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九年级数学（人教版）上册
第二十二章 二次函数
微专题 抛物线与存在性（3）等腰直角三角形
二次函数与等腰直角三角形的存在性问题，是中考数学压轴题中极具区分度的题目.解决这类问题要掌握等腰直角三角形的两大几何重点——“90°垂直”与“两腰相等”，通过“一线三垂直（K型全等）”与“绕直角顶点旋转90°”，将几何特征转化为代数方程.
模型名称 题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
K型一线三垂直模型 已知两定点 与抛物线上动点 ① 为斜边：中垂线上中线 ； ② 为直角边：过 或 作垂线构造全等直角三角形 向坐标轴引铅垂线或水平线构造全等
定点直角旋转模型 抛物线上两动点与坐标原点（或定点）构角 绕直角顶点旋转90°坐标变换：
或 代入抛物线联立 利用旋转全等将双动点化为单变量一元方程
双动点关联存在性模型 一动点在抛物线上，另一动点在直线上 设定点为直角顶点，利用两动点在直角两翼的坐标增量关系列方程 K型一线三垂直全等消元法
面积极值与对称轴交汇模型 对称轴/极值点与等腰直角三角形交汇 按三顶点分别为直角顶点分类讨论，勾股定理列二次方程检验舍解 数形结合、两点距离公式与判别式检验
一、定线段为基础的等腰直角三角形存在性
（K型一线三垂直分类模型）
【模型 1】两定点构边·K型一线三垂直分类求解模型
【模型特征】已知平面直角坐标系中两定点 （通常在坐标轴或定直线上），在抛物线上探究动点 ，使 为等腰直角三角形. 【分类破题法则】
① 定边 为斜边（1 种对称情形）：以 为直径作圆（或由 到 中点距离等于 ），过 作垂线构造全等直角三角形；
② 定边 为直角边（2 种情形）：分别以点 或点 为直角顶点，过动点 向垂直方向或坐标轴引垂线，构造“K型图” 列出代数方程求解. 【核心通法】利用过直角顶点向水平或铅垂方向作垂线，将斜线段的垂直与相等关系转化为水平线段、铅垂线段的长度相等，进而直接列出关于动点横纵坐标的一元二次方程.
【典例 1】（2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得以 为顶点的三角形是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：令 ，得 ，分解因式得 .
解得 ，.
∵ 点 在点 的左侧，∴ ，.
令 ，得 ，∴ .
（2）解：假设存在符合条件的点 .
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ 且 .
由 可知点 必在 的垂直平分线上，
∵ ，，线段 的中点为 ，线段 ，
∴ 垂直平分线为直线 ，即点 的横坐标 .
在 中，斜边上的中线 .
∴ 点 的纵坐标绝对值 ，即 或 .
把 代入抛物线解析式得：.
∵ 且 （顶点为 ，此时 ），
∴ 在抛物线上不存在点 ，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形.
【梯级演练 1-1】（变式进阶·2026·浙江杭州·九年级期末）
如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 为抛物线第一象限上一点，连接 .若 是以 为直角边的等腰直角三角形，求点 的坐标.
解：由题意得 ，，则 .
以 为直角边的等腰直角三角形分为两种情形：
① 当 时：
过点 作 ，则直线 平行于 轴，直线方程为 .
∵ ，且点 在第一象限，∴ 点 的坐标为 .
代入抛物线方程验证：当 时，，点 不在抛物线上，舍去.
② 当 时：
过点 作 ，则直线 为 轴，此时 .
点 在 轴正半轴上，坐标为 .
代入抛物线验证：当 时，，符合题意！
综上所述，符合条件的点 的坐标为 .
【梯级演练 1-2】（培优冲刺·2025·江苏南京·中考模拟）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .在平面直角坐标系中是否存在点 在抛物线上，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：，，线段 .设点 .
分三类情形分类讨论：
① 当 为斜边时：由中点 知对称轴为 轴，.
斜边上中线 ，∴ .
