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27.2反比例函数的图象和性质
（第1课时）
2026--2027学年人教版九年级数学上册
第二十七章　反比例函数
回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，我们是如何开展函数图象和性质研究的？
问题
画出函数图象
研究函数的性质
利用图象
结合函数解析式
这一研究方法同样可以用于反比例函数的学习
x≠0
研究一次函数、二次函数时，我们直接采用描点法画出函数图象．反比例函数的解析式为 （k 为常数，k≠0），它与之前学习的函数有哪些不同？画图时需要注意什么？
问题
一次函数：y＝kx＋b（k≠0）
二次函数：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
x 取任意实数
反比例函数： （k≠0）
图象不连续
由数想形
画图验证
归纳性质
与一次函数，二次函数的研究方式相同，我们需要对反比例函数 （k为常数，k≠0）中的比例系数 k 进行分类讨论，分为 k＞0与 k＜0 两种情况．我们先研究 k＞0 的情况，从具体的反比例函数开始．
问题1
对于反比例函数 与 结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？
x≠0
x 与 y 的符号有怎样的关联性？
k＞0
x，y 同号
y≠0
函数图象不会与 x 轴、y 轴相交
图象与坐标轴没有交点
x＞0 时，y＞0
第一象限
x＜0 时，y＜0
第三象限
x ，
x ，
问题1
画出反比例函数 与 的示意图．
① 函数图象与坐标轴没有交点；
② 图象位于第一、第三象限；
③ 在每一个象限，y 随 x 的增大而减小．
问题2
下面用描点法画出函数 与 的图象，看看它们与你画出的示意图是否大致相同．
列表．① 由于 x≠0，列表时 x 的值应选取负数和正数；
② x 的值优先选取整数，且以 0 为中心对称选取，便于后续计算与描点．
x ··· －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 ···
··· ···
··· ···
－1
－1
－3
3
1
－2
－3
－6
6
3
2
1
问题2
画出函数 与 的图象．
描点．
连线．
x
y
O
－6
－5
－4
－3
－2
－1
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
① 图象由两支互相独立的曲线组成，分别位于第一象限和第三象限，两支曲线之间不能连接；
② 连线应当使用平滑的曲线，不能用直线段连接；
③ 连线时，曲线两端应无限接近于坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
问题2
画出函数 与 的图象．
描点：
连线：
x
y
O
－6
－5
－4
－3
－2
－1
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
① 图象由两支互相独立的曲线组成，分别位于第一象限和第三象限，两支曲线之间不能连接；
② 连线应当使用平滑的曲线，不能用直线段连接；
③ 连线时，曲线两端应无限接近于坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
问题2
观察用描点法画出的函数 与 的图象，与你之前猜想的示意图是否大体一致？每个函数的图象分别分布在哪些象限？
第一象限
第三象限
两个函数的图象都分布在第一、第三象限．
问题2
观察函数 与 的图象，在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？这和我们利用解析式分析得到的结论一致吗？
从左往右，图象呈下降趋势
从左往右，图象呈下降趋势
在每一个象限内，图象从左到右呈下降趋势，即 y 随 x 的增大而减小．
结论一致
问题2
随着 k 的变化，观察反比例函数 (k＞0)的图象，上述结论还能成立吗？你能利用解析式说明理由吗？
从解析式角度说明：
设 x1，x2 为双曲线同一支上任意两点的横坐标，且 x1＜x2．
当 k＞0 时，
即 y1＞y2，因此 y 随 x 的增大而减小．
归纳
一般地，当 k＞0 时，对于反比例函数 ：
（1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
问题3
你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？
在同一平面直角坐标系中画出 和 的函数图象．
O
x
y
－6
－5
－5
－4
－4
－3
－3
－2
－2
－1
－1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
－6
两个函数的图象都分布在第二、第四象限；
在每一个象限内，图象从左到右呈上升趋势，即 y 随 x 的增大而增大．
问题3
随着 k 的变化，观察反比例函数 (k＜0)的图象，上述结论还能成立吗？你能利用解析式说明理由吗？
从解析式角度说明：
设 x1，x2 为双曲线同一支上任意两点的横坐标，且 x1＜x2．
当 k＜0 时，
即 y1＜y2，因此 y 随 x 的增大而增大．
归纳
一般地，当 k＜0 时，对于反比例函数 ：
（1）函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
问题4
你能归纳出反比例函数 的图象特征和性质吗？
反比例函数 k 的符号
图象
图象位置
增减性
k＞0
k＜0
第一、第三象限
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
(k≠0)
反比例函数的图象由两支曲线共同构成，我们称之为双曲线．
描述反比例函数的增减性时，必须强调“在每一个象限内”．
例 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象．
解：列表．
x ··· －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 ···
··· ···
··· ···
－1
－2
1
2
1
2
－2
－1
例 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象．
描点．
连线．
x
y
O
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
反比例函数是轴对称图形吗？
x
y
O
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
y＝x
y＝－x
反比例函数的图象是轴对称图形，共有两条对称轴，分别是直线 y＝x 和直线 y＝－x．
解析：图象是双曲线，所以是反比例函数的图象，排除 A，B 选项；
又因为双曲线在第一、第三象限，所以 k＞0，故选 C．
1．如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）
A．y＝5x B．y＝2x＋3 C． D．
C
正比例函数
一次函数
双曲线
×
×
2．反比例函数的图象如图所示，则 k 0；在每个象限内，y 随 x的增大而 ．
解析：由图象知，双曲线在第二、第四象限，
所以 k＜0，
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．
＜
增大
反比例函数的图象和性质
图象特征
性质
k＞0，图象位于第一、第三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
反比例函数的图象是双曲线
k＜0，图象位于第二、第四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
谢谢

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