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九年级数学（人教版）上册
第二十二章 二次函数
微专题 抛物线与存在性（4）平行四边形
二次函数与平行四边形的存在性问题，是中考数学压轴题中出现频率最高、考查最系统的核心压轴题型.解决这类问题的核心是紧扣平行四边形的两大本质几何特征——“对角线互相平分”与“一组对边平行且相等”，通过“对角线中点坐标公式（两点坐标和等于另两点坐标和）”与“点的坐标平移规律（水平与铅垂增量相等）”，实现几何图形向代数方程的转化.
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
三定一动 已知三定点 ，探究第四动点 对角线中点公式分类讨论：
① 为对角线：；
② 为对角线；③ 为对角线 “两点坐标和减第三点”，代入抛物线检验是否存在实数解
两定两动定边平移 两定点 成边，动点 在抛物线上 平移增量法：
且 ，可得 平移量代入抛物线方程列关于横坐标的一元二次方程求解
动点双轨迹联动 动点 在抛物线上，动点 在直线/轴上 设双动点坐标 ，联立中点公式消去参数 得关于 的方程 两动点消元法，代数方程因式分解与判别式检验
铅垂高与面积最值综合 压轴第（2）问极值点与第（3）问平行四边形交汇 先用割补法求出面积最大时的特征动点坐标，再转化为三定一动模型求解 数形结合、铅垂高二次函数极值与分类讨论结合
一、“三定一动”型平行四边形存在性
【模型 1】三定点构边·对角线中点公式分类讨论模型
【模型特征】平面直角坐标系中已知三定点 ，探究第四点 （在抛物线上或坐标平面内），使得以 为顶点的四边形是平行四边形. 【对角线中点平分核心法则】
在四边形 为平行四边形中，对角线互相平分，则对角线中点坐标相同，即：
且 （对角线两端点横纵坐标之和相等）.
按哪两条线段为对角线分为 3 种情形分类求解：
① 为对角线：，（即两对角端点坐标之和减去已知端点坐标）；
② 为对角线：，；
③ 为对角线：，. 【推导几何依据】平行四边形对角线互相平分，由初中线段中点坐标公式 直接推得；结合抛物线解析式代入检验确定是否存在实数解.
【典例 1】（2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：令 ，得 ，解得 ，.
∴ 点 坐标为 ，点 坐标为 .
令 ，得 ，∴ 点 坐标为 .
（2）解：设抛物线上动点 .
以 四点为顶点的四边形为平行四边形，分三种对角线情形分类讨论：
① 若 为对角线（即平行四边形为 或 ）：
由对角线中点公式，有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
检验点 是否在抛物线上：当 时，.
说明该平行四边形的第四个顶点 不在抛物线上，此情况无解.
② 若 为对角线（即平行四边形为 ）：
有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
代入检验：当 时，，无解.
③ 若 为对角线（即平行四边形为 ）：
有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
代入检验：当 时，，无解.
④ 若只要求 点在抛物线上，且满足对边平行且相等（如 且 ）：
由于 都在 轴上，，则过点 作 轴，
则点 的纵坐标必为 .令 ，得 ，解得 （即点 ），.
当 时，.此时线段 ，故四边形 仅为梯形而非平行四边形.
综上所述，在抛物线上不存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形.
【梯级演练 1-1】（教材变式·人教版九上数学课后习题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：由题意知定点坐标为 .设点 .
按对角线分三类情况讨论：
① 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 ；
② 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 ；
③ 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 .
综上所述，平面内存在点 ，其坐标为 或 或 .
【梯级演练 1-2】（变式进阶·2025·江苏苏州·中考模拟）
如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .点 为坐标平面内一点，若以 为顶点的四边形是平行四边形，且点 恰好在直线 上，求点 的坐标.
解：已知 .设 .
由对角线中点公式，四边形 为平行四边形的候选点有 3 个：
① 为对角线：，，即 ；
② 为对角线：，，即 ；
③ 为对角线：，，即 .