当 时，，此时点 恰为抛物线顶点 ，满足 且 ，.
② 当 时： 点横坐标 ，.
把 代入抛物线得 ，此时 与 重合，舍去.
③ 当 时： 点横坐标 ，.
代入抛物线得 ， 与 重合，舍去.
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 .
二、以原点或定点为直角顶点的旋转代数化模型
【模型 2】定点直角·坐标旋转90°与全等构造模型
【模型特征】探究抛物线上两动点 与坐标原点 （或轴上定点）构成以该定点为直角顶点的等腰直角三角形 . 【旋转坐标变换与代数法】
设点 ，将线段 绕原点 旋转 ：
① 逆时针旋转 得到点 ；
② 顺时针旋转 得到点 .
将旋转后点 的坐标代入抛物线方程即可转化为关于 的一元方程，求出全部存在解. 【推导几何依据】过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，易证 （一线三垂直/K型图），对应边转化为横纵坐标交换与变号.
【典例 2】（2025·广东广州·九年级期末）
如图，已知抛物线 .若在抛物线上存在两点 （均异于原点 ），使得 是以原点 为直角顶点的等腰直角三角形，且点 在第四象限，求点 与点 的坐标.
【解答】
解：设点 .∵ 点 在第四象限，∴ 且 ，即 .
∵ 是以原点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
将线段 绕原点 逆时针旋转 得到点 ，由旋转变换公式得：
，.
即点 .
∵ 点 也在抛物线 上，把点 坐标代入抛物线得：
.
化简整理：.
∵ ，两边同除以 得：
，即 .
展开整理得：.
观察因式分解：.
∵ 对于方程 ，判别式 无实数根，
∴ 唯一实数解为 .
当 时：
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 .
检验：，，
，，，完全符合题意！
答：点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
【梯级演练 2-1】（变式进阶·2026·山东青岛·九年级开学考）
已知抛物线 ，顶点为 .若在抛物线上存在对称的两点 ，使得 是以顶点 为直角顶点的等腰直角三角形，求线段 的长度.
解：由抛物线的轴对称性，设 ，，其中 .
∵ 点 关于 轴对称，线段 轴于点 .
由等腰直角三角形对称性， 且 ，
∴ ， 为等腰直角三角形，即 .
∵ ，.
∴ .
∵ ，两边同除以 得 ，解得 .
∴ .
答：线段 的长度为 .
【梯级演练 2-2】（培优冲刺·2025·四川成都·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 .过点 作两条相互垂直的直线分别交抛物线于 两点（均异于点 ），若 ，求点 与点 的坐标.
解：∵ 且 ， 为以 为顶点的等腰直角三角形.
设直线 的解析式为 （），则直线 的解析式为 .
联立直线 与抛物线方程：，得 .
解得 ，.代入得 .
同理，联立直线 与抛物线方程得：，.
由两点间距离公式：；
.
∵ ，∴ ，即 .
化简得：.
∵ ，两边同除以 得 ，即 .
∵ ，∴ .
∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
三、双动点关联存在性模型
（动点在抛物线上+动点在直线上）
【模型 3】抛物线动点与直线动点联动·K型全等方程模型
【模型特征】动点 沿抛物线运动，动点 沿已知一次函数直线运动，以某定点 （或动点 ）为直角顶点构成等腰直角三角形. 【一线三垂直列方程步骤】
① 设动点坐标：设 ，；
② 依直角顶点过三点作坐标轴平行线构造 ；
③ 得横纵坐标差的等量关系： 且 ；
④ 联立消元求解并严格代回检验. 【推导几何依据】教材第十二章全等三角形“一线三等角/K型全等”，八上直角三角形性质与两点距离代数化.
【典例 3】（2025·北京海淀·九年级期末）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 和点 .点 是抛物线上一点（），点 是直线 上一点.是否存在点 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
解：假设存在满足条件的点 （），点 在直线 上.
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，易证 全等（K型一线三垂直）：
依旋转 对应坐标变换：
① 若点 由点 绕点 顺时针旋转90° 得到：
则 ，，
即 ，，即 .
