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17.1 用提公因式法分解因式
课时1 用提公因式法分解简单的因式
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.能确定简单多项式各项的公因式，并熟练掌握用提公因式法进行因式分解.
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的. 某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a，b， c，请你用不同的方法计算选手的得分，你有什么发现？
① pa+pb+pc
② p(a+b+c)
=
？
整式乘法
多项式
整式相乘
知识点1 因式分解的概念
探究 1.运用整式的乘法法则或公式填空.
(1) x(x+1)= ； (2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (x+1)2 = .
x2 +x
x2 -1
x2 +2x+1
2.请把下列多项式写成整式的乘积的形式.
(1) x2 +x=( )( ) (2) x2 -1 =( )( )
(3) x2 +2x+1 =( )2
x x+1
x+1 x-1
x+1
思考：观察第 2 题中左右两边的式子，你有什么发现？
都是多项式化成了几个整式的积的形式.
像这样的式子变形可以称为什么？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
因式分解的定义：
pa + pb + pc=p(a + b + c)
思考：整式乘法与因式分解有什么区别和联系？
联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
pa + pb + pc p(a + b + c)
因式分解
整式乘法
多项式的和
区别：
几个整式的乘积
判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
(1) a(b+c) = ab + ac； (2) x - 1 = (x+1)(x-1)；
(3) x + 2x + 1 = (x+1) ； (4) x - 3x + 2 = x(x-3) + 2.
解：(1) (4) 不是因式分解；(2) (3) 是因式分解.
小结：因式分解是由多项式向整式的乘积的转化.
知识点2 提公因式法
问题1：观察下列多项式，它们有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
相同的因式a
相同的因式x
相同的因式b
一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
例如：pa+pb+pc的公因式是 p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb； (2) 4kx-8ky；
(3) 5y3+20y2； (4) a2b-2ab2+ab.
m
4k
5y2
ab
思考：找多项式的公因式的步骤是什么？
正确找出多项式的公因式的步骤：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数　 二看字母　 三看指数
最大公约数　 相同字母　 最低指数
根据分配律有：p( a + b + c ) = pa + pb + pc，
问题2：对于公因式为数字或者单字母时如何进行因式分解？
反过来：pa + pb + pc = p( a + b + c ).
这样就把 pa + pb + pc 分解成两个因式乘积的形式.
其中一个因式是各项的公因式 p，另一个因式 a + b + c 是 pa + pb + pc 除以 p 所得的商.
pa + pb + pc = p (a+b+c)
公因式p与(a+b+c)的乘积.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
公因式
例1 分解因式：
(1)mx2 +my2； (2)3x2- 4xy2 + x.
mx2 +my2
m
解：(1) 公因式为m，
mx2 +my2 = m(x2 +y2 )；
3x2- 4xy2 + x.
x
(2) 公因式为x，
3x2 - 4xy2 + x = x(3x -4y2 +1).
当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
分析：
分析：
(1) 3x＋6y； (2) ab－2ac；
(3) 2a2＋a； (4) 9m2－6mn＋m.
分解因式：
解：(1) 3x＋6y＝3( x＋2y)；
(2) ab－2ac＝a( b－2c)；
(3) 2a2＋a＝a( 2a＋1)；
(4)9m2－6mn＋m＝m( 9m－6n＋1).
例2 利用因式分解计算：
(1) 1.992+1.99×0.01； (2) 49×20.22+52×20.22 20.22.
解：(1) 1.992+1.99×0.01
=1.99×(1.99+0.01)
=1.99×2
=3.98
(2) 49×20.22+52×20.22 20.22
= 20.22×(49+52 1)
= 20.22×100
=2022.
总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
提公因式法
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.
公因式
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.
定义
出多项式的公因式的步骤：①定系数；②定字母；③定指数.
1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
D
A.
B.
C.
D.
2.（1）多项式 的公因式是___；
（2）多项式 的公因式是___；
（3）多项式 的公因式是___.
3
3.若多项式可以分解为，则 ___.
4
4. 分解因式：
(1) ax ay ； (2) a2 2a ；
(3) a2+ab ； (4) xy y2+yz .
解：（1）原式=a(x y). （2）原式=a(a 2).
（3）原式=a(a+b). （4）原式=y(x y+z).
5.利用因式分解计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14.
(2) 原式＝20.25×(29＋72＋13－14) ＝ 2025.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
6.已知，求代数式 的值.
解： ，
.

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