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16.2 整式的乘法
课时4 整式的除法
1.理解并掌握同底数幂的除法的运算方法，单项式除以单项式的法则，多项式除以单项式的法则.
2.能正确运用整式乘法和除法的法则，熟练进行相关运算，并能解决简单的实际问题.
3.经历探究整式的除法的运算性质的推导过程，培养抽象概括能力和运算能力.
（1）某实验室引进了一种超级计算机，它每秒可进行1020次运算，它工作106秒可进行多少次运算呢？
1020 × 106 =1020+6 =1026.
（2）如果这台计算机总共进行了1030次运算，工作了105秒，它每秒运算多少次呢？
根据我们已有的知识如何计算呢？
1030 ÷ 105= .
？
知识点1 同底数幂的除法
1.根据同底数幂的乘法法则填空：
(1) ___×28=214；
(2)___×5=54；
(3) ___·b4=b12；
(4) ___·a4=a9.
26×28=___；
53×5=___；
b8·b4=___；
a5 ·a4=___.
26
214
53
54
b8
a5
b12
a9
26
53
b8
a5
① 214÷28=___=2(____)；
② 54÷5=___=5 (____) ；
③ b12÷b4=___=b(____)；
④ a9÷a4=___=a(____)；
2.根据左边的运算结果尝试完成右边的计算，然后仔细观察计算过程，你能发现什么规律？
同底数幂相除，底数不变，指数相减
14-8
4-1
12-4
9-4
3.如果把底数和指数都换成字母，即 am÷an，大家思考一下结论是否成立？
分析：除法是乘法的逆运算，根据被除数÷除数=商，am÷an 就是求一个数，使它与除数的积等于被除数.
am÷an (a≠0，m，n 都是正整数， m > n ).
因为 am-n·an = a(m-n)+n = am ，
所以 am÷an = am-n.
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
同底数幂的除法法则：
思考：为什么a ≠ 0？
0不能做除数，底数为0无意义.
想一想：am÷am= (a≠0)
？
根据除法的意义可知所得的商为1.
根据同底数幂的除法法则可得am÷am=am-m=a0.
规定：a0=1(a≠0) .
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
例如：99990=1，=1.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算.
例1 计算：
(1) x8÷x2 ； (2) (ab)5÷(ab)2.
解：(1) x8÷x2 = x8-2 = x6.
(2) (ab)5÷(ab)2 = (ab)5-2 = (ab)3 = a3b3.
例2 已知am＝100，an＝4，a＝5，求am－n－2的值．
总结：关键是逆用同底数幂的除法，即am－n =am÷an，对am－n－2进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵ am＝100，an＝4，a＝5，
∴ am－n－2＝am÷an÷a2＝100÷4÷52＝1.
知识点2 单项式除以单项式
问题：根据同底数幂的除法，尝试计算一下12a3b2x3 ÷ 3ab2 的值 .
分析：就是要求一个单项式，使它与3ab2的积等12a3b2x3 .
∵（ 4a2x3）·（3ab2） = 12a3b2x3，
∴（12a3b2x3）÷（3ab2 ）= 4a2x3.
理解：商式 4a2x3 的系数 4 = 12÷3；a 的指数 2 = 3 - 1；b 的指数 0 = 2 - 2，
而 b0 = 1，x 的指数 3 = 3 - 0.
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式除以单项式的运算法则：
12 a3 b2 x3÷3 a b2 = 4 a2 x3 1
商式= 系数 · 同底幂 · 被除式里单独的幂
底数不变，
指数相减
保留在商里，
作为因式.
例3 计算：
(1) (28x4y2)÷(7x3y)；
(2) (-5a5b3c)÷(15a4b).
= 4xy.
(2) 原式 = (-5÷15)a5-4b3-1c
解：(1) 原式 = (28÷7)x4-3y2-1
= - ab2c.
计算： (1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．
知识点3 多项式除以单项式
问题：如何计算（am+bm) ÷m？
分析：就是要求一个多项式，使它与m的积等am+bm .
∵ (a＋b)m=am＋bm，
∴ (am＋bm)÷m=a＋b，
又am÷m＋bm÷m=a＋b，
∴ (am＋bm)÷m=am÷m＋bm÷m.
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
多项式除以单项式的运算法则：
(am＋bm)÷m=am÷m＋bm÷m
多项式÷单项式
单项式÷单项式
转化
例4 计算：(12a3-6a2+3a) ÷(3a).
解：原式 =12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(-2a)+1
=4a2-2a+1.
方法总结：实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.计算过程中，要注意符号问题.
整式的除法
底数不变，指数相减
转化为单项式除以单项式
多项式除以单项式
同底数幂的除法
单项式除以单项式
①系数相除；
②同底数的幂相除；
③只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式
1.下列计算正确的是( )
A. a6÷a2=a3 B. a5÷a5=a
C. a3÷a=3 D. a5÷a2=a3
2.计算(-1)0+1的结果是( )
A. 2 B. 1 C.0 D.-1
3.已知8a3bm+ 8an b2=b2，则m，n的取值分别为( )
A. m=4, n=1 B. m=4, n=3
C. m=1, n=3 D. m=2, n=3
D
A
B
5.若2m=15，2n=5，则2m-n的值是_____.
6.若某长方形的面积为4a2-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是__________.
3
2a-3b+1
4.3xy与一个多项式的积为6xy-3xy2,则这个多项式为( )
A.6x2-y B.2x2-y
C.2x2+y D.2x2-xy
B
解：(1) x7÷x5=x7-5=x2.
(2) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2.
(3) -21x2y4÷(-3x2y3) = [(-21) ÷(-3)] ·x2-2·y4-3 =7y .
(4) (6×108)÷(3×105) = (6÷3) ×108-5=2×103.
(5) (6ab+5a)÷a=6ab÷a+5a÷a=6b+5.
(6) (15x2y-10xy2)÷(5xy)=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y.
7.计算：
(1) x7÷x5 ； (2) (xy)5÷(xy)3；
(3) -21x2y4÷(-3x2y3) ； (4) (6×108)÷(3×105)；
(5) (6ab+5a)÷a ； (6) (15x2y-10xy2)÷(5xy).
8.先化简，再求值： (x+y) (x-y)-(4x3y- 8xy3) + 2xy，其中x=1，y=-3.
解：原式=x2- xy+xy-y2- (2x2- 4y2)
= x2-y2-2x2+4y2
= -x2 + 3y2
当x=1，y=-3时，
原式= -12+3× (-3)2=-1+ 27= 26
9. 观察下列各式:
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
……
(1) 你能得到一般情况下(xn-1)÷ (x-1)的结果吗？(n为不小于2的整数)
(2) 根据这一结果计算: 1+2+22+23+···+262+263.
解： (1) (xn-1) ÷ (x- 1)=1+x+x2+x3+...+xn-2+xn-1
(2)原式=(264-1)÷(2-1)=264-1

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