∴ .
整理得 ，解得 （舍去，与点 重合），.
当 时，，此时 .
代入得 ，检验 ，，，完全成立！
② 若点 由点 绕点 逆时针旋转 得到：
则 ，.
∴ ，整理得 ，同理得 .
此时 ，点 ，同理对应 .
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 .
【梯级演练 3-1】（变式进阶·2026·陕西西安·九年级期中）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 为第一象限抛物线上一点，点 在 轴上.若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 的横坐标 的值.
解：∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴于点 ，
由等腰直角三角形斜边中线与高性质，点 到两腰的投影全等，
可得 （或由对称性 为 中点且 ），
∴ ，即 .
整理得 .
∵ 点 在第一象限，∴ ，解得 .
答：点 的横坐标 的值为 .
【梯级演练 3-2】（培优冲刺·2025·上海杨浦·中考模拟）
如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 .抛物线 经过 两点.点 为抛物线在第一象限上一点，点 在直线 上.若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 的坐标.
解：把 代入抛物线解析式：
得 ，解得 .
∴ 抛物线解析式为 .
设 （）， 在直线 上.
过点 作 轴平行线，过 作垂线构造全等直角三角形：
由 且 ，利用直线 的倾斜角为 的特殊性质，
列方程得 .
代入抛物线解析式得 .
∴ 点 的坐标为 .
四、铅垂高、面积极值与等腰直角三角形交汇综合模型
【模型 4】对称轴动点·等腰直角三角形分类讨论与最值交汇模型
【模型特征】二次函数综合压轴题中，常常将线段最值（如铅垂高、周长/面积最值）与等腰直角三角形的存在性结合在最后一问，综合考查分类讨论能力与数形结合思想. 【三步通法】
① 确定定点与动点坐标表达式（对称轴上点设为 ）；
② 按“哪个角为直角”分成三类（）；
③ 利用勾股定理两点间距离列出方程，代数求根并结合图形几何意义进行增根检验与取舍. 【推导几何依据】勾股定理 与勾股定理逆定理，二次函数顶点与对称轴代数性质.
【典例 4】（中考压轴·2025·河北石家庄·中考模拟）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 .
（1）求直线 的解析式；
（2）点 是对称轴直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：设直线 的解析式为 .
把 代入得：，解得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）解：由 得 ，.
设对称轴 上动点 .
分两类直角边情况讨论：
① 当 时（点 为直角顶点）：
，则 .
∵ ，∴ .
解得 ，即 .
检验垂直条件：，则垂直线斜率必为 ..
当 时斜率垂直，但此时 ，
说明线段 长度等于 时与 并不垂直；
精确计算垂直点：过 作 垂线 ，与 交点为 ，此时 ，无解！
② 当 时（点 为直角顶点）：
过 作 垂线，其斜率为 ，解析式为 .
令 ，得 .此时 .
计算 ，长度不相等，无解！
综上所述，在对称轴上不存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形.
【梯级演练 4-1】（变式进阶·2026·河南郑州·九年级阶段考）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，求点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：，线段 .点 在 轴上，设 .
由对称性 .
若 为等腰直角三角形，则只能是以点 为直角顶点，
∴ ，即 .
化简得 .
解得 或 .
∴ 存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 4-2】（中考压轴·2025·重庆·中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .点 是 轴上的动点，点 是抛物线对称轴 上的动点.当以 为顶点的三角形是以 为直角顶点的等腰直角三角形时，求点 的坐标.
解：设 ，，定点 .
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴的垂线 轴于 ，
易知 中，，.
由 （一线三垂直全等）：
可得 ，且 ，
∴ 或 .
① 当 时：，点 在点 右侧，（点 ，恰与点 重合）；
② 当 时：，点 在点 右侧，（点 ）.
若点 在点 左侧，则与点 重合，舍去.
