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16.3.2 完全平方公式
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
3.掌握添括号法则，体会添括号和去括号之间的内在联系，并会运用乘法公式进行整式变形.
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
①直接法：S总 =
②间接法：S总=
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
知识点1 完全平方公式
探究：根据乘方的意义，我们知道：a2 = a · a，据此计算下列各式的积，你能发现什么规律？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） (m+2)2=( )( )= .
m2+4m+4
（3） (p-1)2=( )( )= .
p2-2p+1
（4） (m-2)2=( )( )= .
m2-4m+4
m+2
m+2
p-1
p-1
m-2
m-2
上面的几个运算都是形如 (a±b)2 的多项式相乘.
问题1： (a±b)2 应该写成什么样的结果形式呢？
根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得：
(a－b)2
＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2
＝a2－2ab＋b2.
(a＋b)2
＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2.
①两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.
②两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是（加或减）二项式中两项乘积的2倍.
问题2：比较式子等号的左右两边， 你发现它们有什么特点？
(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2．
即 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式：
(a+b)2 = a2+2ab+b2是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
思考：你能根据图(1) 和图(2) 中图形的面积说明完全平方公式吗？
b
a
a
b
图(1)
①
④
②
③
b
a
a
b
图(2)
①
②
④
③
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
（法一）大正方形的边长为 a＋b，
面积就是(a＋b)2.
（法二）①②③④ 四个部分，它们的面积分别为 a2，ab，ab，b2
整个面积为 a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
1.如何用不同的方法表示大正方形的面积？
b
a
a
b
图(1)
①
④
②
③
和的完全平方公式：
b
a
a
b
图(2)
①
②
④
③
（法一）图 ② 中正方形 ① 的边长为 a－b，
面积为 (a－b)2.
2.如何用不同的方法表示正方形①的面积？
（法二）把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 a2 减去右边和上边两个长为 a ，宽为 b 的长方形面积之和，即 2ab ，此时重复减了 ④ 的面积，即 b2 ，应将其补上，也就是 a2－2ab＋b2.
(a－b)2 ＝a2－2ab＋b2.
差的完全平方公式：
分析：在(1)中，可以把 4m 看成 a ，把 n 看成 b，
即 (4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2
(a＋b)2＝a2＋2·a·b＋b2
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2; (2)()2.
解：（1）原式=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2 +8mn+n2 ；
（2）原式=y2-2·y·
=y2 -y+.
模仿(1)的分析过程，尝试解答第(2)题？
(1) 1022；
解： (1)1022
= (100+2)2
=1002+22+2×100×2
=10404.
(2) 992.
(2)992
= (100 –1)2
=1002+12-2×100×1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
知识点拨：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
思考：观察下列三组式子，它们之间有何数量关系？
①(a+b)2与(-a-b)2；②(a-b)2与(b-a)2；③(a-b)2与a2-b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
互为相反数的两个数平方相等，故(-a-b)2=(a+b)2，(b-a)2=(a-b)2.
(a+b)2= (-a-b)2
(a-b)2=(b-a)2
①②中的式子相等，③不相等.
a+(b+c) = a+b+c;
a-(b+c) = a–b–c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a – ( b + c ) .
去括号法则：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：
添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
添括号法则：
“负变正不变”
知识点2 添括号法则
例3 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解: (1)
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
总结：整式相乘可以先作适当变形，然后再用公式.
计算：(1) (a－b＋c)2；
(2) (1－2x＋y)(1＋2x－y)．
＝1－4x2＋4xy－y2.
解：(1) 原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2) 原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]
＝12－(2x－y)2
完全平方公式
字母表示：(a±b)2= a2±2ab+b2
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号
注意
内容
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
1.项数、符号、字母及其指数.
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行.
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同
添括号法则
不变号
改变
1．与(x－2)2相等的是(　 )
A．x2－4 B．x2＋4x＋4
C．x2－4x＋4 D．x2－4x＋2
C
2. 下列各式中，可用完全平方公式计算的是( )
D
A.B.
C.D.
3．一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下4 cm，如果设方巾的边长为a cm，则茶几的面积为(　 　 )
A．(a2－16)cm2 B．(a2－64)cm2
C．(a2－16a＋64)cm2 D．(a2－8a＋16)cm2
C
4.已知 ，，则 ( )
A
A.25 B.19 C.9 D.6
5.运用乘法公式计算：
（1） ；
解：(1)原式
.
（2） ;
(2)原式
.
6. 运用完全平方公式计算：
（1）982； （2）70.52 .
解：(1) 982
= (100 – 2)2
= 1002 – 2×100×2 + 22
= 10000 – 400 + 4
= 9604
(2) 70.52
= (70 + 0.5)2
= 702 + 2×70×0.5 + 0.52
= 4900 + 70 + 0.25
= 4970.25
7.先化简，再求值：(x+y)(x-y)-(2x-y)2，其中x=3，y=4.
解：原式=x2-y2-(4x2-4xy+y2)
=-3x2+4xy-2y2
当x=3，y=4时，
原式=-27+48-32=-11.
8.已知 x－y＝6，xy＝－8. 求：
(1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
＝36－16＝20.
解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
方法总结：熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.

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