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第二十七章 反比例函数
27.3 实际问题与反比例函数
第1课时 用反比例函数解决问题(1)
导入新课
京沪高铁全程 1 318 km, 某次列车平均速度 v (单位: km/h) 与运行时间 t (单位: h)之间是什么关系
活动一：探究实际生活中的反比例函数应用问题
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活动一：探究实际生活中的反比例函数应用问题
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例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物, 一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h.
(1)此轮船到达另一港口后开始卸货, 起重机平均卸载速度 v (单位: t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位: h) 之间有怎样的函数关系
(2)由于遇到紧急情况, 要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕, 那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物
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分析: 根据“平均装载速度 × 装载总时间 = 货物总量”, 可以先求出轮船装载货物的总量; 再根据“平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间”, 得到 v 关于t的函数解析式.
解: (1)轮船上的货物总量为 700 × 9 = 6 300 (t), 所以 v 关于 t 的函数解析式为
.
(2) 把 t = 6 代入 , 得 =1 050 (t/h).
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(2)还有其他方法吗
从结果可以看出, 如果全部货物恰好用 6 h 卸载完, 那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 , 当 t > 0 时, t 越小, v 越大. 因此, 若货物不超过 6 h 卸载完, 则平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物.
因此, 若要求船上的货物不超过 6 h 卸载完, 那么起重机平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物.
由 , 得 . 根据题意可知, t ≤ 6, 即 ≤ 6, 解得 v ≥ 1 050.
活动二：探究杠杆原理中反比例函数的应用
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古希腊科学家阿基米德(公元前 287 ~ 前 212)发现: 若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比, 则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”.
杠杆原理: 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂(如图).
动力臂
阻力臂
阻力
动力
支点
例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头, 已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m.
(1)动力 F (单位: N) 与动力臂 l (单位: m) 有怎样的函数关系 当动力臂为 1.5 m 时,撬动石头至少需要多大的力
(2)若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半, 则动力臂 l 至少要加长多少
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解: (1)根据“杠杆原理”, 得 Fl = 1 200×0.5,
所以 F 关于l的函数解析式为 .
当 l = 1.5 m 时, = 400 (N).
对于函数 , 当 l = 1.5 m 时, F = 400 N, 此时杠杆平衡. 因此, 撬动石头至少需要 400 N 的力.
(2) 对于函数 , 当 l > 0 时, F 随 l 的增大而减小. 因此, 只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值, 就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
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当 F = 400× = 200 代入 , 得 200 = , l = = 3 (m).
因此, 若想用力不超过 400 N 的一半, 动力臂的长度就应该不小于 3 m, 则动力臂至少要加长 3 - 1.5 = 1.5 (m).
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思考:
用反比例函数的知识解释: 在使用撬棍时, 为什么动力臂越长就越省力
如何根据实际问题建立反比例函数模型
分析 的性质
找等量关系 — 列等式 — 化解析式 — 解决实际问题.
课堂评价
1.长方形的面积为 100, 则长方形的长 y 与宽 x 之间成_______关系.(填“反比例”或“正比例”)
反比例
点拨 长方形的面积为 100, 则长方形的长 , 所以长方形的长 y 与宽 x 之间成反比例关系.
课堂评价
2.一货轮从甲港往乙港运送货物, 甲港的装货速度是每小时 30 吨, 一共装了 8 小时, 到达乙港后开始卸货, 乙港卸货的速度是每小时 x 吨, 设卸货的时间是 y 时, 则 y 与 x 之间的函数解析式是________, 这艘货轮临时有其他运输业务, 需要在 6 小时内卸货完成, 则卸货速度至少是______吨/时.
40
点拨 点拨 由题意可得, . 即 y 与 x 之间的函数解析式是 . 当 y = 6 时, , 解得 x = 40.
课堂评价
3.公元前 3 世纪, 古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”. 已知手压水井的阻力和阻力臂分别是 900 N 和 0.3 m, 当动力臂 L1 是 0.9 m 时, 动力 F1 =_______N.
300
点拨 因为阻力×阻力臂 = 动力×动力臂, 所以 900×0.3 = F1L1, 整理得 F1 = , 当 L1 = 0.9 m 时, F1 = = 300 (N).
课堂评价
4.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置, 最快移动速度 v (单位: m/s) 是载重后总质量 m (单位: kg)的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量 m = 25kg 时, 它的最快移动速度 v = 2 m/s.
(1)求 v 与 m 之间的关系式;
(2)当其载重后总质量 m = 10 kg 时, 求它的最快移动速度 v.
答案 (1)设 v 与 m 之间的函数关系式为 v = (k为常数, 且 k ≠ 0).
将 m = 25, v = 2 代入 v = ,
得 2 = , 解得 k = 50, 所以 v 与 m 之间的函数关系式为 v = .