综上所述，符合条件的点 的坐标为 .九年级数学（人教版）上册
第二十二章 二次函数
微专题 抛物线与存在性（3）等腰直角三角形
二次函数与等腰直角三角形的存在性问题，是中考数学压轴题中极具区分度的题目.解决这类问题要掌握等腰直角三角形的两大几何重点——“90°垂直”与“两腰相等”，通过“一线三垂直（K型全等）”与“绕直角顶点旋转90°”，将几何特征转化为代数方程.
模型名称 题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
K型一线三垂直模型 已知两定点 与抛物线上动点 ① 为斜边：中垂线上中线 ； ② 为直角边：过 或 作垂线构造全等直角三角形 向坐标轴引铅垂线或水平线构造全等
定点直角旋转模型 抛物线上两动点与坐标原点（或定点）构角 绕直角顶点旋转90°坐标变换：
或 代入抛物线联立 利用旋转全等将双动点化为单变量一元方程
双动点关联存在性模型 一动点在抛物线上，另一动点在直线上 设定点为直角顶点，利用两动点在直角两翼的坐标增量关系列方程 K型一线三垂直全等消元法
面积极值与对称轴交汇模型 对称轴/极值点与等腰直角三角形交汇 按三顶点分别为直角顶点分类讨论，勾股定理列二次方程检验舍解 数形结合、两点距离公式与判别式检验
一、定线段为基础的等腰直角三角形存在性
（K型一线三垂直分类模型）
【模型 1】两定点构边·K型一线三垂直分类求解模型
【模型特征】已知平面直角坐标系中两定点 （通常在坐标轴或定直线上），在抛物线上探究动点 ，使 为等腰直角三角形. 【分类破题法则】
① 定边 为斜边（1 种对称情形）：以 为直径作圆（或由 到 中点距离等于 ），过 作垂线构造全等直角三角形；
② 定边 为直角边（2 种情形）：分别以点 或点 为直角顶点，过动点 向垂直方向或坐标轴引垂线，构造“K型图” 列出代数方程求解. 【核心通法】利用过直角顶点向水平或铅垂方向作垂线，将斜线段的垂直与相等关系转化为水平线段、铅垂线段的长度相等，进而直接列出关于动点横纵坐标的一元二次方程.
【典例 1】（2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得以 为顶点的三角形是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：令 ，得 ，分解因式得 .
解得 ，.
∵ 点 在点 的左侧，∴ ，.
令 ，得 ，∴ .
（2）解：假设存在符合条件的点 .
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ 且 .
由 可知点 必在 的垂直平分线上，
∵ ，，线段 的中点为 ，线段 ，
∴ 垂直平分线为直线 ，即点 的横坐标 .
在 中，斜边上的中线 .
∴ 点 的纵坐标绝对值 ，即 或 .
把 代入抛物线解析式得：.
∵ 且 （顶点为 ，此时 ），
∴ 在抛物线上不存在点 ，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形.
【梯级演练 1-1】（变式进阶·2026·浙江杭州·九年级期末）
如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 为抛物线第一象限上一点，连接 .若 是以 为直角边的等腰直角三角形，求点 的坐标.
解：由题意得 ，，则 .
以 为直角边的等腰直角三角形分为两种情形：
① 当 时：
过点 作 ，则直线 平行于 轴，直线方程为 .
∵ ，且点 在第一象限，∴ 点 的坐标为 .
代入抛物线方程验证：当 时，，点 不在抛物线上，舍去.
② 当 时：
过点 作 ，则直线 为 轴，此时 .
点 在 轴正半轴上，坐标为 .
代入抛物线验证：当 时，，符合题意！
综上所述，符合条件的点 的坐标为 .
【梯级演练 1-2】（培优冲刺·2025·江苏南京·中考模拟）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .在平面直角坐标系中是否存在点 在抛物线上，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：，，线段 .设点 .
分三类情形分类讨论：
① 当 为斜边时：由中点 知对称轴为 轴，.
斜边上中线 ，∴ .
