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第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质的认识
导入新课
我们知道, 一次函数的图象是一条直线, 二次函数的图象是一条抛物线. 那么, 反比例函数的图象是什么样的呢 我们类比一次函数、二次函数图象和性质的研究方法, 来研究反比例函数的图象和性质.
思考: 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程, 如何研究反比例函数的图象和性质
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利用列表、描点、连线的方法画出函数图象, 再观察函数图象, 总结函数性质.
在研究一次函数、二次函数的图象和性质时, 都是先画出函数图象, 再利用图象, 结合函数的解析式研究函数的性质, 这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备, 我们换一个角度, 从反比例函数的解析式出发, 思考它的图象形状, 运用数形结合的方法研究其性质.
我们在研究一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象和性质时, 对 k 分了哪几种情况讨论
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分 k > 0, k < 0 两种情况.
与对一次函数的研究一样, 需要对反比例函数解析式 (k 为常数, k ≠ 0), 中的 k 分情况讨论, 即分 k > 0, k < 0 两种情况. 先研究 k > 0 时的情况, 我们从具体的反比例函数开始.
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自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0, x 与 y 的乘积是定值, 所以 y 随 x 的增大而减小.
探究: 对于反比例函数 和 , 结合它们的解析式, 分析自变量的取值范围, 以及 y 随 x 的变化而变化的规律, 你能想象一下它们图象的位置和形状吗 你能画出它们图象的示意图吗
用描点法画出反比例函数 与 的图象, 看看它们是否与你画出的示意图大致相同.
解: (1)列表. 写出几组 x 与 y 的对应值(填空):
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x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… -1 3 1 …
… -1 -2 -3 6 2 1 …
-3
-6
3
(2)描点. 以表中各组对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线. 平滑的曲线顺次连接描出的点, 就得到函数 与 的图象(如图).
y
x
6
4
2
4
6
2
-2
-4
-6
-2
-4
-6
O
-6
x
6
4
2
4
6
2
-2
-4
-6
-2
-4
O
y
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函数图象由两支曲线组成. 在画示意图时, 你注意到这一点了吗 这是因为什么
因为 x ≠ 0.
反比例函数的图象无限接近于 x 轴、y 轴, 但永远不能到达 x 轴、y 轴.
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y
x
6
4
2
4
6
2
-2
-4
-6
-2
-4
-6
O
-6
x
6
4
2
4
6
2
-2
-4
-6
-2
-4
O
y
思考: 观察反比例函数 与
的图象, 回答下列问题:
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内, 随着 x 的增大, y 如何变化 你能由它们的解析式说明理由吗
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一般地, 当 k > 0 时, 对于反比例函数 , 结合函数图象(如图)与解析式, 可以发现:
(1) 函数图象的两支分别位于第一、第三象限;
(2) 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小.
y
x
O
y= (k<0)
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你能归纳反比例函数 的图象特征和性质吗
反比例函数 的图象特征和性质如下:
(1)反比例函数的图象是由两条曲线组成, 它是双曲线.
(2)当 k > 0 时, 双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小;
当 k < 0 时, 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
课堂评价
1.已知反比例函数 , 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小, 则 k 的取值范围是________.
k < 2
点拨 因为当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小, 所以 2 - k > 0, 解得 k < 2.
课堂评价
2.反比例函数 的图象可能是 ( )
A B C D
C
点拨 根据 k = 5 > 0 知反比例函数图象的两支分布在第一、第三象限.
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
课堂评价
3.反比例函数 的图象一定经过的点是 ( )
A. (-3, -2) B. (-6, -1)
C. (1, 6) D. (3, -2)
D
点拨 将各点坐标代入函数解析式 进行验证,满足等式的点即为图象所经过的点.
课堂评价
4.若一矩形面积为 36 cm2, 相邻两边长分别为 x cm 和 y cm, 则 y 与 x 的函数图象大致是 ( )
A.第一象限的直线
B.第一象限的曲线
C.第一、第三象限的双曲线
D.第二象限的曲线
B
点拨 因为矩形面积为 36 cm2, 相邻两边长分别为 x cm 和 y cm, 所以 xy = 36, 即 , 所以 y 是 x 的反比例函数. 因为矩形的边长为正数, 所以 x > 0, y > 0, 所以 y 与 x 的函数图象大致是第一象限的曲线.
课堂总结
反比例函数 k > 0 k < 0
图象
性质
双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小
双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大
y
x
O
y= (k<0)
y
x
O
y= (k>0)
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 27.2 第 6 题.
拓展性作业: 绘制本节课学习的反比例函数的图象与性质知识的思维导图.
第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
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问题 1: 反比例函数 (k ≠ 0) 的图象特征及性质有哪些
(1)反比例函数的图象是由两条曲线组成, 它是双曲线.