(2)当 m = 10 kg 时, v = = 5 (m/s), 所以当其载重后总质量 m = 10 kg 时, 它的最快移动速度 v 为 5m/s.
课堂总结
1.如何根据实际问题建立反比例函数模型
2.反比例函数性质在实际中如何应用
3.对于本节课你还有哪些疑惑
作业设计
基础性作业: 教材习题 27.3 第 2 题.
提高性作业: 教材练习 第 2 题.
拓展性作业: 教材习题 27.3 第 7 题.
第二十七章 反比例函数
27.3 实际问题与反比例函数
第2课时 用反比例函数解决问题(2)
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前面我们学习了反比例函数, 什么是反比例函数 生活中哪些实际问题的两个变量成反比例关系
一般地, 形如 y = (k 为常数, k ≠ 0)的函数, 叫作反比例函数. 许多实际问题中的两个变量成反比例关系, 比如路程一定时, 速度与时间成反比例关系; 工作总量一定时, 工作效率与工作时间成反比例关系等.
活动：结合图象利用反比例函数模型解决实际问题
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例 1 在力 F (单位: N) 的作用下, 若物体会在力 F 的方向上发生位移 s (单位: m), 则力 F 所做的功 W (单位: J) 满足 W = Fs, 当 W 为定值时, s 与 F 之间的函数关系如图所示.
(1)当力 F 为 10 N 时, 求 F 所做的功 W.
(2)写出 s 关于 F 的函数解析式.
(3)在做功相同的情况下, 要使物体在力的作用下的位移小于 100 m, 求力的范围.
10
s/m
F/N
O
50
(10, 50)
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问题 1: 功 W 满足 W = Fs, 现在已知 F = 10 N, 那么怎么计算 W 的大小呢
问题 2: 当 W 为定值时, s 和 F 有什么函数关系 结合 W 的结果, 你能写出 s 关于 F 的函数解析式吗
问题 3: 在这个反比例函数中, s 随 F 的变化有什么规律
问题 4: 结合问题 3 中的规律, 在做功相同的情况下, 现在要使位移 s 小于 100 m, F 的范围应该是什么
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解: (1) 由图可知, 当力 F 为 10 N 时, 物体在力 F 的方向上发生的位移 s为 50 m,此时 F 所做的功 W = Fs = 10×50 = 500 (J).
(2) 当 W 为定值时, 可以用反比例函数描述 s 与 F 之间的关系. 由(1)可知其解析式为 s = .
(3) 将 s = 100 代入 s = , 可得 F = 5 (N).
因为 s 随着 F 的增大而减小, 所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m, 力 F 要大于 5 N.
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例 2 一辆客车从甲地行驶到乙地, 平均速度 v (单位: km/h) 与行驶全程所用时间 t (单位: h) 的函数关系如图所示, 其中 60 ≤ v ≤ 120.
(1)写出 v 关于 t 的函数解析式, 并求t的取值范围.
(2)若客车上午 8 时从甲地出发, 需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地, 求客车平均速度 v 的范围.
120
v/(km h-1)
t/h
O
60
1
2
3
4
5
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解: (1) 甲地到乙地的路程为定值, 可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系. 由图可知, 当 t = 2 时, v = 120, 于是有
当 v = 60 时, 由 ① 得 t = 4.
因为 60 ≤ v ≤ 120, 并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小, 所以 2 ≤ t ≤ 4.
. ①
120
v/(km h-1)
t/h
O
60
1
2
3
4
5
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(2) 客车上午 8 时从甲地出发, 若当天 10 时 40 分到达乙地, 则行驶全程所用时间 t = h, 代入①, 可得 v = 90 (km/h); 若当天 11 时到达乙地, 则行驶全程所用时间 t = 3 h, 代入 ①, 可得 v = 80 (km/h).
因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小, 所以客车平均速度 v 的范围是 80 ≤ v ≤ 90.
120
v/(km h-1)
t/h
O
60
1
2
3
4
5
通过上面的两个例题, 你能试着总结用反比例函数模型解决实际问题的一般步骤吗
高效课堂
前面我们已经学习了一次函数及二次函数的实际应用,其实利用函数解决实际问题的一般步骤都是一致的:
(1)审题: 弄清题意, 分清条件和结论, 理顺数量关系;
(2)建模: 将文字语言转化为数学语言, 利用反比例函数等知识, 建立数学模型;
(3)解模: 求解数学模型, 得出数学结论;
(4)还原: 将用数学知识和数学方法求解得出的结论, 还原为实际问题的结果.
课堂评价
1.金秋收获季, 甘蔗喜获丰收. 工人们平均每天砍甘蔗的速度为 y (单位: 吨/天)与砍完这片甘蔗地所需时间 x (单位: 天) 之间是反比例函数关系, 其图象如图所示. 如果工人们每天砍甘蔗 40 吨, 那么这片甘蔗要砍______天.
