资源简介

29．2.1　垂直于弦的直径
学习目标
1．理解圆的轴对称性，知道任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
2．掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理进行简单的计算与证明，会借助勾股定理构造直角三角形解决圆中线段问题．
3．经历垂径定理的探究与证明过程，体会数形结合与转化思想．
· 预习导学 ·
知识点一　圆的对称性
1．圆是________图形，任何一条________所在直线都是圆的对称轴．
课堂探究　下列说法正确的是(　B　).
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
知识点二　垂径定理及其推论
2．垂直于弦的________平分弦，并且平分弦所对的________．
3．平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的________．
课堂探究　如图，A，B，C三点在⊙O上，D为弦AB的中点，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则OD＝(　B　).
A． cm B． cm
C． cm D． cm
归纳总结　在圆中求半径、弦等线段的长度时，常常构造直角三角形，借助垂径定理并运用勾股定理来解决．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．下列说法正确的是(　　).
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，则下列结论中不一定成立的是(　　).
A．＝ B．＝
C．OE＝BE D．CE＝DE
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，OE＝12，AB＝10，那么⊙O的半径为(　　).
A．5 B．10
C．12 D．13
4．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，且CE＝2，OB＝5，则AB的长为(　　).
A．8 B．4
C．6 D．2
5．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D.若C(0，9)，D(0，－1)，则线段AB的长为(　　).
A．3 B．4
C．6 D．8
6．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB，垂足为C.若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为(　　).
A．6 B．9
C．12 D．15
7．已知⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是________．　
能力达标
8．已知⊙O的半径是2，P为⊙O内一定点，且PO＝1.过点P作⊙O的弦，其中最短的弦的长度是(　　).
A．4 B．
C．2 D．2
9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
10．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M.已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为________．
11．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).求证：AC＝BD.
12．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，求圆拱形门所在圆的半径长．
挑战创新
13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝30 m，C是的中点，D是AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝5 m，求这段弯路所在圆的半径长．
参考答案
知识点
1.轴对称；直径
2.直径；两条弧
3.垂直于；平分；两条弧
基础巩固
1.D
2.C
3.D
4.A
5.C
6.C
7.4≤OP≤5
能力达标
8.C
9.2
10.2
11.如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E.
则CE＝DE，AE＝BE，
所以BE－DE＝AE－CE，
即AC＝BD.
12.连接OA(图略).
由题意，得CD⊥AB，且CD过圆心O，
所以AD＝AB＝1，∠CDA＝90°.
设⊙O的半径为R，
则OA＝OC＝R，OD＝5－R.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6，
故圆拱形门所在圆的半径长为2.6 m．
挑战创新
13.如图，连接OA，OB，OD.
因为C是的中点，D是AB的中点，CD⊥AB，
所以AD＝DB＝AB＝15 m，O，D，C三点共线且OC⊥AB.
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2.
设圆的半径为r m，则OD＝(r－5)m，
所以r2＝(r－5)2＋152，解得r＝25.
所以这段弯路所在圆的半径长为25 m．

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