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29．1.2　过三点的圆
学习目标
1．探索确定圆的条件，理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，会过不在同一条直线上的三点作圆．
2．理解三角形的外接圆、外心和圆的内接三角形的概念，会作三角形的外接圆，并能判断外心的位置．
3．了解反证法的基本步骤，能运用反证法证明简单命题，体会正难则反的转化思想．
· 预习导学 ·
知识点一　过已知点作圆
1．过一点可以作________个圆；过两点可以作________个圆，这些圆的圆心在两点连线的________上；过不在同一条直线上的三点可以作________个圆．这就得到：不在同一条直线上的三个点确定________个圆.
课堂探究　如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　B　).
A．2 B．3
C．4 D．5
知识点二　三角形的外接圆与外心
2．经过三角形的三个顶点可以作一个________，这个圆叫作三角形的________，外接圆的圆心是三角形________的交点，叫作这个三角形的________，这个三角形叫作圆的________．
课堂探究　下列关于三角形外心的说法中，错误的是(　C　).
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内部
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
温馨提示　(1)任意一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆的内接三角形可以有无数个．
(2)直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部．
知识点三　反证法
3．先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫作________．
课堂探究　用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　C　).
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
知识拓展　反证法中常用的结论词与反设词
结论词 反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
都是 不都是
一定是 不一定是
· 课时作业 ·
基础巩固
1．(教材P120习题T6变式)小红不小心把家里的一个圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是(　　).
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的平分线的交点
2．用反证法证明：若a>b>0，则a2>b2，应先假设(　　).
A．aC．a23．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作圆的个数为(　　).
A．0 B．1
C．2 D．0或1
4．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，点A在y轴上，点B的坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则它的外接圆的直径为________．
6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三点均在格点上，请确定圆心O的位置，使A，B，C三点都在⊙O上．(用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．)
能力达标
7．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理得出矛盾，则点和圆的位置关系是(　　).
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．不确定
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过A(0，3)，B(2，3)，C(3，2)三点，则下列说法正确的是(　　).
A．这条圆弧所在圆的半径为
B．点M(3，0)在这条圆弧所在圆外
C．原点O(0，0)在这条圆弧所在圆上
D．这条圆弧所在圆的圆心为(1，1)
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作⊙O，使⊙O经过点B，C，D(保留作图痕迹，不要求写作法).
挑战创新
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求△ABC的外接圆的半径．
参考答案
知识点
1.无数；无数；垂直平分线；一；一
2.圆；外接圆；三条边的垂直平分线；外心；内接三角形
3.反证法
基础巩固
1.B
2.D
3.D
4.(2，0)
5.10
6.点O如图所示．
能力达标
7.B
8.D
9.⊙O如图所示．
挑战创新
10.如图，因为在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，
所以作AD⊥BC，垂足为D，AD所在直线即为BC的垂直平分线．
作AB的垂直平分线l交AD于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为△ABC的外接圆．
连接OB.设OA＝OB＝R cm.由作图可知，BD＝BC＝×10＝5(cm).
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12(cm)，
故OD＝AD－OA＝(12－R)cm.
在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，
即(12－R)2＋52＝R2，解得R＝.所以△ABC的外接圆的半径为 cm.