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16.1.2 幂的乘方与积的乘方
1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则.
2.通过对比区分同底数幂乘法和幂的乘方的区别与联系.
3.能够运用幂的乘方与积的乘方的运算法则进行相关运算.
1.同底数幂的乘法的运算法则是什么？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am · an = am+n (m，n都是正整数).
2. 计算：(1) x4·x8； (2) a·a3·a5.　
解：(1) x4·x8 = x4+8 = x12.
(2) a·a3·a5 = a1+3+5= a9.　
思考：如何计算像(102)3 ，(2a)3这样的式子呢？
知识点1 幂的乘方运算及运用
探究1：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果的底数和指数，你有什么猜想？
(1)(32)3=32×32×32=3( )
(2)(a2)3= =a( )
(3)(am)3= =a( )
6
6
3m
a2×a2×a2
am×am×am
幂的乘方 结果的底数 结果的指数
(32)3= 36 3 6
(a2)3 = a6 a 6
(am)3 = a3m a 3m
猜想：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
如何证明？
(am)n =am · am · ··· · am
n个am
n个m
（乘方的意义）
（同底数幂的运算性质）
=am+m+···+m
=amn.
猜想：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
证明：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
（乘法的意义）
即(am)n＝amn(m，n都是正整数).
(am)n＝amn(m，n都是正整数).
即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方运算法则：
幂的乘方法则的逆用：
(m、n都是正整数).
注意：幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.
思考：[(am)n]p(m，n，p都是正整数)是否依旧满足底数不变，指数相乘的运算性质？如何表示呢？
当幂进行三次或三次以上乘方运算时，依旧满足底数不变，指数相乘.
例1 计算：
(1) (103)5 ； (2) (a4)4 ； (3) (am)2 ； (4) (x4)3 .
解： (1)原式=103×5=1015 ；
(2)原式=a4×4=a16 ；
(3)原式=am×2=a2m ；
(4)原式= x4×3= x12 .
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”.
例2 已知 am=2，an=3,
解:(1) a2m
= (am)2
= 22 = 4，
a3n
= (an)3
= 33= 27；
(3) a2m+3n
= a2m·a3n
= (am)2·(an)3
= 4×27 = 108.
（3） a2m+3n 的值.
（2） am+n 的值;
(2) am+n
= am·an
=2×3=6；
提示：公式的逆用之整体代入.
求：（1）a2m ，a3n的值；
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号，(-a5)2 =a10 .
不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号， (-a2)5 =-a10 .
n为偶数
n为奇数
思考：(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
知识点2 积的乘方运算及运用
(2)(ab)3 _____________=_____________=a( )b( )
探究2：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？观察运算结果的底数和指数，你有什么猜想？
(1)(ab)2 (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) a( )b( )
2
2
(ab)·(ab)·(ab)
3
3
(a·a·a)·(b·b·b)
运用了乘法交换律、结合律.
猜想：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
如何证明？
（乘方的意义）
（乘法交换律和结合律）
证明：一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n，
（乘方的意义）
即(ab)n=anbn (n为正整数).
猜想：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n=(ab)·(ab)· ··· ·(ab)
n个ab
n个a
n个b
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
=anbn.
(ab)n=anbn (n为正整数).
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
积的乘方运算法则：
思考：三个或三个以上因式的积的乘方具有这一性质？如何用符号表示？
(abc)n = anbncn （n为正整数）.
积的乘方法则的逆用：
anbn (ab)n (n是正整数).
(4) (-xny3m)2＝(-1)2x2ny6m＝x2ny6m.
解：(1) (-4ab)3＝(-4)3a3b3＝-64a3b3.
(2) -(3x2y)2＝-32x4y2＝-9x4y2.
(3) (-3×102)3＝(-3)3×(102)3＝-2.7×107.
例3 计算：(1) (-4ab)3； (2) -(3x2y)2；
(3) (-3×102)3； (4) (-xny3m)2.
例4 用简便方法计算：
(1) (2)0.125 2019×(－8 2020)．
（2） 0.1252019×(－8 2020)
＝－0.1252019×8 2020
＝－0.125 2019×82019×8
＝－(0.125×8)2019×8
＝－12019×8
＝－8.
解：（1）0.254×(-4)4
＝0.254×44
＝(0.25×4)4
＝1.
积的乘方的逆用，即anbn=(ab)n（n为正整数），可进行一些复杂的化简.
幂的乘方与积的乘方
(am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方
amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数)
(ab)n=anbn (n是正整数)
anbn=(ab)n (n是正整数)
积的乘方
[(am)n]p=(amn)p=am·n·p(m,n,p都是正整数)
(abc)n=anbncn (n是正整数)
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
(4)(-ab2)2= a2b4.
　　　
　　　
　　
×
√
×
×
1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
27c3d3
9a6
-8x9y3
2．计算(2×106)3的结果是(　 　)
A．6×109 B．8×109
C．2×1018 D．8×1018
D
3.如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.
ab
4.计算：
（1）–4xy2·(xy2)2·(–2x2)3； （2） (–a3b6)2＋(–a2b4)3.
解：原式= –4xy2·x2y4·(–8x6)
=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4
=32x9y6;
原式=a6b12+(–a6b12)
=0.
=[1+(–1)]a6b12
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般按照以下步骤进行计算：
①先算积的乘方再算乘法； ②算加减； ③合并同类项.
5.（1）已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值；
解：(1)a2m＋3n＝a2m·a3n＝(am)2·(an)3 ＝22×33＝108.
（2）若9x＝3x＋3，求x的值．
解：由9x＝3x＋3，得(32)x＝3x＋3 ，
∴32x＝3x＋3，
∴2x＝x＋3，解得x＝3.

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