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27.3实际问题与反比例函数
（第1课时）
2026--2027学年人教版九年级数学上册
第二十七章　反比例函数
1．反比例函数：
一般地，形如 （ k 为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数．
2．反比例函数 的性质：
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大．
前面我们学习了反比例函数的概念、图象与性质，请联系生活实例，说一说存在反比例关系的实际情境．
问题
工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；
长方形面积一定时，长方形的长与宽成反比例；
总价一定时，商品的单价与购买数量成反比例等．
这些生活情境背景各不相同，但蕴含着相同的数学结构，变量之间都具备反比例关系，都可以借助反比例函数这一数学模型开展研究．
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？
装载和卸载的是同一批货物，货物总量不变．
分析：货物总量＝平均装载速度×装载总时间．
700×9＝6 300（t）
货物总量＝平均卸载速度×卸载总时间．
vt＝6 300
核心不变量是什么？
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间有怎样的函数关系？
解：轮船上的货物总量为 700×9＝6 300（t），
所以 v 关于 t 的函数解析式为
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
分析：卸货用时最多为 6 小时，即 t≤6；
如何用数学式子表示？
卸载速度 v；
卸载完所有货物的总时间 t．
综合实际意义，卸货时间大于 0，因此 0＜t≤6．
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
分析：求 v 的最小值．
如何用数学式子表示？
卸载速度 v；
卸载完所有货物的总时间 t．
如何理解？
如何利用反比例函数的性质求 v 的最小值
k＝6 300＞0，
当 t＞0 时，v 随 t 的增大而减小，
即 t 越大，v 越小．
因此当 t 取最大值 6 时，v 取最小值．
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
解：把 t＝6 代入 得
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t．
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
对于函数 当 t＞0 时，t 越小，v 越大．
因此，若货物不超过 6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物．
你能借助函数图象解释第（2）问的解题思路吗？
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
对应图象上 0＜t≤6 的部分，也就是点（6，1 050）及其左侧的曲线，即 v≥1 050．
问题1
港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h．
（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
解：将 变形为
由 0＜t≤6，
解得 v≥1 050．
你能用不等式的知识解决第（2）问吗？
回顾行程问题与工程问题，它们的数量关系都可以概括为“两个变量的乘积为定值”．物理学中的杠杆原理也具备同样的数学结构：动力×动力臂＝阻力×阻力臂的乘积（乘积为定值）．早在两千多年前，古希腊科学家阿基米德就发现了这一规律．
下面，我们借助反比例函数，研究杠杆中的数学问题．
问题2
某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m．
（1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
分析：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
1 200×0.5＝Fl
l＝1.5
求F
解：根据“杠杆原理”，得
Fl＝1 200×0.5，
所以 F 关于 l 的函数解析式为
问题2
某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m．
（1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
1 200×0.5＝Fl
l＝1.5
求F
当 l＝1.5 m 时，
对于函数
当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡．
因此，撬动石头至少需要 400 N 的力．
问题2
某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m．
（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
分析：（1）中求得动力为 400 N，所以 F≤200．
如何理解？如何转化为对应的不等式？
与动力臂的总长度有何区别？
先求出满足条件的动力臂总长度 l 的最小值，再用该最小值减去原来动力臂长度 1.5 m，得到需加长的长度．
结合反比例函数的性质，如何确定 l 的最小值？
k＝600＞0，
当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小．
因此当 F 取最大值 200 时，l 取最小值．
问题2
解：将 代入 得
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5 m．
如何用函数图象解释第（2）问的解题思路？
某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m．
（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
如何理解？如何转化为对应的不等式？
与动力臂的总长度有何区别？
问题2
l1＝3
l≥l1
某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m．
（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
对应图象上 0＜F≤200 的部分，也就是点（3，2 00）及其右侧的曲线，即 l≥3．
问题2
你能用反比例函数的知识解释：在使用撬棍撬动石头时，为什么动力臂 l 越长就越省力吗？
由解析式 （l＞0）可知，当 l 增大时，
F 减小．
由图象可以看出，l 越大，图象上的点越靠下，对应的 F 越小．因此，在阻力与阻力臂不变的前提下，动力臂越长，撬动石头需要的动力越小，也就越省力．
l1＝3
l≥l1
归纳
（1）审题：分析实际情境，识别其中的变量关系，判断两变量之间是否为反比例关系；
（2）建模：根据问题中的等量关系建立反比例函数模型，结合现实条件确定自变量的取值范围；
（3）求解：利用函数解析式、不等式、函数图象以及函数性质解决问题；
（4）检验：检验所得结果，判断是否符合问题的实际情境；
（5）作答：回归实际问题，完整写出答案．
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤
1．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗．
（1）漏斗口的面积 S（单位：cm ）与漏斗的深 h（单位：cm）有怎样的函数关系？
解：（1）由圆锥体积公式，得
所以 S 关于 h 的函数解析式为
1．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗．
（2）若漏斗口的面积不超过 50 cm ，那么漏斗的深 h 至少为多少？
解：（2）由题意，S≤50，即
解得 h≥7.2．
答：漏斗的深 h 至少为 7.2 cm．
2．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元．他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元．
（1）y 与 x 有怎样的函数关系？
解：（1）总还款额一定时，平均每月还款额是还款月数的反比例函数．余款为 18－6＝12（万元），
所以 y 关于 x 的函数解析式为
2．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元．他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元．
（2）如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？
解：（2）将 x＝20 代入 得
所以小张平均每月应还款 0.6 万元．
2．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在 36 个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车，首付款 6 万元．他计划用 x 个月结清余款，平均每月还款 y 万元．
（3）如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？
y≤0.5
解：（3）由题意，知 y≤0.5，即
解得 x≥24．
所以小张至少要 24 个月才能结清余款．
注意：单位统一
实际问题与反比例函数
解决等量问题
分析数量关系，确定反比例函数解析式
解决不等问题
建立函数模型
代入已知量，求出未知量
① 利用反比例函数性质分析
② 数形结合（图象法）
③ 利用不等式分析
谢谢

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