资源简介

30．1.2　圆的切线
第1课时　切线的性质与判定
学习目标
1．掌握切线的性质定理，能运用见切线连半径得垂线的思路进行计算与证明．
2．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
3．能综合运用切线的性质与判定解决相关问题，体会转化思想．
· 预习导学 ·
知识点一　切线的性质
1．圆的切线________过________的半径．
课堂探究1　如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°，则∠CAB＝(　　).
A．62° B．31°
C．28° D．56°
归纳总结　当已知圆的切线和切点时，通常需要连接圆心和切点，可以得到切线与半径垂直，即“见切线，连半径，得垂线”．
知识点二　切线的判定
2．经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线．
课堂探究2　如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，B为⊙O外一点，且∠BAD＝∠C.求证：AB是⊙O的切线．
归纳总结　证明直线是圆的切线的方法：
· 课时作业 ·
基础巩固
1．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为(　　).
A．5 B．6
C．7 D．8
2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A的切线的是(　　).
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B－∠C＝∠A
C．AB2＋BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC的中点
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC.若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是(　　).
A．OC∥AE
B．∠OAC＝∠CAE
C．∠OCA＝∠CAE
D．OA＝AC
4．如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D，C，连接BC.若∠A＝40°，则∠ACB＝________°.
5．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB＝30°，则∠B的度数为________°.
6．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数为________时，AC与⊙O相切．
7．以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC按如图所示方式摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P.若点P的读数为40°，则∠CBD的度数是________．
能力达标
8．(2025·广东)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
9．如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD＝BD.
(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
10．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，C是的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
11．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB＝BD，过点B作BE⊥DE交DC的延长线于点E.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若AB＝3，BE＝3，求⊙O的半径．
挑战创新
12．我们将在平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P的个数是(　　).
A．4 B．6
C．8 D．10
参考答案
知识点
1.垂直于；切点
2.外端；垂直于
课堂探究1 B
课堂探究2 【证明】连接OA(图略).
因为CD是⊙O的直径，
所以∠CAD＝90°，
所以∠C＋∠D＝90°.
因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠D.
又因为∠BAD＝∠C，
所以∠OAB＝∠OAD＋∠BAD＝∠D＋∠C＝90°，
所以OA⊥AB.
又因为OA是⊙O的半径，
所以AB是⊙O的切线．
基础巩固
1.D
2.D
3.D
4.25
5.60
6.60°
7.40°
能力达标
8.连接OD(图略).
因为BC切⊙O于点D，
所以OD⊥BC.
因为△ABC为直角三角形，且AC为斜边，
所以AB⊥BC.
所以OD∥AB.
所以∠ODA＝∠BAD.
因为OD＝OA，
所以∠ODA＝∠OAD.
所以∠BAD＝∠OAD.
所以AD平分∠BAC.
9.(1)BD与⊙O相切．证明如下：
如图，连接OB.
因为OA＝OB，DC＝DB，
所以∠A＝∠ABO，
∠DCB＝∠DBC.
因为AO⊥OD，
所以∠AOC＝90°，
即∠A＋∠ACO＝90°.
因为∠ACO＝∠DCB＝∠DBC，
所以∠ABO＋∠DBC＝90°，
即OB⊥BD.
又因为OB为⊙O的半径，
所以BD为⊙O的切线．
(2)设BD＝x，则OD＝x＋1，而OB＝OA＝3，
在Rt△OBD中，OB2＋BD2＝OD2，
即32＋x2＝(x＋1)2，
解得x＝4，
所以线段BD的长是4.
10.(1)连接OC(图略).
因为C是的中点，所以＝，
所以∠BAC＝∠CAE.
因为OC＝OA，所以∠OCA＝∠OAC，
所以∠OCA＝∠CAD，所以OC∥AD.
因为AD⊥CD，所以OC⊥CD.
又因为OC是⊙O的半径，
所以CD是⊙O的切线．
(2)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°.
因为∠ABC＝60°，所以∠BAC＝30°，
所以∠CAD＝∠BAC＝30°，
所以∠BAD＝60°.
因为∠D＝90°，CD＝，
所以AC＝2CD＝2.
所以AD＝＝3.
因为∠F＝180°－∠D－∠BAD＝30°，
所以AF＝2AD＝6.
11.(1)如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD.
因为AB＝BD，
OA＝OD，
所以BO垂直平分AD，
所以∠BHD＝90°.
因为AC为⊙O的直径，
所以∠ADC＝90°，
因为BE⊥DE，
所以∠E＝90°，
所以四边形BEDH为矩形，
所以∠OBE＝90°.
因为OB为⊙O的半径，
所以BE为⊙O的切线．
(2)在Rt△BDE中，
因为BD＝AB＝3，BE＝3，
所以DE＝＝3.
因为四边形BEDH为矩形，
所以DH＝BE＝3，BH＝DE＝3.
设⊙O的半径为r，
则OH＝3－r，OD＝r，
在Rt△ODH中，(3－r)2＋32＝r2，解得r＝，
即⊙O的半径为.
挑战创新
12.B

展开更多......

收起↑