10
x/天
50
O
8
(8,50)
y/(吨/天)
点拨 设反比例解析式为 , 依题意得 50 = , 解得 k = 400, 所以 y = . 把 y = 40 代入 y = , 得 x = 10. 所以这片甘蔗要砍 10 天.
课堂评价
2.当三角形面积一定时,它的底边长 a (单位: cm)与底边上的高 h (单位: cm) 成反比例函数关系, 其图象如图所示. 则当底边长 a 满足 1.2 < a < 2.4 时, 底边上的高 h 的取值范围是 ( )
A. 0.1 < h < 0.2 B. 0.5 < h < 1
C. 1 < h < 2 D. 5 < h < 10
D
点拨 设反比例函数解析式为 h = ak , 由图象过点(4, 3), 得 = 3, 解得 k = 12,即 h = . 因为 1.2 < a < 2.4, 所以 < h < , 即 5 < h < 10.
a/cm
3
O
4
h/cm
课堂评价
3.已知蓄电池的电压为定值, 使用蓄电池时, 电流 I (单位: A) 与电阻 R (单位: Ω) 是反比例函数关系, 它的图象如图所示. 根据图象可知, 下列说法不正确的是
( )
A.该蓄电池的电压是 36 V
B.当 R = 10 时, I = 3.6
C.当 R < 9 时, I < 4
D.当电阻 R 越大时, 蓄电池的电流 I 越小
R/Ω
4
O
9
I/A
课堂评价
点拨 A.设反比例函数的解析式为 I = (R > 0), 由题图得点 (9, 4) 在函数图象上, 所以 4 = , 所以 U = 36, 所以该蓄电池的电压是 36 V, 故 A 不符合题意.
B.因为反比例函数的解析式为 I = , 所以当 R = 10 时, I = = 3.6, 故 B 不符合题意.
C.当 R < 9 时, 则 I > = 4, 故 C 符合题意.
D.因为电流 I 与电阻 R 是反比例函数关系, 所以当电阻 R 越大时, 蓄电池的电流 I 越小, 故 D 不符合题意.
课堂评价
3.已知蓄电池的电压为定值, 使用蓄电池时, 电流 I (单位: A) 与电阻 R (单位: Ω) 是反比例函数关系, 它的图象如图所示. 根据图象可知, 下列说法不正确的是
( )
A.该蓄电池的电压是 36 V
B.当 R = 10 时, I = 3.6
C.当 R < 9 时, I < 4
D.当电阻 R 越大时, 蓄电池的电流 I 越小
C
R/Ω
4
O
9
I/A
课堂总结
这节课你有哪些收获 用反比例函数解决实际问题的一般步骤是什么
本节课我们从图象中获取信息, 借助反比例函数解决实际中的问题, 这也渗透了数形结合思想. 同时, 通过本节课我们也进一步领会了反比例函数在物理学中的综合应用, 感受到可以用数学的眼光去解释生活中的物理现象, 相信大家感受到了跨学科知识的魅力.
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 27.3 第 6, 8 题.
拓展性作业:
学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示. 某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 与上课时间 t (单位: 分) 的变化情况如图所示. 上课开始时注意力指数为 30, 第 3 分钟时注意力指数为 45, 前 10 分钟内注意力指数 y 是时间 t 的一次函数. 10 分钟以后注意力指数 y 是时间 t 的反比例函数.
(1)求 y 关于 t 的函数解析式.
(2)如果讲解一道较难的数学题, 要求学生的注意力指数不小于 50, 为了保证教学效果, 本节课应该在哪个时间段讲解这道题
t/分
y
O
3
10
45
45
30
第二十七章 反比例函数
27.3 实际问题与反比例函数
第3课时 用反比例函数解决问题(3)
导入新课
在温度不变的条件下, 气体的压强 p 和体积 V 有什么关系
物理学家波义耳通过实验发现了相关规律(在温度不变的条件下, 气体的压强 p 和体积 V 成反比). 今天, 我们就像科学家一样, 利用数学工具来分析实验数据, 寻找这个规律.
活动一：明确问题，绘制散点图
高效课堂
函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 面对不同的实际问题, 我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型, 确定函数解析式, 利用函数解决问题.
探究: 某物理实验小组研究气体的压强 p (单位: kPa) 与体积 V (单位: mL) 的关系, 在温度不变的条件下, 通过实验得到了 6 组数据.
气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系 如果存在, 请你建立函数模型, 并估计当压强为 132 kPa 时, 气体的体积为多少(结果保留小数点后两位).
序号 1 2 3 4 5 6
体积 V/mL 20 18 16 14 12 10
压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201
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观察表格数据, 如何判断气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系 若存在, 如何建立函数模型
压强 p 是体积 V 的函数. 由于没有现成的函数模型, 所以需要选择合适的函数类型.