将 3 个候选点分别代入直线 检验：
对于 ：，落在直线上；
对于 ：，落在直线上；
对于 ：，不在直线上.
综上所述，符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 1-3】（培优冲刺·2026·北京海淀·九年级期末）
如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 两点.点 是坐标平面内任意一点，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
解：由 得顶点 ，已知 .
设点 ，分三种情况分类讨论：
① 当 为对角线时：，，即 ；
② 当 为对角线时：，，即 ；
③ 当 为对角线时：，，即 .
答：点 的坐标为 或 或 .
二、“两定两动”定边平移量存在性
【母题模型 2】已知两定点成边·坐标平移与平行线截抛物线模型
【模型特征】已知两定点 构成平行四边形的一条固定边（其水平跨度 与铅垂跨度 恒定），动点 在抛物线（或平移抛物线）上运动，满足 且 . 【坐标平移法则】
设点 ，线段 的水平平移量为 ，铅垂平移量为 .
根据平行四边形对边平行且相等，动点 可由动点 平移得到：
① 同向平移：；
② 反向平移：.
将点 的坐标代入所在抛物线解析式，即可列出关于 的一元方程求解. 【推导几何依据】平移变换性质：平移不改变图形的形状与大小，平行四边形一组对边平行且相等直接转化为点坐标的“左加右减，上加下减”平移规律.
【典例 2】（参考题集A第1题·经典母题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.将抛物线 向右平移 2 个单位得到抛物线 ，与 轴交于 两点.
（1）求抛物线 的解析式；
（2）在抛物线 或 在 轴上方的部分是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：∵ 抛物线 向右平移 2 个单位，
∴ 平移后顶点坐标为 ，解析式为 .
（2）解：已知 ，三点均在 轴上，
线段 ，，.
要使以 为顶点的四边形是平行四边形，且 共线，
则点 必须在平行于 轴且与 轴距离为 的直线上，且满足对边相等：
① 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，代入 得 （在 轴上，不能构成四边形，舍去）；
代入 得 （不在 轴上方，舍去）；
当 时，代入 得 （舍去）.
② 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，代入 得 （顶点），此时 在抛物线 上方部分；
此时线段 连接 与 ，其平行四边形对边 在 轴上，满足 且 ，构成平行四边形 ！
③ 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，同理代入 得 ；
当 时，代入 得 为抛物线 顶点，此时 在 上且在 轴上方.
综上所述，存在符合条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（变式进阶·2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，已知抛物线 上有两点 ，线段 平行于 轴且 .若在 轴下方的抛物线上存在两点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形，求线段 所在直线的解析式.
解：∵ 四边形 为平行四边形，且 轴，，
∴ 轴，且 .
设直线 的解析式为 （）.
联立直线与抛物线：，整理得 .
设 ，则 ，.
∵ ，∴ .
代入得：，可得 .
解得 ，可得 （此为点 本身）.
若 在抛物线下方，因对称轴为 ，抛物线上横坐标相差 的两点必关于对称轴对称，即 ，此时 ，在 轴下方无其他解.
答：符合题意只有原水平线 .
【梯级演练 2-2】（培优冲刺·2026·山东济南·九年级期中）
如图，抛物线 与抛物线 关于 轴对称.点 为两抛物线的公共交点.点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 与点 的坐标.
解：已知 ，线段 在 轴上.
要使以 为顶点的四边形是平行四边形，则必有 且 .
∵ 轴，∴ 点 与点 纵坐标相等，设 .
又点 在 上，点 在 上，
∴ ，.
由 ，且点 分别在两对称抛物线上，
可得 时 与 重合；当 时，
解得 时 垂直于 轴，与 垂直平分，构成菱形（对角线互相平分）！
此时四边形 对角线 与 互相平分，为平行四边形.
∴ 点 坐标为 ，点 坐标为 .
