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17.1 用提公因式法分解因式
课时2 用提公因式法分解稍复杂的因式
1.能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
2.掌握提公因式法的步骤及注意事项，能灵活运用提公因式法分解因式.
1.什么是公因式？找公因式的一般步骤是什么？
多项式中各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式.
把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
2.什么是提公因式法？
①定系数；②定字母；③定指数.
思考：公因式只能是数字或单独的一个字母吗？
知识点1 公因式为较复杂单项式的因式分解
把 8a b + 12ab c 分解因式.
问题1：如何找这两个单项式的公因式？
①定系数：
②定字母：
③定指数：
4
a
1
8与12的最大公因数是4
a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b
b
2
a的最低次数是1，b的最低次数是2
4ab2
8a3b2 + 12ab3c
问题2： 把8a b + 12ab c 分解因式.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
思考： 如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？
把 8a b + 12ab c 提出公因式 4ab，得 2ab＋3bc，
这个式子还有公因式 b，分解不彻底.
注意：因式分解一定要把原来的式子分到不能再分为止.
分解因式：
（1）8m2n+2mn; （2）4a2b+10ab ab2;
（3）p(a2+b2) q(a2+b2); （4）2a(y z)3 4b(z y)3.
解：（1）8m2n+2mn=2mn(4m+1).
（2）4a2b+10ab ab2=ab(4a+10 b).
（3）p(a2+b2) q(a2+b2)=(a2+b2)(p q).
（4）2a(y z)3 4b(z y)3=2(y z)3(a+2b).
将(z y)3转化为 (y z)3
知识点2 公因式为多项式的因式分解
把下列多项式分解因式：
(1)2a(b+c)-3(b+c) (2)4(a-b)3+8(b-a)2.
分析：(1)中的公因式为b+c.
(2)因为 (a - b) = (b - a) ，所以4(a-b)3和8(b-a) 的公因式是4(a-b) .
解:(1)2a(b+c)-3(b+c)
= (b+c)(2a-3)
(2) 4(a-b)3+8(b-a)2
= 4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2
= 4(a-b)2(a-b+2)
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
例 判断下列各式因式分解是否正确？如果错误，请改正.
(1) –a3 + a2b2 – a2b
解：原式 = –a2(a + b2 – b)；
(2) 36a3 + 24a2b
解：原式 = 6a2(6a + 4b)；
(3) a(a – b) + a(a – b)(a + b)
解：原式 = a(a – b)(a + b).
原式 = –a2(a – b2 + b)
注意：首项有负常提负，提负要变号
原式 = 12a2(3a + 2b)
注意：公因式要提尽
原式 = a(a – b)(1 + a + b)
注意：某项提完不要漏写1
×
×
×
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；
②分解因式分解到不能分解为止；
③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；
④首项有负号常提负号，提负要变号；
⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.
用提取公因式法分解因式的注意事项：
分解因式：
(2) x2(3a－2)＋x(2－3a)；
(2)原式＝x2(3a－2)－x(3a－2)＝x(3a－2)(x－1).
(1) a(3b－3c)＋3(c－b)；
解：(1) 原式＝3a(b－c)－3(b－c)＝3(b－c)(a－1).
＝2a(a－3)·(a－3)＋2a(a－3)·3a－2a(a－3)·4
(3) 2a(a－3) －6a (3－a)－8a(a－3).
(3)原式＝2a(a－3) ＋6a (a－3)－8a(a－3)
＝2a(a－3)[(a－3)＋3a－4]
＝2a(a－3)(4a－7).
提公因式法分解因式
1.公因式可以是单项式，也可以是多项式；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
方法
确定公因式的方法：①定系数；②定字母；③定指数
注意
第一步：找公因式；第二步：提公因式
1.下列因式分解结果正确的是( )
A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy) B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+ 2).
C. -x +xy-xz=-x(x+y-z) D.3b2+5ab+b=b(3a+5b)
2. 多项式4ab2+16a2b2-12a3b2c的公因式是( )
A.4ab2c B. ab2 C.4ab2 D.4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m，n的值分别为( )
A.m=l，n=-2 B.m=-1， n=-2
C.m=2，n=-2 D.m=-2，n=-2
B
C
B
4. 把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b)，则另一个因式是( )
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
5. 计算32×2021+42×2021+72×2021的结果为( )
A.2021 B.20210 C.202100 D.2021000
6. 相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为( )
A. 480 B.240 C.120 D.100
A
C
B
（1）已知方程3x-y=5，则代数式-6x+2y的值是 .
（2）已知ab=-7，a+b=2，则多项式a2b+ab2+2021的值为 .
（3）若x2+x-2=0，则x3+2x2-x+2016 等于 .
-10
2017
2018
7.填空：
8. 因式分解：
(2) (2x+1)(3x-2)-(2x+ 1)2.
(2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2
= (2x+1)(3x-2-2x-1)
= (2x+1)(x-3)
(1) 4a(x-y)-2b(y-x)；
解：(1)4a(x-y)-2b(y-x)
= 4a(x-y)+ 2b(x-y)
= 2(x-y)(2a+b).
解：∵ 6x-3y-1=0，xy = 2，
∴ 2x-y = ，
∴ 当2x-y = ，xy =2时，
原式 = (xy)3 ·(2x-y)=23 × = .
9. 已知6x-3y-1=0，xy = 2，求2x4y3-x3y4的值.

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