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(共22张PPT)
27.2反比例函数的图象和性质
（第2课时）
2026--2027学年人教版九年级数学上册
第二十七章　反比例函数
上节课，我们通过描点法画出了反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象，探究得到了它的图象特征和函数性质．回顾一下，反比例函数的图象是什么形状？当 k＞0 和 k＜0 时，图象分别分布在哪些象限？y 随 x 的变化规律是怎样的？
问题
反比例函数的图象是双曲线
当 k＞0 时，
图象的两支分别位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
问题
当 k＜0 时，
两支分别位于第二、第四象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大．
上节课，我们通过描点法画出了反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象，探究得到了它的图象特征和函数性质．回顾一下，反比例函数的图象是什么形状？当 k＞0 和 k＜0 时，图象分别分布在哪些象限？y 随 x 的变化规律是怎样的？
反比例函数的图象是双曲线
我们已经掌握了反比例函数的图象和性质，那么如何运用这些知识解决具体问题？
本节课，我们就借助例题学习反比例函数图象和性质的应用．
问题1
已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
分析：
第二象限
反比例函数的图象分布情况
第一、第三象限
第二、第四象限
√
每个象限内，y 随 x 的增大而增大
还有没有其他方法也能判断图象的位置？
求出 k 值
由点 A（－2，4）
设
判断图象位置
问题1
对比这两种思路，它们各有什么特点？
求出 k 值
由点 A（－2，4）
设
判断图象位置
由点所在象限的位置
结合双曲线的分布
判断图象位置
看点所在象限：无需计算，直接由点的位置作定性判断，快捷直观．
先求参数 k：需要计算，但结果更精确，求出 k 之后，还可以解决判断点是否在图象上等定量问题．
两种方法各有优势，解题时可以根据问题灵活选择．
问题1
已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）．
（2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？
思考：要判断 B，C，D 三点是否在函数图象上，仅靠第（1）问得到的图象性质够不够？还需要获得什么？
分析：知道图象所在象限，无法检验某一个点是否在这条双曲线上，需要求出函数解析式．
问题1
已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）．
（2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？
分析：借助待定系数法求反比例函数解析式．
仅含有一个参数 k，已知图象上任意一点坐标，就可以确定函数解析式.
怎样判断一个点是否在反比例函数图象上？
验证该点坐标是否满足函数解析式
问题1
已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？
解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．
因为点 A（－2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限．在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大．
为什么要强调“在每一个象限内”？
举例说明：
点 A（－2，4），点 B（1，－8），
自变量 －2＜1，但是对应的函数值 4＞－8，并不满足“y 随 x 的增大而增大”．
因此，增减规律只在同一个象限内成立．
问题1
已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？
解：（2）设这个反比例函数的解析式为 因为点 A（－2，4）在其图象上，所以点 A 的坐标满足 即
解得 k＝－8．
因此，这个反比例函数的解析式为
因为点 B，C 的坐标都满足 点 D 的坐标不满足
所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上．
归纳
把点的横、纵坐标相乘，将所得乘积与比例系数 k 比较：
若相等，则该点在反比例函数图象上；
若不相等，则该点不在反比例函数图象上．
判断点是否在反比例函数图象上的方法
问题2
下图中的曲线是反比例函数 的图象的一支．根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
分析：
由两支曲线组成
第一象限
图象的另一支在第三象限．
k＞0
k＝m－5
m＞5
问题2
下图中的曲线是反比例函数 的图象的一支．根据图象，回答下列问题：
（2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）．如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
分析：
点 A 和点 B 在同一分支上．
直接使用增减性
所以当 x1＞x2 时，y1＜y2．
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．
若点 A 和点 B 不在图象的同一支上，还能直接利用增减性比较 y1 和 y2 的大小吗？
由两支曲线组成
问题2
点 A（x1，y1） 和点 B（x2，y2）不在图象的同一支上，比较 y1和 y2 的大小．
分析：
当 k＞0 时，第一象限内 y＞0，第三象限内 y＜0；
同支看增减，异支看符号
A
B
y1
y2
当 k＜0 时，第二象限内 y＞0，第四象限内 y＜0；
举例：点 A 在第三象限，点 B 在第一象限.
归纳
利用函数性质比较反比例函数值的大小时：
若两点位于图象的同一分支，可以比较横坐标的大小，结合增减性判断函数值的大小；
若两点位于图象的不同分支，则先分别判断两点纵坐标的正负，再依据正负完成函数值的大小比较．
比较反比例函数值大小的方法
解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．
因为点 A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限．在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y 随x 的增大如何变化？
第一象限
1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）．
（2）点 B（3，4）， D（2，－6）是否在这个函数的图象上？为什么？
解得 k＝12．
因此，这个反比例函数的解析式为
解：（2）设这个反比例函数的解析式为
因为点 A（2，6）在其图象上，所以点 A 的坐标满足
即
1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）．
（2）点 B（3，4）， D（2，－6）是否在这个函数的图象上？为什么？
因为点 B，C 的坐标都满足 点 D 的坐标不满足
所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上．
2．反比例函数 的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
解：因为这个函数的图象的一支位于第二象限，所以另一支位于第四象限．
因为这个函数的图象位于第二、第四象限，所以 m＋2＜0．
解得 m＜－2．
3．已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数 的图象上．如果 x1＜x2，且 x1，x2 同号，那么 y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？
解：y1＞y2 ．
因为反比例函数 中 k＝1＞0，
所以图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
x1，x2 同号说明 A，B 两点位于同一象限内，
又 x1＜x2，所以 y1＞y2 ．
反比例函数图象和性质的应用
判断图象增减性
由点所在象限，结合双曲线分布，定位图象
比较函数值大小
判断图象位置
由图象位置，确定每一象限内的增减性
同支看增减，异支看符号
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