三、“两动两定”双轨迹联动平行四边形存在性
【母题模型 3】抛物线动点与直线动点联动·中点方程与平移消元模型
【模型特征】定点 固定，动点 在抛物线上运动，动点 在直线（或对称轴、坐标轴）上运动，四点 构成平行四边形. 【解题四步通法】
① 设动点坐标：设抛物线上点 ，直线上点 ；
② 按对角线分类讨论（3 类）：
- 情形 1： 为对角线，可得 且 ；
- 情形 2： 为对角线，可得 且 ；
- 情形 3： 为对角线，可得 且 ；
③ 代入两动点坐标表达式消去参数 ，得到关于 的一元二次方程；
④ 解方程求得全部实数根，并代回求出对应点坐标. 【推导几何依据】平行四边形对角线互相平分定理（中点坐标公式），一次函数与二次函数联立消元法.
【典例 3】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .动点 在抛物线上，动点 在直线 上.若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
【解答】
解：已知 .设 ，.
分三种对角线情形分类讨论：
① 当 为对角线时：
由中点公式得：.
由第一式得 ，代入第二式：
，整理得 .
解得 .
代入抛物线纵坐标得 .
② 当 为对角线时：
由中点公式得：.
把 代入得：.
整理得 ，因式分解得 .
解得 ，.
当 时，，此时 ；
当 时，，此时 .
③ 当 为对角线时：
由中点公式得：.
把 代入得：，整理得 .
解得 .
代入得 .
综上所述，符合条件的点 坐标为 或 或 或 或 或 .
【梯级演练 3-1】（变式进阶·2025·浙江宁波·中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .点 为抛物线上一动点，点 为抛物线对称轴 上一动点.若以 为顶点的四边形是以 为一边的平行四边形，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 的水平增量为 ，铅垂增量为 .
设对称轴上点 ，抛物线上点 .
∵ 为平行四边形的一边，∴ 且 ：
① 点 由点 向上平移： 或 .
当 时，点 与点 重合，舍去；
当 时，，此时 .
② 点 与点 构成的四边形对角线互相平分：，可得 ，解得 .
同理代入得 .
答：符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 3-2】（培优冲刺·2026·广东深圳·九年级开学考）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 在抛物线上，点 在 轴上.若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
解：已知 在 轴上，.点 在 轴上.
设点 .
分情况讨论：
① 若 为平行四边形的一边，则 轴且 ：
∵ 点 在 轴上（），∴ 点 的横坐标必为 或 .
当 时，，点 与点 重合，舍去；
当 时，，此时 .
② 若 为对角线，则 为平行四边形，对角线中点在 轴上：
，可得 ，解得 （舍去）.
综上所述，符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 3-3】（创新培优·2025·四川成都·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 .点 在抛物线上，点 在直线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点 坐标.
解：已知 .设 ，.
① 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 .
判别式 ，无实数解.
② 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 ，解得 .
代入抛物线得 .
③ 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 ，解得 .
代入得 .
综上所述，点 坐标为 或 或 或 .
四、铅垂高、面积极值与平行四边形综合
【模型 4】对称性、铅垂高与平行四边形存在性综合
【模型特征】中考压轴题常将“二次函数面积最值（铅垂高模型）”作为第（2）问，第（3）问在最值点（或动点）的基础上探究平面内平行四边形的存在性，综合考查二次函数图象性质与分类讨论思想. 【解题双通法】
① 铅垂高求最值：设抛物线上动点 ，直线上对应点 ，铅垂高 ，由顶点公式求出最值点坐标；
② 在最值点确定的前提下，将问题转化为“三定一动”或“两定两动”平行四边形模型，应用对角线中点公式或坐标平移法快速求解. 【推导几何依据】割补法求三角形面积 ，平行四边形对角线互相平分定理.
【典例 4】（中考压轴·2025·河北石家庄·中考真题）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）中 面积取得最大值的条件下，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】
（1）解：设直线 的解析式为 .
把 代入得：，解得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）解：过点 作 轴的平行线交直线 于点 .
设 ，其中 .
铅垂高 .
水平宽为 .
∴ .
∵ ，∴ 当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
此时点 的坐标为 .
（3）解：由（2）知定点为 .设点 .
