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16.3.1 平方差公式
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
在数学课上，老师出了一道计算题204×196，有什么办法能快速地计算出它的结果呢？
你知道他运用了什么知识吗？
小张同学将其变成(200+4)×(200-4)后很快得出答案
知识点 平方差公式
思考：（1）观察等式左边相乘的两个多项式有什么共同的特点？
(1) (x+1)(x-1)=_________=_____；
(2) (m+2)(m-2)=_____________=_____；
(3) (2x+1)(2x-1)=_____________=______.
x·x-x+x-1
x2 -1
m·m-2m+2m-4
m2 -4
2x·2x-2x+2x-1
4x2 -1
相同的两个数的和与两个数的差的积的形式.
x2 -12
m2 -22
(2x)2 -12
（2）观察右边的式子有什么特点？
乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
探究：根据前面我们学过的多项式相乘的知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（3）上述规律如何用字母来表示呢？
(a+b)(a-b)=a2-b2
怎么去证明呢？
利用多项式的乘法证明：
(a+b)(a-b)=
a2
-ab
+ab
-b2
=a2-b2.
(a+b)(a-b)=a2-b2
即 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
平方差公式：
平方差公式的结构特点:
1．等号左边：(1)两个二项式的积；(2)两个二项式中有相同项和相反项.
2．等号右边：(1)二项式；(2)相同项的平方减去相反项的平方．
可以是单项式，也可以是多项式
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形.
思考：你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？
a
a
a2-b2
=(a+b)(a-b)
b
b
a-b
a
b
(a-b) (a+b)=a2-b2.
下列各式能用平方差公式的是( )
C
A.B.
C.D.
分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，把 2 看成 b，
即 (3x+2)(3x-2) = (3x)2 - 22
(a + b)(a - b) = a2 - b2
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2); (2) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1） (3x+2)(3x-2) = (3x)2 - 22 =9x2 -4 ；
（2） (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2 - (2y)2 = x2 - 4y2.
模仿(1)的分析过程，尝试解答第(2)题？
注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式.
解：(1)原式= (x2 -1) (x2 +1)= x4 - 1
例2 计算：
(2) ( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+5 );
(3) 102×98.
(1) ( x-1)( x+1 ) (x2 +1);
(2)原式= y2 - 22 - ( y2 + 4y - 5)= y2 - 4 - y2 - 4y +5= -4y +1
(3)原式= (100+2)(100-2)= 1002 - 22= 10000 - 4= 9996
平方差公式
字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
符号相同为 a，符号相反为 b
注意
内容
两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差
和
差
公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式
1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A.(a+b)(-a-b) B.(b+m)(m-b)
C.(-x-b)(x-b) D.(x+a)(x-a)
2． ，括号内应填（ ）
A. B.
C. D.
3．若，则n的值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．
A
B
C
（1）若，则__________．
（2）已知 x+y-3=0，，则________，x－y的值为______.
（3）已知，，则______.
4.填空：
2022
27
-4
6
5.计算：
(1) (a+3b)(a-3b)； (2) (3+2a)(-3+2a)；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy-1)； (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
解：（1）原式= (a)2-(3b)2= a2-9b
（2）原式= (2a+3)(2a-3)= (2a)2- 32= 4a2 -9
（3）原式= (x2y2 12)(x2y2+1) = (x2y2)2 12= x4y4 1
（4）原式= (3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2 16- 6x2-5x+6= 3x2 5x-10
6.运用平方差公式计算：
(1)51×49； (2)200×199
解：(1) 51×49
= (50+1)×(50-1)
=502-12
=2500-1
=2499
(2)200×199
= (200 + ) - (200 - )
=2002 - () 2
=40000 -
=39999
7. 先化简，再求值：，其中，．
解：
；
把，代入原式得
＝．
8．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积．
解：由题知：
阴影部分的面积是： AE BC + AE BD
＝ AE(BC+BD)
＝ (AB﹣BE)(BC+BD)
＝ (a-b)(a+b)＝ (a2﹣b2)＝×10＝5．
答：阴影部分的面积是5．
A
C
B
D
b
a
E

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