当 时，，此时点 恰为抛物线顶点 ，满足 且 ，.
② 当 时： 点横坐标 ，.
把 代入抛物线得 ，此时 与 重合，舍去.
③ 当 时： 点横坐标 ，.
代入抛物线得 ， 与 重合，舍去.
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 .
二、以原点或定点为直角顶点的旋转代数化模型
【模型 2】定点直角·坐标旋转90°与全等构造模型
【模型特征】探究抛物线上两动点 与坐标原点 （或轴上定点）构成以该定点为直角顶点的等腰直角三角形 . 【旋转坐标变换与代数法】
设点 ，将线段 绕原点 旋转 ：
① 逆时针旋转 得到点 ；
② 顺时针旋转 得到点 .
将旋转后点 的坐标代入抛物线方程即可转化为关于 的一元方程，求出全部存在解. 【推导几何依据】过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，易证 （一线三垂直/K型图），对应边转化为横纵坐标交换与变号.
【典例 2】（2025·广东广州·九年级期末）
如图，已知抛物线 .若在抛物线上存在两点 （均异于原点 ），使得 是以原点 为直角顶点的等腰直角三角形，且点 在第四象限，求点 与点 的坐标.
【解答】
解：设点 .∵ 点 在第四象限，∴ 且 ，即 .
∵ 是以原点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
将线段 绕原点 逆时针旋转 得到点 ，由旋转变换公式得：
，.
即点 .
∵ 点 也在抛物线 上，把点 坐标代入抛物线得：
.
化简整理：.
∵ ，两边同除以 得：
，即 .
展开整理得：.
观察因式分解：.
∵ 对于方程 ，判别式 无实数根，
∴ 唯一实数解为 .
当 时：
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 .
检验：，，
，，，完全符合题意！
答：点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
【梯级演练 2-1】（变式进阶·2026·山东青岛·九年级开学考）
已知抛物线 ，顶点为 .若在抛物线上存在对称的两点 ，使得 是以顶点 为直角顶点的等腰直角三角形，求线段 的长度.
解：由抛物线的轴对称性，设 ，，其中 .
∵ 点 关于 轴对称，线段 轴于点 .
由等腰直角三角形对称性， 且 ，
∴ ， 为等腰直角三角形，即 .
∵ ，.
∴ .
∵ ，两边同除以 得 ，解得 .
∴ .
答：线段 的长度为 .
【梯级演练 2-2】（培优冲刺·2025·四川成都·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 .过点 作两条相互垂直的直线分别交抛物线于 两点（均异于点 ），若 ，求点 与点 的坐标.
解：∵ 且 ， 为以 为顶点的等腰直角三角形.
设直线 的解析式为 （），则直线 的解析式为 .
联立直线 与抛物线方程：，得 .
解得 ，.代入得 .
同理，联立直线 与抛物线方程得：，.
由两点间距离公式：；
.
∵ ，∴ ，即 .
化简得：.
∵ ，两边同除以 得 ，即 .
∵ ，∴ .
∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
三、双动点关联存在性模型
（动点在抛物线上+动点在直线上）
【模型 3】抛物线动点与直线动点联动·K型全等方程模型
【模型特征】动点 沿抛物线运动，动点 沿已知一次函数直线运动，以某定点 （或动点 ）为直角顶点构成等腰直角三角形. 【一线三垂直列方程步骤】
① 设动点坐标：设 ，；
② 依直角顶点过三点作坐标轴平行线构造 ；
③ 得横纵坐标差的等量关系： 且 ；
④ 联立消元求解并严格代回检验. 【推导几何依据】教材第十二章全等三角形“一线三等角/K型全等”，八上直角三角形性质与两点距离代数化.
【典例 3】（2025·北京海淀·九年级期末）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 和点 .点 是抛物线上一点（），点 是直线 上一点.是否存在点 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
解：假设存在满足条件的点 （），点 在直线 上.
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，易证 全等（K型一线三垂直）：
依旋转 对应坐标变换：
① 若点 由点 绕点 顺时针旋转90° 得到：
则 ，，
即 ，，即 .