以 为顶点的四边形是平行四边形，分三种对角线情形讨论：
① 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 ；
② 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 ；
③ 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 .
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 .
【梯级演练 4-1】（变式进阶·2026·陕西西安·九年级阶段考）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 .点 在直线 上方的抛物线上.过点 作 轴平行线交直线 于点 .若线段 的长最大，点 在对称轴 上，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是以 为边的平行四边形？若存在，求点 坐标；若不存在，说明理由.
解：由铅垂高模型，当 时 最大.
已知 ，线段 从点 到点 ：横坐标向左减少 ，纵坐标向上增加 .
设对称轴上点 ，点 .
∵ 为平行四边形的一边，∴ 且 ：
① 点 由点 平移得到： 或 ；
或 .
当点 取在 轴上时， 或 ；
综上所述，存在点 满足条件，其坐标为 .
【梯级演练 4-2】（培优压轴·2025·重庆·中考真题改编）
如图，已知正方形 的顶点 .抛物线 经过 两点且对称轴为直线 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上一动点，点 为直线 上一动点，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把 及对称轴 代入得：
.
∴ ，抛物线解析式为 .
（2）已知 ，线段 且在 轴上.直线 的方程为 （平行于 轴）.
设点 ，点 在直线 上.
分情况讨论：
① 若 为平行四边形的一边，则 轴且 ：
∵ 轴，∴ 点 的横坐标必与点 相同，即 .
当 时，代入抛物线得 （恰为点 ）.
此时 ，线段 在直线 上， 恰为点 ，四边形 即为正方形 ！
② 若 为对角线，则四边形 为平行四边形：
由对角线互相平分：，可得 ，解得 .
把 代入抛物线解析式：.
此时 .检验 ，对角线中点均为 ，完全成立！
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .九年级数学（人教版）上册
第二十二章 二次函数
微专题 抛物线与存在性（4）平行四边形
二次函数与平行四边形的存在性问题，是中考数学压轴题中出现频率最高、考查最系统的核心压轴题型.解决这类问题的核心是紧扣平行四边形的两大本质几何特征——“对角线互相平分”与“一组对边平行且相等”，通过“对角线中点坐标公式（两点坐标和等于另两点坐标和）”与“点的坐标平移规律（水平与铅垂增量相等）”，实现几何图形向代数方程的转化.
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
三定一动 已知三定点 ，探究第四动点 对角线中点公式分类讨论：
① 为对角线：；
② 为对角线；③ 为对角线 “两点坐标和减第三点”，代入抛物线检验是否存在实数解
两定两动定边平移 两定点 成边，动点 在抛物线上 平移增量法：
且 ，可得 平移量代入抛物线方程列关于横坐标的一元二次方程求解
动点双轨迹联动 动点 在抛物线上，动点 在直线/轴上 设双动点坐标 ，联立中点公式消去参数 得关于 的方程 两动点消元法，代数方程因式分解与判别式检验
铅垂高与面积最值综合 压轴第（2）问极值点与第（3）问平行四边形交汇 先用割补法求出面积最大时的特征动点坐标，再转化为三定一动模型求解 数形结合、铅垂高二次函数极值与分类讨论结合
一、“三定一动”型平行四边形存在性
【模型 1】三定点构边·对角线中点公式分类讨论模型
【模型特征】平面直角坐标系中已知三定点 ，探究第四点 （在抛物线上或坐标平面内），使得以 为顶点的四边形是平行四边形. 【对角线中点平分核心法则】
在四边形 为平行四边形中，对角线互相平分，则对角线中点坐标相同，即：
且 （对角线两端点横纵坐标之和相等）.
按哪两条线段为对角线分为 3 种情形分类求解：
① 为对角线：，（即两对角端点坐标之和减去已知端点坐标）；
② 为对角线：，；
③ 为对角线：，. 【推导几何依据】平行四边形对角线互相平分，由初中线段中点坐标公式 直接推得；结合抛物线解析式代入检验确定是否存在实数解.