(2)当 k > 0 时, 双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小.
(3)当 k < 0 时, 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
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问题 2: 反比例函数 (k ≠ 0) 的图象所在象限及各自象限内的增减性由什么决定
k 的正负
活动一：解决反比例函数图象的象限和增减性问题
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解: (1)反比例函数图象的位置只有两种可能: 位于第一、第三象限, 或者位于第二、第四象限. 因为点 A(-2, 4)在第二象限, 所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A(-2, 4).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y 随 x 的增大如何变化
(2)点 B(1, -8), C( , - ) , D(2, 4)是否在这个函数的图象上
(2)设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 A(-2, 4)在其图象上, 所以点 A 的坐标满足 , 即 , 解得 k = 8. 因此, 这个反比例函数的解析式为 . 因为点 B, C 的坐标都满足 , 点 D 的坐标不满足 , 所以点 B, C 在函数 的图象上, 点 D 不在这个函数的图象上.
活动二：解决含参的反比例函数问题
高效课堂
例 2 如图, 图中的曲线是反比例函数 的图象的一支. 根据图象, 回答下列问题:
(1)图象的另一支位于哪个象限 常数 m 的取值范围是什么
(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1, y1)和点 B(x2, y2). 如果 x1 > x2, 那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系
解: (1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限, 所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限, 所以 m - 5 > 0. 解得 m > 5.
y
x
O
(2)因为 m - 5 > 0, 所以在这个函数图象的任意一支上, y 都随 x 的增大而减小. 因此, 当 x1 > x2 时, y1 < y2.
反比例函数的函数值比较大小的方法:
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在同一分支上的点, 可以利用反比例函数的增减性通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小;
另外, 图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法, 图象法形象直观, 特殊值法简单直接.
不在同一分支上的点, 依据与 x 轴的相对位置(在 x 轴上方或在 x 轴下方)来进行函数值大小的比较.
课堂评价
D
1.已知反比例函数的图象经过点(-2, 2), 那么这个反比例函数的解析式是 ( )
A. B. C. D.
点拨 设这个反比例函数的解析式为 . 因为反比例函数的图象经过点(-2, 2), 所以当 x = -2 时 y = 2, 代入 , 得 , 所以 k = -2×2 = -4, 所以反比例函数的解析式为 .
课堂评价
2.已知反比例函数 , 下列各点在该函数图象上的是 ( )
A. (4, 2) B. (2, -8) C. (3, ) D. (8, 2)
点拨 A. 点(4, 2)的横、纵坐标积为 4×2 = 8 ≠ 16, 即点(4, 2)不在函数图象上, 故该选项不符合题意.
B. 点(2, -8)的横、纵坐标积为 2×(-8) = -16 ≠ 16, 即点(2, -8)不在函数图象上, 故该选项不符合题意.
C. 点(3, ) 的横、纵坐标积为 3×( ) = -16 ≠ 16, 即点(3, ) 不在函数图象上, 故该选项不符合题意.
D.点(8, 2)的横、纵坐标积为 8×2 = 16, 即点(8, 2)在函数图象上, 故该选项符合题意.
D
课堂评价
3.已知点 A(-3, y1), B(-2, y2), C(2, y3) 都在反比例函数 的图象上, 则 ( )
A. y1 < y3 < y2 B. y3 < y1 < y2
C. y2 < y1 < y3 D. y2 < y3 < y1
C
点拨 因为点 A(-3, y1), B(-2, y2), C(2, y3) 都在反比例函数 的图象上, 所以 , , . 所以 y2 < y1 < y3.
课堂评价
答案 (1)反比例函数图象的位置只有两种可能: 位于第一、第三象限, 或位于第二、第四象限. 因为点 A(-4, 3) 在第二象限, 所以这个函数的图象位于第二、第四象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
(2)由题意, 得 k = -4×3 = -12.
因为 -1×12 = -12, -2×(-6) = 12 ≠ -12,
所以点 B(-1, 12) 在函数图象上, 点 C(-2, -6) 不在函数图象上.
4.已知反比例函数 的图象经过点 A(-4, 3).
(1)这个函数的图象位于哪个象限 y 随 x 的增大如何变化
(2)试判断点 B(-1, 12), C(-2, -6) 是否在此函数的图象上.
课堂总结
1.请大家用自己的语言叙述反比例函数 中 k 的符号与图象所在象限、增减性的关系.
2.请叙述判断点是否在函数图象上的判定方法.
3.学习了本节课, 你还有什么收获 还有什么困惑
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 27.2 第 4, 5 题.
拓展性作业: 教材习题 27.2 第 7 题.
感 谢 观 看

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