。设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点。则子弹穿过木块的时间为(　　)
A．(s＋L) B．(s＋2L)
C．(s＋L) D．(L＋2s)
D　解析：子弹穿过木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，以v0的方向为正方向，有mv0＝mv1＋mv2，设子弹穿过木块的过程所受阻力为Ff，对子弹由动能定理有－Ff(s＋L)＝mv－mv，由动量定理有－Fft＝mv1－mv0；对木块由动能定理有Ffs＝mv，由动量定理有Fft＝mv2，联立解得t＝(L＋2s)，D正确。
7.如图所示，A、B两个木块用轻质弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：子弹打入木块A，因水平面光滑，竖直方向所受合力为0，由动量守恒定律得mv0＝100mv1；对子弹和木块A、B组成的系统，当它们速度相同时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，由动量守恒定律得mv0＝200mv2，弹簧弹性势能的最大值Ep＝×100mv－×200mv＝，A正确。
8.(多选)如图所示，在光滑的水平面上放有两个小球A和B，mA＞mB，B球上固定一根轻质弹簧。A球以速率v去碰撞静止的B球，则(　　)
A．A球的最小速率为零
B．B球的最大速率为v
C．当弹簧压缩到最短时，B球的速率最大
D．两球的动能最小值为
BD　解析：A球与弹簧接触后，弹簧被压缩，弹簧对A球产生向左的弹力，对B球产生向右的弹力，故A球做减速运动，B球做加速运动，当B球的速度等于A球的速度时弹簧的压缩量最大，此后A球继续减速，B球继续加速，弹簧压缩量减小，当弹簧恢复原长时，B球速度最大，A球速度最小，此过程满足动量守恒和能量守恒，有mAv＝mAv1＋mBv2，mAv2＝mAv＋mBv，解得v1＝v，v2＝v，因为mA＞mB，可知A球的最小速率不为零，B球的最大速率为v，A、C错误，B正确；两球共速时，弹簧压缩到最短，弹性势能最大，此时两球动能最小，根据动量守恒有mAv＝(mA＋mB)v共，Ek＝(mA＋mB)v，联立可得Ek＝，D正确。
9.(多选)(2025·辽宁丹东期末)如图所示，两个半径均为R的圆槽静止放在水平地面上，圆槽底端点A、B所在平面与水平面相切。质量为m的小球(可视为质点)从左圆槽上端C点的正上方P点(P点未画出)静止释放，恰好从C点沿切线进入圆槽，PC间距离也为R，左侧圆槽质量为2 m，右侧圆槽质量为3 m。重力加速度为g。不计一切摩擦，下列说法中正确的是 (　　)
A.小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为mg
B.小球到A点时，左侧圆槽的位移
C.右圆槽的最大速度的大小是
D.小球在右侧圆槽上运动时，上滑过程和下滑过程的动量变化大小相等
CD　解析：小球从P到A过程，对小球和左圆槽组成的系统，水平方向动量守恒，机械能守恒。设小球到A点时小球速度为v1，左圆槽速度为v2，由水平动量守恒mv1=2mv2
机械能守恒mg·2R=m+·2m
联立解得v1=2，v2=
在A点，对小球，FN-mg=m
联立化简得FN=7mg
A错误；
小球和左圆槽组成的系统水平方向动量守恒，设小球水平位移为x1，左圆槽位移为x2，则mx1=2mx2
且x1+x2=R
联立解得x2=R
B错误；
小球与右圆槽相互作用过程，水平方向动量守恒，机械能守恒，当小球离开右圆槽时，右圆槽速度最大。设小球速度为v3，右圆槽速度为v4，则
mv1=mv3+3mv4，m=m+·3m
联立解得v4=
C正确；
小球在右侧圆槽上运动时，上滑和下滑过程，小球相对圆槽的位移大小相等，系统水平动量守恒，机械能守恒，所以小球动量变化大小相等，D正确。
10.(2025·广西贺州高二检测)如图所示，质量为m＝180 g、长为1 m的木块A静止在质量M＝1.8 kg的长木板B的左端，长木板B静止在光滑的水平面上。现有一颗质量为m0＝20 g的子弹，以v0＝300 m/s的初速度水平从左向右击中木块并嵌入木块中，子弹与木块作用时间极短且在木块中受到的平均阻力F阻＝9 000 N，此后，木块在长木板上向右滑行恰好不离开长木板，长木板的长度远大于木块长度，木块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.9，g取10 m/s2。求：
(1)嵌入木块后，子弹的速度大小；
(2)子弹在木块中嵌入的深度d；
(3)长木板B的长度。
答案：(1)30 m/s　(2)0.09 m　(3)45 m
解析：(1)子弹嵌入木块后，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m)v
代入数据解得v＝30 m/s。
(2)子弹嵌入木块后，由能量守恒定律得
F阻d＝m0v－(m0＋m)v2
代入数据解得d＝0.09 m。
(3)子弹嵌入木块后，子弹及木块在长木板上一起向右滑行恰好不离开长木板，由动量守恒定律得(m＋m0)v＝(M＋m＋m0)v共
解得v共＝3 m/s
由能量守恒定律可得(m＋m0)v2＝Q＋(M＋m＋m0)v
而产生的热量Q＝μ(m＋m0)gL
联立解得长木板B的长度L＝45 m。(共52张PPT)
动量守恒定律
专题拓展3　动量和能量的综合应用
第一章
物理观念 科学探究 科学态度与责任
　　进一步理解动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律的内容及其含义。 1.掌握应用动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律解题的方法步骤。 2．通过学习，培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力。 　　有将动量知识应用于生活和生产实践的意识，勇于探索日常生活中的物理问题。
关键能力 互动探究
1．模型特点
如图所示，子弹以某一初速度射入放在光滑水平面上的静止木块，子弹可能留在木块中(未穿出)，也可能穿出木块。
关键能力 互动探究
2．基本规律
(1)动量守恒：子弹打木块的过程很短暂，可认为该过程中内力远大于外力，系统动量守恒。
(2)机械能不守恒：在子弹打木块的过程中伴随摩擦生热，系统的机械能不守恒，损失的机械能转化为内能。且子弹未穿出木块时二者最后有共同速度，机械能损失最多。
关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
【例1】 (多选)如图所示，一颗子弹以初速度v0击中静止在光滑水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是(　　)
A．子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