【典例 1】（2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
【规范解答】
（1）解：令 ，得 ，解得 ，.
∴ 点 坐标为 ，点 坐标为 .
令 ，得 ，∴ 点 坐标为 .
（2）解：设抛物线上动点 .
以 四点为顶点的四边形为平行四边形，分三种对角线情形分类讨论：
① 若 为对角线（即平行四边形为 或 ）：
由对角线中点公式，有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
检验点 是否在抛物线上：当 时，.
说明该平行四边形的第四个顶点 不在抛物线上，此情况无解.
② 若 为对角线（即平行四边形为 ）：
有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
代入检验：当 时，，无解.
③ 若 为对角线（即平行四边形为 ）：
有 ，.
代入坐标得：，可得 ；，可得 .
代入检验：当 时，，无解.
④ 若只要求 点在抛物线上，且满足对边平行且相等（如 且 ）：
由于 都在 轴上，，则过点 作 轴，
则点 的纵坐标必为 .令 ，得 ，解得 （即点 ），.
当 时，.此时线段 ，故四边形 仅为梯形而非平行四边形.
综上所述，在抛物线上不存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形.
【梯级演练 1-1】（教材变式·人教版九上数学课后习题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
解：由题意知定点坐标为 .设点 .
按对角线分三类情况讨论：
① 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 ；
② 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 ；
③ 当 为对角线时：，.
即 ，可得 ；，可得 .此时 .
综上所述，平面内存在点 ，其坐标为 或 或 .
【梯级演练 1-2】（变式进阶·2025·江苏苏州·中考模拟）
如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .点 为坐标平面内一点，若以 为顶点的四边形是平行四边形，且点 恰好在直线 上，求点 的坐标.
解：已知 .设 .
由对角线中点公式，四边形 为平行四边形的候选点有 3 个：
① 为对角线：，，即 ；
② 为对角线：，，即 ；
③ 为对角线：，，即 .
将 3 个候选点分别代入直线 检验：
对于 ：，落在直线上；
对于 ：，落在直线上；
对于 ：，不在直线上.
综上所述，符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 1-3】（培优冲刺·2026·北京海淀·九年级期末）
如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 两点.点 是坐标平面内任意一点，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
解：由 得顶点 ，已知 .
设点 ，分三种情况分类讨论：
① 当 为对角线时：，，即 ；
② 当 为对角线时：，，即 ；
③ 当 为对角线时：，，即 .
答：点 的坐标为 或 或 .
二、“两定两动”定边平移量存在性
【母题模型 2】已知两定点成边·坐标平移与平行线截抛物线模型
【模型特征】已知两定点 构成平行四边形的一条固定边（其水平跨度 与铅垂跨度 恒定），动点 在抛物线（或平移抛物线）上运动，满足 且 . 【坐标平移法则】
设点 ，线段 的水平平移量为 ，铅垂平移量为 .
根据平行四边形对边平行且相等，动点 可由动点 平移得到：
① 同向平移：；
② 反向平移：.
将点 的坐标代入所在抛物线解析式，即可列出关于 的一元方程求解. 【推导几何依据】平移变换性质：平移不改变图形的形状与大小，平行四边形一组对边平行且相等直接转化为点坐标的“左加右减，上加下减”平移规律.
【典例 2】（参考题集A第1题·经典母题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.将抛物线 向右平移 2 个单位得到抛物线 ，与 轴交于 两点.
（1）求抛物线 的解析式；
（2）在抛物线 或 在 轴上方的部分是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【规范解答】
（1）解：∵ 抛物线 向右平移 2 个单位，
∴ 平移后顶点坐标为 ，解析式为 .
（2）解：已知 ，三点均在 轴上，
线段 ，，.
要使以 为顶点的四边形是平行四边形，且 共线，
则点 必须在平行于 轴且与 轴距离为 的直线上，且满足对边相等：
① 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，代入 得 （在 轴上，不能构成四边形，舍去）；
代入 得 （不在 轴上方，舍去）；
当 时，代入 得 （舍去）.
