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2026--2027学年人教版九年级数学上册
第二十七章　反比例函数
27.3实际问题与反比例函数
（第2课时）
回顾上节课，我们利用反比例函数解决了哪些实际问题？
问题
港口卸货、杠杆原理
思考1：解决这类实际问题时，我们一般依据什么条件建立反比例函数模型？
找定值
思考2：得到函数解析式后，面对“至少”“不超过”这类不等关系，一般可以用反比例函数的什么性质来分析？
反比例函数的增减性
发现变量间的定值关系
建立反比例函数模型
利用增减性解决不等关系问题
上节课，我们从文字中提炼出数量关系，建立了函数模型．
这节课，我们换一个研究角度，学习从函数图象中提取信息，构建反比例函数模型解决实际问题．
问题
问题1
在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s（单位：m），则力 F 所做的功 W（单位：J）满足 W＝Fs．当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示．
（1）当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W；
分析：s 与 F 成反比例函数关系．
变量
变量
常量
当作用力 F＝10 N 时，物体对应的位移 s＝50 m
解：把 F＝10，s＝50 代入 W＝Fs，求得 W＝500（J）．
问题1
在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s（单位：m），则力 F 所做的功 W（单位：J）满足 W＝Fs．当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示．
（2）写出 s 关于 F 的函数解析式；
变量
变量
常量
解：由 W＝500，得
因为作用力不能为 0 或负数，
因此自变量 F＞0．
问题1
在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s（单位：m），则力 F 所做的功 W（单位：J）满足 W＝Fs．当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示．
（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的
作用下的位移小于 100 m，求力的范围．
s＜100
F的取值范围
问题1
（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围．
s＜100
解：方法一（利用不等式求解）
位移小于 100 m，即 s＜100，得 解得 F＞5．
方法二 （利用函数增减性求解）
将 s＝100 代入 解得 F＝5（N）．
因为 s 随着 F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，力 F 要大于 5 N．
F的取值范围
方法三（结合图象求解）
将 s＝100 代入 可得 F＝5（N）．
由图象知，当 s＜100 时，
图象上的点位于点（5，100）的下方，
对应的 F＞5 N．
综上，力 F 的取值范围为 F＞5 N．
问题1
（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围．
s＜100
F的取值范围
刚才我们从函数图象中提取信息，建立反比例函数模型，借助函数增减性解决了力学情境中的取值范围问题．接下来，我们继续探讨反比例函数在行程问题中的应用．
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（1）写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围；
分析：路程＝速度×时间．
路程不变，常量
变量
两个变量的乘积为定值，因此 v 是 t 的反比例函数．
当行驶时间为 2 h 时，客车的平均速度为 120 km/h．
解：当 t＝2 时，v＝120，于是有
变量
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（1）写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围；
路程不变，常量
变量
变量
将 v＝60 代入 得 t＝4；
将 v＝120 代入 得 t＝2；
结合 （t＞0），可知 v 随着 t 的增大而减小，
由 60≤v≤120，得 2≤t≤4．
当行驶时间为 2 h 时，客车的平均速度为 120 km/h．
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（2）若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围．
分析：对应的行驶时间 t 的取值范围．
上午 8 时出发：
若 10 时 40 分到达，行驶时间
若 11 时到达，行驶时间 t＝3 h．
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（2）若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围．
分析：因此行驶时间满足
该区间落在第（1）问求得的 2≤t≤4 范围内．
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（2）若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围．
所以客车平均速度 v 的范围是 80≤v≤90．
解：将 代入 解得 v＝90（km/h）；
将 t＝3 h 代入 解得 v＝80（km/h）．
问题2
一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120．
（1）写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围；
（2）若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围．
二者求解方向相反．但都借助了反比例函数的增减性完成求解．
已知函数值的范围，求自变量的范围
已知自变量的范围，求函数值的范围
归纳
（1）从图象中提取信息（点的坐标、变量限制范围），确定定值，写出函数解析式；
（2）分清待求量是自变量，还是函数值；
（3）利用反比例函数的增减性，判断变量的变化方向；
（4）结合实际情境，检验结果是否合理．
利用反比例函数解决实际取值范围问题的一般思路
1．近视眼镜镜片的度数 y (单位：度)是关于镜片焦距 x (单位：m)的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求近视眼镜镜片的度数 y 关于镜片焦距 x 的函数解析式；
（2）若某近视眼镜的镜片为 500 度，求其焦距．
解：（1）因为近视眼镜镜片的度数 y 是关于镜片焦距 x 的反比例函数．由图知，当 x＝0.25 时，y＝400，于是有
（2）将 y＝500 代入 可得 x＝0.2．
所以该近视眼镜的镜片焦距为 0.2 m．
2．收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节．某用电器内置可变电阻 R 的范围为 110～220 Ω，电压U 为 220 V．已知功率 回答下列问题：
（1）功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？
解：（1）电压 U 为 220 V，功率 P 与电阻 R 的乘积为定值 U2，可以用反比例函数描述 P 与 R 之间的关系．由题意，得
2．收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节．某用电器内置可变电阻 R 的范围为 110～220 Ω，电压U 为 220 V．已知功率 回答下列问题：
（2）这个用电器的功率 P 的范围是多少？
既包括 110，也包括 220
解：（2）将 R＝110 代入 解得 P＝440（W）；
将 R＝220 代入 解得 P＝220（W）．
因为功率 P 随着电阻 R 的增大而减小，所以功率 P 的范围是 220～440 W．
实际问题与反比例函数（求解范围）
两类题型
解题步骤
提取信息，确定定值，写出解析式
分清待求量是自变量，还是函数值
利用增减性，判断变量的变化方向
已知自变量范围，求函数值范围
已知函数值范围，求自变量范围
结合实际情境，检验结果是否合理
谢谢

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