为直观分析这组数据的变化规律, 可以先画出散点图.
高效课堂
100
120
140
160
180
200
10
12
14
16
18
20
V/mL
p/kPa
O
科学家也常常通过画一条平滑的曲线来逼近这些点, 这条曲线形似双曲线的一支(如图), 因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系.
这些点大致分布在一条直线上吗
观察这些点的分布情况, 画一条曲线, 使其尽可能靠近所有这些点. 它们分布的形状让你联想到我们学过的哪种函数图象
反比例函数.
高效课堂
活动二：建立模型，确定参数
先可以设这个函数解析式为 p = (V > 0), 然后利用前面表中的数据计算每一组(V, p)对应的 k 的值, 并用表格表示出来.
前面我们得出可以用反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系, 你能求出这个函数解析式吗
V 20 18 16 14 12 10
p 100 112 123 145 163 201
k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010
我们算出了 6 个 k 值, 它们完全相等吗
不相等
高效课堂
如果 p 和 V 是严格的反比例关系, k 应该是一个常数. 为什么现在算出的 k 值会不同呢
测量误差
实验条件微小波动
面对这 6 个不同的 k 值, 我们如何确定一个最能代表它们共同特征的数值来构建模型呢
求平均值
计算所有 k 值的平均值, 得出
k = (2 000 + 2 016 + 1 968 + 2 030 + 1 956 + 2 010) ≈ 1 997.
高效课堂
我们把这个平均值 1 997 作为 k 的值, 你能得到一个函数模型了吗
如何检验得到的这个模型是否合适呢
①
将已知数据代入①, 或画出函数①的图象, 可以发现, 这个函数模型与实际数据基本吻合, 说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系.
由此, 你能求出当压强为 132 kPa 时, 气体的体积是多少吗
将 p = 132 代入①, 得 132 = . 解得 V = ≈ 15.13 (mL).
因此, 当压强为 132 kPa 时, 气体的体积约为 15.13 mL.
高效课堂
这就是统计思想与确定性数学的结合.我们通过处理带有波动的数据来构建模型,模型的好坏需要接受检验. 比如我们求出了当压强为 132 kPa 时气体的体积, 可以通过测量来检验模型是否合理.
建立函数模型解决实际问题的一般步骤:
(1)审题与收集数据;
(2)绘图观察(散点图);
(3)选择函数模型;
(4)确定模型参数;
(5)检验与应用模型.
课堂评价
1.已知水龙头放水速度是 v 升/分, 水箱容量为 100 升.
(1)装满水箱所需时间 t (单位: 分)与水龙头放水速度 v (单位: 升/分) 是什么关系
(2)写出 t 关于 v 的函数解析式.
答案 (1)反比例关系. (2) t = 100 v.
课堂评价
2.某工程队修路总长度为 1 200 米, 设每天修路 x 米, 所需天数为 y 天.
(1)建立 y 关于 x 的函数模型.
(2)若每天修 30 米, 需要多少天才能修完
(3)实际施工时用了 38 天, 可能的原因是什么
答案 (1) y = .
(2) y = = 40 (天).
(3) 实际修路速度有变化、如遭受天气影响、材料供应不足等.
课堂评价
3.在探究弹簧伸长 L (单位: cm) 与悬挂质量 m (单位: g)的关系时, 测得数据如下:
m/g 50 100 150 200 …
L/cm 2.1 4.0 5.8 8.1 …
(1)若假设 L 与 m 成正比, 即 L = km, 求 k 的估计值(取平均).
(2)用此模型预测 m = 120 g 时的伸长量 L (结果保留小数点后两位).
(3)实际测量 m = 120 g 时 L = 4.9 cm, 与预测值有偏差. 请从数据或模型角度分析一个可能原因.
答案 (1) = 0.042, = 0.040, ≈ 0.038 7, = 0.040 5.
课堂评价
k 值的平均值:
(2)预测 m = 120 g 时的伸长量: L = 0.040 3×120 ≈ 4.84 (cm).
(3)可能原因(写出一点即可):
数据测量角度: 实验测量存在误差,如刻度尺读数不准、质量测量偏差等.
模型假设角度: 模型假设“弹簧伸长与质量严格成正比”仅在弹性限度内近似成立. 若悬挂质量较大, 弹簧可能已接近或超过弹性限度, 导致实际伸长偏离线性关系.
环境或仪器因素: 弹簧自身质量、空气阻力、支撑摩擦等未被模型考虑的因素可能产生影响.
k ≈ = 0.040 3.
课堂总结
请同学们回顾本节课的学习内容, 思考以下问题:
(1)本节课你都学会了哪些知识
(2)建立函数模型解决实际问题的一般步骤是什么
作业设计
基础性作业: 教材练习.
提高性作业: 教材习题 27.3 第 9 题.

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