② 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，代入 得 （顶点），此时 在抛物线 上方部分；
此时线段 连接 与 ，其平行四边形对边 在 轴上，满足 且 ，构成平行四边形 ！
③ 若以 为边，则 且 ：
∵ 点 坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 或 .
当 时，同理代入 得 ；
当 时，代入 得 为抛物线 顶点，此时 在 上且在 轴上方.
综上所述，存在符合条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（变式进阶·2025·湖北武汉·中考模拟）
如图，已知抛物线 上有两点 ，线段 平行于 轴且 .若在 轴下方的抛物线上存在两点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形，求线段 所在直线的解析式.
解：∵ 四边形 为平行四边形，且 轴，，
∴ 轴，且 .
设直线 的解析式为 （）.
联立直线与抛物线：，整理得 .
设 ，则 ，.
∵ ，∴ .
代入得：，可得 .
解得 ，可得 （此为点 本身）.
若 在抛物线下方，因对称轴为 ，抛物线上横坐标相差 的两点必关于对称轴对称，即 ，此时 ，在 轴下方无其他解.
答：符合题意只有原水平线 .
【梯级演练 2-2】（培优冲刺·2026·山东济南·九年级期中）
如图，抛物线 与抛物线 关于 轴对称.点 为两抛物线的公共交点.点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 与点 的坐标.
解：已知 ，线段 在 轴上.
要使以 为顶点的四边形是平行四边形，则必有 且 .
∵ 轴，∴ 点 与点 纵坐标相等，设 .
又点 在 上，点 在 上，
∴ ，.
由 ，且点 分别在两对称抛物线上，
可得 时 与 重合；当 时，
解得 时 垂直于 轴，与 垂直平分，构成菱形（对角线互相平分）！
此时四边形 对角线 与 互相平分，为平行四边形.
∴ 点 坐标为 ，点 坐标为 .
三、“两动两定”双轨迹联动平行四边形存在性
【母题模型 3】抛物线动点与直线动点联动·中点方程与平移消元模型
【模型特征】定点 固定，动点 在抛物线上运动，动点 在直线（或对称轴、坐标轴）上运动，四点 构成平行四边形. 【解题四步通法】
① 设动点坐标：设抛物线上点 ，直线上点 ；
② 按对角线分类讨论（3 类）：
- 情形 1： 为对角线，可得 且 ；
- 情形 2： 为对角线，可得 且 ；
- 情形 3： 为对角线，可得 且 ；
③ 代入两动点坐标表达式消去参数 ，得到关于 的一元二次方程；
④ 解方程求得全部实数根，并代回求出对应点坐标. 【推导几何依据】平行四边形对角线互相平分定理（中点坐标公式），一次函数与二次函数联立消元法.
【典例 3】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .动点 在抛物线上，动点 在直线 上.若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
【规范解答】
解：已知 .设 ，.
分三种对角线情形分类讨论：
① 当 为对角线时：
由中点公式得：.
由第一式得 ，代入第二式：
，整理得 .
解得 .
代入抛物线纵坐标得 .
② 当 为对角线时：
由中点公式得：.
把 代入得：.
整理得 ，因式分解得 .
解得 ，.
当 时，，此时 ；
当 时，，此时 .
③ 当 为对角线时：
由中点公式得：.
把 代入得：，整理得 .
解得 .
代入得 .
综上所述，符合条件的点 坐标为 或 或 或 或 或 .
【梯级演练 3-1】（变式进阶·2025·浙江宁波·中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .点 为抛物线上一动点，点 为抛物线对称轴 上一动点.若以 为顶点的四边形是以 为一边的平行四边形，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 的水平增量为 ，铅垂增量为 .
设对称轴上点 ，抛物线上点 .
∵ 为平行四边形的一边，∴ 且 ：
① 点 由点 向上平移： 或 .
当 时，点 与点 重合，舍去；
当 时，，此时 .
② 点 与点 构成的四边形对角线互相平分：，可得 ，解得 .
同理代入得 .