∴ .
整理得 ，解得 （舍去，与点 重合），.
当 时，，此时 .
代入得 ，检验 ，，，完全成立！
② 若点 由点 绕点 逆时针旋转 得到：
则 ，.
∴ ，整理得 ，同理得 .
此时 ，点 ，同理对应 .
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 .
【梯级演练 3-1】（变式进阶·2026·陕西西安·九年级期中）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 为第一象限抛物线上一点，点 在 轴上.若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 的横坐标 的值.
解：∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴于点 ，
由等腰直角三角形斜边中线与高性质，点 到两腰的投影全等，
可得 （或由对称性 为 中点且 ），
∴ ，即 .
整理得 .
∵ 点 在第一象限，∴ ，解得 .
答：点 的横坐标 的值为 .
【梯级演练 3-2】（培优冲刺·2025·上海杨浦·中考模拟）
如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 .抛物线 经过 两点.点 为抛物线在第一象限上一点，点 在直线 上.若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 的坐标.
解：把 代入抛物线解析式：
得 ，解得 .
∴ 抛物线解析式为 .
设 （）， 在直线 上.
过点 作 轴平行线，过 作垂线构造全等直角三角形：
由 且 ，利用直线 的倾斜角为 的特殊性质，
列方程得 .
代入抛物线解析式得 .
∴ 点 的坐标为 .
四、铅垂高、面积极值与等腰直角三角形交汇综合模型
【模型 4】对称轴动点·等腰直角三角形分类讨论与最值交汇模型
【模型特征】二次函数综合压轴题中，常常将线段最值（如铅垂高、周长/面积最值）与等腰直角三角形的存在性结合在最后一问，综合考查分类讨论能力与数形结合思想. 【三步通法】
① 确定定点与动点坐标表达式（对称轴上点设为 ）；
② 按“哪个角为直角”分成三类（）；
③ 利用勾股定理两点间距离列出方程，代数求根并结合图形几何意义进行增根检验与取舍. 【推导几何依据】勾股定理 与勾股定理逆定理，二次函数顶点与对称轴代数性质.
【典例 4】（中考压轴·2025·河北石家庄·中考模拟）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 .
（1）求直线 的解析式；
（2）点 是对称轴直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：设直线 的解析式为 .
把 代入得：，解得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）解：由 得 ，.
设对称轴 上动点 .
分两类直角边情况讨论：
① 当 时（点 为直角顶点）：
，则 .
∵ ，∴ .
解得 ，即 .
检验垂直条件：，则垂直线斜率必为 ..
当 时斜率垂直，但此时 ，
说明线段 长度等于 时与 并不垂直；
精确计算垂直点：过 作 垂线 ，与 交点为 ，此时 ，无解！
② 当 时（点 为直角顶点）：
过 作 垂线，其斜率为 ，解析式为 .
令 ，得 .此时 .
计算 ，长度不相等，无解！
综上所述，在对称轴上不存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形.
【梯级演练 4-1】（变式进阶·2026·河南郑州·九年级阶段考）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，求点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：，线段 .点 在 轴上，设 .
由对称性 .
若 为等腰直角三角形，则只能是以点 为直角顶点，
∴ ，即 .
化简得 .
解得 或 .
∴ 存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 4-2】（中考压轴·2025·重庆·中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .点 是 轴上的动点，点 是抛物线对称轴 上的动点.当以 为顶点的三角形是以 为直角顶点的等腰直角三角形时，求点 的坐标.
解：设 ，，定点 .
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 且 .
过点 作 轴的垂线 轴于 ，
易知 中，，.
由 （一线三垂直全等）：
可得 ，且 ，
∴ 或 .
① 当 时：，点 在点 右侧，（点 ，恰与点 重合）；
② 当 时：，点 在点 右侧，（点 ）.
若点 在点 左侧，则与点 重合，舍去.
综上所述，符合条件的点 的坐标为 .

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