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16.2 整式的乘法
课时3 多项式乘多项式
1.理解多项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.
2.经历探索多项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律和转化思想在代数运算中的应用.
3.简单掌握多项式乘以多项式的化简求值问题.
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
①不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项；
②去括号时注意符号的确定.
通过前面对单项式乘单项式，单项式乘多项式的学习，如何计算多项式乘多项式呢？
知识点 多项式乘多项式
问题：如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了bm，加宽了q m.
你能用几种方法求大草坪的面积呢？
a
p
q
ap
aq
bp
bq
b
（法一）扩大后的绿地可以看成长为(a+b) m， 宽为(p+q) m的长方形，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
(a+b)(p+q) .
（法二）扩大后的绿地可以分割成两个长方形，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
a(p+q)+b(p+q)或p(a+b)+q(a+b) ．
a
p
q
ap
aq
bp
bq
b
（法三）扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
ap+aq+bp+bq．
思考：以上的方法都是表示扩大后的绿地面积，根据上节课积累的经验，说说它们的表示方法之间有什么关系？
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
ap+aq+bp+bq
（多项式乘多项式）
（单项式乘多项式）
（单项式乘单项式）
(p q)看成一个整体
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘
乘法分配律
转化
单项式与单项式相乘
(a+b)( p+q)=
ap+aq+bp+bq
例1 计算：(1) (a + 3)(a - 2)； (2) (3x + 1)(x + 2)
(3)(x - 8y)(x - y)； (4) (a + b)(a2 - ab + b2).
解：(1) (a + 3)(a - 2)
= a · a + a · (-2) + 3 · a + 3 × (-2)
= a2 - 2a + 3a -6
= a2 + a -6.
(2) (3x + 1)(x + 2)
= 3x · (x + 2) + 1×(x + 2)
= 3x · x + 3x · 2 + 1 · x +1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
= 3x2 + 7x + 2.
多×多
单×多
单×单
转化
转化
例1 计算：(1) (a + 3)(a - 2)； (2) (3x + 1)(x + 2)
(3)(x - 8y)(x - y)； (4) (a + b)(a2 - ab + b2).
(3) (x-3y) · (xy2)2
= (x-3y) · x2y4
= x·x2y4 + (-3y) · x2y4
=x3y4 - 3x2y5
(4) x(y-z) - y(z-x) + z(x-y)
= xy + x(-z) + (-y) z + (-y) (-x) + zx + z(-y)
= xy - xz - yz + yx + zx - zy
= 2xy - 2yz
思考：在多项式乘多项式的运算过程中，应该注意什么问题？
①运算中不遗漏和不重复乘任何一项；
②多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项.
③多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要.
计算：
(1) (2x+1)(x+3) (2) (m+2n)(3n-m) (3) (a-1)2
(4) (a+3b)(a-3b) (5) (2x2-1)(x-4) (6) (x2+2x+3)(2x-5)
解：(1) 原式=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3
(2) 原式=3mn-m2+6n2-2mn=mn-m2+6n2
(3) 原式=(a-1)(a-1)=a2-a-a+1=a2-2a+1
(4) 原式=a2-3ab+3ab-9b2=a2-9b2
(5) 原式=2x2-8x2-x+4
(6) 原式=2x3-5x2+4x2-10x+6x-15=2x3-x2-4x-15
例2 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
（实质上是转化为单项式×单项式）
①运算中不遗漏和不重复乘任何一项；
②多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项.
③多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要.
注意
1.计算(x+1)(x+2)的结果为( )
A.x2+2 B.x2+3x+2 C.x2+3x+3 D.x2+2x+2
2.若(x+3)(x+n)=x2+mx-15,则m的值为( )
A.-5 B.5 C.-2 D.2
3.已知(x-2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项， 则m，n的值分别为( )
A. m=2,n=4 B. m=3, n=6
C. m=-2，n=-4 D. m=-3，n=-6
B
C
A
4.通过计算比较图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( )
A.a(b-x)=ab-ax
B. b(a-x)=ab-bx .
C. (a-x) (b-x)=ab-ax-bx
D. (a-x) (b-x)=ab-ax-bx+x2
D
a
b
a
b
x
x
x
x
图①
图②
5.计算:
(2x+3y) (x -2y) ; (2) (-2a+3) (5+a) ;
(3) (-3m+2)2 ; (4) (m+2) (2m2-m-3).
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2.
(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15.
(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4.
(4)原式= 2m3-m2-3m+4m2-2m-6= 2m3-m2+4m2-3m-2m-6= 2m3+3m2-5m-6.
6. 求值：(x-y)(x2+xy+y2)-(x+y)(x2-y2)，其中x= ，y=5.
解：原式= x x2+x xy+x y2+(-y) x2+(-y) xy+(-y) y2
-[x x2+x (-y2)+y x2+y (-y2)]
= x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3-x3+xy2-x2y+y3
= xy2-x2y.
当x= ，y=5时，xy2-x2y = ×52- ()2 ×5= .
7.如图，某小区有一块长为 (2a + 3b) ，宽为 (3a + 2b) 的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形的小路，小路的底边宽为 a ，将阴影部分进行绿化 .
3a+2b
2a+3b
a
(1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ；
(2) 若a = 3，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ．
解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a)
＝(3a＋2b)(a＋3b)
＝3a2＋11ab＋6b2.
(2) 当 a = 3，b = 6 时，
S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441.

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