答：符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 3-2】（培优冲刺·2026·广东深圳·九年级开学考）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 在抛物线上，点 在 轴上.若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标.
解：已知 在 轴上，.点 在 轴上.
设点 .
分情况讨论：
① 若 为平行四边形的一边，则 轴且 ：
∵ 点 在 轴上（），∴ 点 的横坐标必为 或 .
当 时，，点 与点 重合，舍去；
当 时，，此时 .
② 若 为对角线，则 为平行四边形，对角线中点在 轴上：
，可得 ，解得 （舍去）.
综上所述，符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 3-3】（创新培优·2025·四川成都·中考模拟）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 .点 在抛物线上，点 在直线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点 坐标.
解：已知 .设 ，.
① 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 .
判别式 ，无实数解.
② 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 ，解得 .
代入抛物线得 .
③ 当 为对角线时：，即 ；
，整理得 ，解得 .
代入得 .
综上所述，点 坐标为 或 或 或 .
四、铅垂高、面积极值与平行四边形综合
【模型 4】对称性、铅垂高与平行四边形存在性综合
【模型特征】中考压轴题常将“二次函数面积最值（铅垂高模型）”作为第（2）问，第（3）问在最值点（或动点）的基础上探究平面内平行四边形的存在性，综合考查二次函数图象性质与分类讨论思想. 【解题双通法】
① 铅垂高求最值：设抛物线上动点 ，直线上对应点 ，铅垂高 ，由顶点公式求出最值点坐标；
② 在最值点确定的前提下，将问题转化为“三定一动”或“两定两动”平行四边形模型，应用对角线中点公式或坐标平移法快速求解. 【推导几何依据】割补法求三角形面积 ，平行四边形对角线互相平分定理.
【典例 4】（中考压轴·2025·河北石家庄·中考真题）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）中 面积取得最大值的条件下，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.
【规范解答】
（1）解：设直线 的解析式为 .
把 代入得：，解得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）解：过点 作 轴的平行线交直线 于点 .
设 ，其中 .
铅垂高 .
水平宽为 .
∴ .
∵ ，∴ 当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
此时点 的坐标为 .
（3）解：由（2）知定点为 .设点 .
以 为顶点的四边形是平行四边形，分三种对角线情形讨论：
① 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 ；
② 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 ；
③ 若 为对角线：，可得 ，解得 ；
，可得 ，解得 .此时 .
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 .
【梯级演练 4-1】（变式进阶·2026·陕西西安·九年级阶段考）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 .点 在直线 上方的抛物线上.过点 作 轴平行线交直线 于点 .若线段 的长最大，点 在对称轴 上，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是以 为边的平行四边形？若存在，求点 坐标；若不存在，说明理由.
解：由铅垂高模型，当 时 最大.
已知 ，线段 从点 到点 ：横坐标向左减少 ，纵坐标向上增加 .
设对称轴上点 ，点 .
∵ 为平行四边形的一边，∴ 且 ：
① 点 由点 平移得到： 或 ；
或 .
当点 取在 轴上时， 或 ；
综上所述，存在点 满足条件，其坐标为 .
【梯级演练 4-2】（培优压轴·2025·重庆·中考真题改编）
如图，已知正方形 的顶点 .抛物线 经过 两点且对称轴为直线 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上一动点，点 为直线 上一动点，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把 及对称轴 代入得：
.
∴ ，抛物线解析式为 .
（2）已知 ，线段 且在 轴上.直线 的方程为 （平行于 轴）.
设点 ，点 在直线 上.
分情况讨论：
① 若 为平行四边形的一边，则 轴且 ：
∵ 轴，∴ 点 的横坐标必与点 相同，即 .
当 时，代入抛物线得 （恰为点 ）.
此时 ，线段 在直线 上， 恰为点 ，四边形 即为正方形 ！
② 若 为对角线，则四边形 为平行四边形：
由对角线互相平分：，可得 ，解得 .
把 代入抛物线解析式：.
此时 .检验 ，对角线中点均为 ，完全成立！
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .

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