资源简介

29．2.3　圆周角
学习目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆中的圆周角．
2．掌握圆周角定理及其推论，能运用它们进行计算与证明，体会分类讨论与转化思想．
3．掌握圆内接四边形的对角互补性质，并能运用其解决相关问题．
· 预习导学 ·
知识点一　圆周角的概念
1．顶点在________并且两边都与圆________的角叫作圆周角．
课堂探究1　如图，∠APB是圆周角的是(　　).
知识点二　圆周角定理及其推论
2．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．
3．(1)同弧或等弧所对的圆周角________；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________．
课堂探究2　如图，已知AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点(不与点A，B重合)，连接BD并延长到点C，使DC＝BD，连接AC，试判断△ABC的形状．
知识点三　圆内接四边形的性质
4．圆内接四边形的对角________．
课堂探究3　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝55°，则∠BOD的度数是(　　).
A．75° B．110°
C．130° D．140°
知识拓展　圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角(如图，∠A＝∠1).
· 课时作业 ·
基础巩固
1．如图，在⊙O中，若∠BAC＝40°，则∠BOC的度数为(　　).
A．80° B．60°
C．40° D．20°
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点．若DC平分∠ODB，∠BCD＝20°，则∠CAB的度数为(　　).
A．20° B．30°
C．35° D．40°
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB的度数为(　　).
A．44° B．45°
C．54° D．67°
4．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为(　　).
A．55° B．60°
C．65° D．70°
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为(　　).
A．90° B．100°
C．110° D．120°
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.
7．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则α＝________°.
能力达标
8．(教材P132习题T4变式)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直尺进行了如图所示的测量，测得AB＝8 cm，BC＝6 cm，则圆形玻璃镜面的半径为________cm.
9．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是________°.
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，则CM＋DM的最小值为________cm.
11．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.求：
(1)BC的长；
(2)BD的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且＝，BE分别交CD，AC于点F，G，连接BC.求证：
(1)∠CAB＝∠DCB；
(2)F是BG的中点．
挑战创新
13．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M，其中正确的结论是________(填序号).
①∠MAC＝∠PBC；
②△ABC是等边三角形；
③PC＝PA＋PB；
④△PCM是等边三角形．
参考答案
知识点
1.圆上；相交
2.一半
3.（1）相等
（2）直角；直径
4.互补
课堂探究1D
课堂探究2【解】如图，连接AD.
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，
所以AD⊥BC.
又因为DC＝BD，所以AC＝AB，
所以△ABC是等腰三角形．
易错提醒　若“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论就不一定成立．例如，如图，弦AB所对的圆周角∠C和∠E相等，∠C和∠D互补，所以在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．
课堂探究3 B
基础巩固
1.A
2.C
3.A
4.C
5.C
6.90
7.140
能力达标
8.5
9.25
10.8
11.(1)因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB＝∠ADB＝90°.
所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝＝＝5，
即BC的长为5.
(2)因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠BCD＝45°，
所以＝.
所以BD＝AD.
设BD＝AD＝x.
在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，
所以x2＋x2＝102，解得x＝5，
即BD的长为5.
12.(1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠DCB＝90°.
因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°，
所以∠CAB＋∠ACD＝90°，
所以∠CAB＝∠DCB.
(2)因为＝，
所以∠CBE＝∠CAB.
因为∠CAB＝∠DCB，所以∠CBE＝∠DCB，所以FB＝FC.
因为∠CGB＋∠CBG＝∠DCG＋∠BCF＝90°，
所以∠CGB＝∠DCG，所以FG＝FC，
所以FB＝FG，所以F是BG的中点．
挑战创新
13.①②③④

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