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27.1 反比例函数的概念
2026--2027学年人教版九年级数学上册
第二十七章　反比例函数
同学们，我们已经学习了一次函数和二次函数，知道函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．回顾一下，在构建一次函数、二次函数概念时，我们经历了怎样的学习过程？
问题
具体问题
用函数的眼光分析变量关系
抽象共同特征
获得一类函数概念
现实世界中的变化现象多种多样，是不是所有的变量关系都能用一次函数或二次函数来刻画呢？
请看这样一个情境：同一条铁路线上，由于不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢．在路程 s 一定的前提下，平均速度 v 与运行时间 t 之间存在怎样的数量关系？
问题
s＝vt
反比例函数
怎样获得反比例函数的概念？
与研究一次函数、二次函数类似，我们仍然从现实世界中具有某种变化规律的具体实例出发，用函数的眼光分析问题中变量之间的对应关系，抽象出它们的共同特征．
京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化．v 与 t 之间有什么关系？
问题1
思考：在这个变化过程中，有哪两个变量？它们之间是函数关系吗？
变量
变量
分析：对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以 v 是 t 的函数．
路程＝速度×时间
某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化．y 与 x 之间有什么关系？
问题2
思考：y 与 x 之间是函数关系吗？你能写出函数解析式吗？
分析：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，所以 y 是 x 的函数．
面积＝长×宽
变量
变量
李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用的流量 Q（单位：GB）随使用完流量的总时间 t（单位：天）的变化而变化．Q 与 t 之间有什么关系？
问题3
思考：Q 与 t 之间是函数关系吗？你能写出函数解析式吗？
分析：对于 t 的每一个确定的值，Q 都有唯一确定的值与其对应，所以 Q 是 t 的函数．
5＝Qt
变量
变量
观察上述三个函数解析式：① ② ③
它们有什么共同特点？
问题4
常数
自变量
（k 是一个非零常数）
若k＝0，此时无论 x 取何值（x≠0），y 的值恒为 0，是一个常数函数．
新知
一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于 0 的一切实数．
为什么要特别强调k≠0？
在实际问题中，自变量的取值范围还需要结合具体情境进一步确定．
当x＝0时，分式 无意义．
“ y 是 x 的反比例函数”与“ x，y 成反比例”二者之间有什么区别与联系？
问题4
y 是 x 的反比例函数 x，y 成反比例
侧重函数对应
侧重数量关系
x 是自变量，y 是函数
两个变量地位平等
共同点：二者都描述了两个变量的乘积为非 0 常数的数量关系，即 xy＝k（k≠0）．
下列式子中，y 是否是 x 的反比例函数？若是，指出比例系数 k．
练习
（1） （2） （3）xy＝－6；
（4） （5）y＝2x－1； （6）
√
k＝3
（k≠0）
×
正比例函数
√
k＝－6
×
√
k＝2
×
1．若一个函数可以转化为 或 xy＝k 或 y＝kx－1（k为常数，k≠0）的形式，则该函数是反比例函数．
2．两个变量成反比例关系，不一定构成反比例函数；但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系．例如：在 中，y 与 x＋1 成反比例关系，但 y 不是关于 x 的反比例函数．
例　已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x＝2 时，y＝6．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x＝4 时，求 y 的值．
分析： 设
代入 x＝2，y＝6
求出 k 值
解：（1）设 因为当 x＝2 时，y＝6，所以
解得 k＝12．因此
（2）把 x＝4 代入 得
归纳
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （k为常数，k≠0）；
（2）代：把 x，y 的一组对应值代入 ，得到关于系数 k 的方程；
（3）解：解方程，求出 k 的值；
（4）写：根据 k 的值写出函数解析式．
简记为“一设二代三解四写”．
1．用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系：
（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化；
（2）学校准备将 1 000 m2 实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积 y（单位：m ）随班级个数 x 的变化而变化；
（3）在某次物理实验中，电路中的电压 U 为 3 V，则该电路中的电流 I（单位：A）随电阻 R（单位：Ω）的变化而变化．
2．已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝－2 时，y＝4．求这个函数的解析式和自变量的取值范围．
解：设 因为当 x＝－2 时，y＝4，所以
解得 k＝－8．
因此
3．请你举出一个生活中可以用反比例函数表示的实例，并写出函数解析式．
解：答案不唯一．
班级采购同一种奖品，总费用为 200 元，购买数量 n（单位：件）随单价 p（单位：元/件）的变化而变化．则
反比例函数
概 念
一设二代三解四写
待定系数法
一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数，叫作反比例函数．
一般形式
（k≠0）
xy＝k（k≠0）
y＝kx－1（k≠0）
谢谢

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