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　　　　　　　　　　　30.3　正多边形与圆
学习目标
1．理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等有关概念．
2．掌握正多边形的有关计算方法，会运用半径、边心距、边长之间的关系进行计算．
3．体会将正多边形计算问题转化为直角三角形问题的化归思想．
· 预习导学 ·
知识点一　正多边形的有关概念
1．正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的________，外接圆的半径叫作正多边形的________，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的________．
课堂探究　下列说法正确的是(　C　).
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
知识点二　正多边形的有关计算
2．正n边形的中心角度数为________．正多边形半径R、边心距r、边长a之间的关系：________．
课堂探究　如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4.
(1)求点O到AB的距离；
(2)求正六边形ABCDEF的面积．
解题通法　在正多边形与圆中，有关正多边形的边长、半径、边心距和中心角的计算问题，一般转化为直角三角形的问题，再利用勾股定理计算．其各个量之间的关系如下(半径用R表示，边心距用r表示，边长用a表示)：
(1)＋r2＝R2.若已知其中两个量，则可求出第三个量．
(2)周长：l正n边形＝na.
(3)面积：S正n边形＝lr.
· 课时作业 ·
基础巩固
1．若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是(　　).
A．正八边形 B．正七边形
C．正六边形 D．正五边形
2．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，则∠ADE的度数为(　　).
A．30° B．32°
C．36° D．40°
3．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点的坐标为(　　).
A．(1，－) B．(－1，)
C．(－，1) D．(，－1)
4．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为(　　).
A．4R＝5r B．3R＝4r
C．2R＝3r D．R＝2r
5．如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________．
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点A，B重合)，则∠CPE的度数为________．
能力达标
7．如图，边长为8的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为(　　).
A．16－8 B．8
C．16＋8 D．16－4
8．如图，已知⊙O的半径为1 cm，求作⊙O的内接正八边形．
9．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径．
挑战创新
10．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用的指南针的始祖，如图1所示．如图2，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分(点A～H)，过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG.
　
(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为________；
(2)求AG的长；
(3)求ME的长．
参考答案
知识点
1.中心；半径；中心角；边心距
2.；(a)2＋r2＝R2
课堂探究　【解】(1)如图，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB，垂足为H.
因为六边形ABCDEF是正六边形，
所以∠AOB＝360°÷6＝60°.
因为OA＝OB＝4，
所以∠AOH＝30°，
所以AH＝OA＝2，
所以在Rt△AOH中，
OH＝＝＝2，
即点O到AB的距离为2.
(2)因为OA＝OB，OH⊥AB，
所以AB＝2AH＝4，
所以正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24.
基础巩固
1.C
2.C
3.D
4.D
5.10
6.72°
能力达标
7.A
8.如图，任意作一条⊙O的直径
AB，作AB的垂线，可得直径CD，再分别作∠AOC和∠AOD的平分线EF，GH，分别交⊙O于点E，F，G，H，连接相邻的交点，即可得正八边形AECHBFDG.
9.如图，连接OB，OC，OD，
则∠BOC＝＝120°，
∠BOD＝＝30°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝120°－30°＝90°.
设⊙O的半径为r.
在Rt△COD中，根据勾股定理，得r2＋r2＝(5)2，
所以r＝5，
即⊙O的半径为5.
挑战创新
10.(1)45°
(2)因为AE为⊙O的直径，
所以∠AGE＝90°.
因为＝，
所以AG＝EG，
所以∠GAE＝∠AEG＝45°，
所以AG＝EG＝10.
(3)因为ME为⊙O的切线，
所以∠AEM＝90°.
由(2)知，∠GAE＝45°，
所以ME＝AE＝20.

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