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第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
(第1课时)
1.会用描点法画出反比例函数的图象，认识双曲线．
2.通过观察图象，探究、时反比例函数图象位置与增减性质，体会数形结合思想．
1.什么是反比例函数？
一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数，其中是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数.
2.我们研究一次、二次函数图象性质一般是什么步骤？
列表、描点、连线画出图象，观察图象归纳性质.
与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立反比例函数的概念后，我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质．
思考：回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？
在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数.
有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质.
与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式(为常数，中的分情况讨论.即分两种情况.
先研究时的情况，我们从具体的反比例函数开始.
探究：对于反比例函数与，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及随的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗 你能画出它们图象的示意图吗
用描点法画出反比例函数与的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同.
解：(1)列表
... -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ...
... 3 1 ...
... -2 3 6 3 2 1 ...
(2)描点.以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线.用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数与的图象.
想一想：因为，所以函数图象由两支曲线组成.在画示意图时，你注意到这一点了吗 图象为什么分成两支？
分为正数、负数两部分，所以分成两支曲线.
思考：观察反比例函数与的图象，回答下列问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内，随着的增大，如何变化 你能由它们的解析式说明理由吗
解：(1)第一、第三象限.
(2)在每一个象限内，随的增大而减小.
利用信息技术工具，画反比例函数的取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗
一般地，当时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现：
(1)函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
(2)在每一个象限内，随的增大而减小.
接下来，我们研究时反比例函数的图象和性质.
探究：回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数的图象和性质吗
解：当k＝－2，－4，－6时，画出对应的反比例函数的图象如图所示．
每个函数的图象分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
一般地，当时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现：
(1)函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
(2)在每一个象限内，随的增大而增大.
反比例函数的图象特征和性质如下：
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
(2)当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
【知识技能类练习】必做题：
1．反比例函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________．
【知识技能类练习】必做题：
3．反比例函数的图象如图所示．
(1)判断k是正数还是负数．
(2)如果和为这个函数
图象上的两点，那么与的大小关系是怎样的？
解：（1）由图可知，反比例函数的图象位于第一、第三象限，
，即是正数．
（2），
当时，随的增大而减小，
，且，都在函数图象上，
．
【知识技能类练习】选做题：
4．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
B
【综合拓展类练习】
5．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限．
(1)求m的值；
(2)当时，求的值；
解：（1）∵是关于的反比例函数，
∴，解得或；
∵，∴，
∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时，
∴，解得． ∴．
（2）当时，函数为，
当时，.
反比例函数的
图象和性质
性质
图象
【知识技能类作业】必做题：
1．反比例函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________．
【知识技能类作业】必做题：
3．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况．
(1)；(2)；(3)；(4)．
解：（1）∵中的，∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小；
（2）∵中的，∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大；
（3）∵中的，∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大；
（4）∵中的，∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小．
【知识技能类作业】选做题：
4．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
B
【综合拓展类作业】
5．如图，，，为反比例函数
的图象在第一象限的分支上的三点，且．
(1)比较，，的大小．
(2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，
E，F和H，N，P为垂足，矩形，，
的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？
解：（1）∵反比例函数中，∴在第一象限，随的增大而减小，∵，∴．
（2）理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，∴，∵矩形，，的面积，，，∴，，，∴.

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