BD
解 析
子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律可知子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量的大小相等、方向相反，B正确；摩擦力对木块做的功为Ffs，摩擦力对子弹做的功为－Ff(s＋d)，可知二者不等，C错误；对木块根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，等于木块动能的增量，D正确。
关键能力 互动探究
[练1] 如图所示，在水平地面上放置一个质量为M的木块，一颗质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：
(1)子弹射入木块后，木块在地面上前进的距离；
(2)射入的过程中，系统损失的机械能。
解 析
解 析
关键能力 互动探究
1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。
2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ffs相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。
3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。
关键能力 互动探究
【例2】 (2024·甘肃卷)如图所示，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P，小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
关键能力 互动探究
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)、碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
答案：(1)40 N　(2)4 m/s　(3)0.15
解 析
解 析
关键能力 互动探究
[练2] (多选)(2025·湖南株洲统考)一个质量为m、可视为质点的物块B静止于质量为M的木板C左端，木板静止于光滑水平面上，将质量为m的小球A用长为L的细绳悬挂于O点，静止时小球A与B等高且刚好接触，现对小球A施加一外力，使细绳恰好水平，如图所示。现将外力撤去，小球A与物块B发生弹性碰撞，已知B、C间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　)
BCD
关键能力 互动探究
解 析
关键能力 互动探究
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
2．整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，可以应用能量守恒定律解决此类问题。
3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。
关键能力 互动探究
【例3】 (多选)(2025·广西桂林高二期末)如图所示，细线的一端固定在O点，另一端系着质量为m的小球A，O点到光滑水平面的距离为h，未知质量的物块B和质量为2m的物块C用轻质弹簧拴接，静置于光滑的水平面上，且物块B位于O点的正下方。现拉动小球A使细线水平伸直后由静止释放，小球A运动到最低点时与物块B发生弹性正碰(碰撞时间极短)，小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
AD
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解 析
解 析
解 析
关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
(1)弹簧的最大压缩量；
(2)弹簧弹性势能的最大值。
答案：(1)1 m　(2)3 J
解 析
解 析
关键能力 互动探究
如图所示，质量为M的曲面滑块静止在光滑水平面上，曲面滑块的光滑弧面底部与桌面相切。一个质量为m的小球以速度v0向弧面滚来，若小球不能越过弧面，则小球到达最高点时(即小球竖直方向上的速度为零)，两物体的速度肯定相等(方向为水平向右)。
关键能力 互动探究
C
解 析
关键能力 互动探究
解 析
解 析
素养训练 学业评价
1．(多选)如图所示，一个质量为M的木块放置在光滑的水平面上，现有一颗质量为m、速度为v0的子弹射入木块并最终留在木块中，在此过程中，木块运动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，木块对子弹的平均阻力为Ff，则下列说法正确的是(　 　)
A．子弹射入木块前、后系统的动量守恒
B．子弹射入木块前、后系统的机械能守恒
C．Ff与d之积为系统损失的机械能
D．Ff与s之积为木块增加的动能
ACD
解 析
系统所受合外力为零，所以系统动量守恒，A正确；根据题意可知，在该过程中由于有部分机械能转化为内能，所以系统机械能减小，B错误；阻力与相对位移之积等于系统损失的机械能，即整个过程中产生的热量，C正确；根据能量守恒可知，子弹减少的动能一部分转化成了木块的动能，一部分转化成了内能，木块运动的距离为s，根据动能定理可知Ff与s之积为木块增加的动能，D正确。
素养训练 学业评价
2．如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为(　　)
D
解 析
素养训练 学业评价
3．(多选)(2025·广西柳州高二期中)光滑的水平面上，物体A、B的质量分别为m1和m2，且m1BC
素养训练 学业评价
A．当弹簧最短时，两种情况下物体A的速度大小相等
B．当弹簧最短时，第二种情况下物体A的速度较大
C．两种情况下，弹簧的最大弹性势能相同
D．第二种情况下，弹簧的最大弹性势能较大
解 析
素养训练 学业评价
A．整个过程中，小球和小车组成的系统动量守恒
B．如果m>M，小球脱离小车后，做自由落体运动
C．如果m>M，小球脱离小车后，沿水平向右做平抛运动
D．如果小球mC
解 析
素养训练 学业评价
5．(2024·安徽卷)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道长s＝1.0 m，圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
素养训练 学业评价
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
解 析
解 析
解 析
解 析
课时梯级训练(9)
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