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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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2026秋人教八上数学原创情境题测试
第十五章　轴对称
阶段检测8 等边三角形
一、 选择题(每小题3分，共18分)
1． 如图，垂直于地面的一棵树在距离地面2 m处折断，树尖B恰好碰到地面．经测量∠B=30°，则原来树高为(　　)
A． 6 m　 　B． 9 m　　 C． 10 m　 　D． 12 m
1． A　【解析】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2 m，∴BC=4 m，∴树高为AC＋BC=6(m)．
2． 如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC．若CD=2，则△ABC的周长为(　　)
A． 4　 　B． 8　　 C． 12　 　D． 16
2． C　【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∵BD平分∠ABC，CD=2，∴AC=2CD=2×2=4，∴△ABC的周长为3AC=12.
3． 如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，当∠2=81°时，∠1的度数为(　　)
A． 40° B． 39° C． 41° D． 60°
3． B　【解析】∵△ADF是等边三角形，∴∠FAD=60°．∵∠2=81°，∴∠DAB=180°－60°－81°=39°．∵AB∥EC，∴∠1=∠DAB=39°．
4． (2024贵州遵义19中期末)下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有(　　)
A． ①②③　 　B． ①②④
C． ①③　　 D． ①②③④
4． D　【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形．故选D．
5． 如图，两艘轮船由海平面上B地出发，同时分别向北偏东25°和北偏西35°的方向行驶120海里到达A，C两地，则A，C两地相距(　　)
A． 60海里　 　B． 80海里
C． 100海里　　 D． 120海里
5． D　【解析】如解图，连接AC，由题意得，∠ABC=25°＋35°=60°，BA=BC=120海里，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=120海里，即A，C两地相距120海里．
6． 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE，CE．若∠EBC=37°，则∠ACE的度数为(　　)
A． 17°　　 B． 23°
C． 37°　 　D． 53°
二、填空题(每小题3分，共12分)
6． B　【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠ACB=60°，AD垂直平分BC，∵E为AD上一点，∴BE=CE，∴∠ECB=∠EBC=37°，∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=60°－37°=23°．
7． 在△ABC中，∠A=∠B，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是　　　　．
7． ∠B=∠C(答案不唯一)
8． 如图，△ABC是等边三角形，BC=BD，∠BAD=25°，则∠BCD的度数为　　　　．
8． 55°　【解析】由等边三角形的性质可知AB=BC，∠ABC=60°，∵BC=BD，∴AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=25°，∴∠ABD=130°，∴∠CBD=70°，∴∠BCD=∠BDC=(180°－∠CBD)=55°．
9． 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若AO=BO=50 cm，CO=DO=30 cm．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度∠AOB应为120°，此时桌面AB距离地面CD的高度是　　　　．
9． 40 cm　【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AO=BO=50 cm，CO=DO=30 cm，∴AD=AO＋OD=50＋30=80(cm)．∵AO=BO，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=(180°－∠AOB)=×(180°－120°)=30°，∴在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=80 cm，∴DE=AD=×80=40( cm)．即AB距离地面CD的高度是40 cm．
10． 如图，在等边△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，M，N分别是AB，AD上的动点，连接BN，MN．当BN＋MN取最小值时，∠BMN的度数为　　　　．
三、解答题(共40分)
10． 90°　【解析】如解图，连接CN，由题意可知，点B与点C关于AD对称，∴BN=CN，∴BN＋MN=CN＋MN，故当M，N，C三点共线，且CM⊥AB时，BN＋MN有最小值，过点C作CM′⊥AB于点M′，交AD于点N′，此时BN＋MN最小，∴∠BMN=90°．
11． (8分)已知等腰三角形的底角是15°，腰长是10 cm，求其腰上的高．
11． 解：如解图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，∠B=∠ACB=15°，过点C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，
∵∠B=15°，AB=AC，
∴∠DAC=30°，
∵CD为AB边上的高，AC=10 cm，
∴CD=AC=×10=5(cm)．
则其腰上的高是5 cm．(8分)
12． (10分)(2025郑州市管城区阶段检测)如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
(1)求∠C的度数；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
12． (1)解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°；(5分)
(2)证明：由(1)知∠B=∠C=30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEB=60°，
∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．(10分)
13． (10分)(教材新增习题改编)证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是斜边的一半，那么这个锐角等于30°．
已知：如图，　①　；
求证：　②　．
证明：
13． 解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB；②∠BAC=30°．
证明：如解图，延长BC到点D，使得CD=BC，连接AD，(3分)
∴BD=2BC，即C是BD的中点，
∵∠ACB=90°，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AD=AB．
∵BC=AB，
∴BD=2BC=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，(7分)
∴∠BAD=60°．
∵AC是BD的垂直平分线，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=30°．(10分)
14． (12分)如图，在△ABC中，D为边AB的中点，CD⊥AB，过点D的直线EF与CB的延长线交于点E，与AC交于点F．已知EF⊥AC，∠E=30°．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求证：AD=BE．
14． 证明：(1)∵D为边AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AC=BC．
∴△ABC为等腰三角形．
∵EF⊥AC，∠E=30°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形；(6分)
(2)由(1)知，△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵∠ABC=∠E＋∠BDE，∠E=30°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD．
∵D为边AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BE．(12分)
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2026秋人教八上数学原创情境题测试
第十五章　轴对称
阶段检测8 等边三角形
一、 选择题(每小题3分，共18分)
1． 如图，垂直于地面的一棵树在距离地面2 m处折断，树尖B恰好碰到地面．经测量∠B=30°，则原来树高为(　　)
A． 6 m　 　B． 9 m　　 C． 10 m　 　D． 12 m
2． 如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC．若CD=2，则△ABC的周长为(　　)
A． 4　 　B． 8　　 C． 12　 　D． 16
3． 如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，当∠2=81°时，∠1的度数为(　　)
A． 40° B． 39° C． 41° D． 60°
4． (2024贵州遵义19中期末)下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有(　　)
A． ①②③　 　B． ①②④
C． ①③　　 D． ①②③④
5． 如图，两艘轮船由海平面上B地出发，同时分别向北偏东25°和北偏西35°的方向行驶120海里到达A，C两地，则A，C两地相距(　　)
A． 60海里　 　B． 80海里
C． 100海里　　 D． 120海里
6． 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE，CE．若∠EBC=37°，则∠ACE的度数为(　　)
A． 17°　　 B． 23°
C． 37°　 　D． 53°
二、填空题(每小题3分，共12分)
7． 在△ABC中，∠A=∠B，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是　　　　．
8． 如图，△ABC是等边三角形，BC=BD，∠BAD=25°，则∠BCD的度数为　　　　．
9． 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若AO=BO=50 cm，CO=DO=30 cm．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度∠AOB应为120°，此时桌面AB距离地面CD的高度是　　　　．
10． 如图，在等边△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，M，N分别是AB，AD上的动点，连接BN，MN．当BN＋MN取最小值时，∠BMN的度数为　　　　．
三、解答题(共40分)
11． (8分)已知等腰三角形的底角是15°，腰长是10 cm，求其腰上的高．
12． (10分)(2025郑州市管城区阶段检测)如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
(1)求∠C的度数；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
13． (10分)(教材新增习题改编)证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是斜边的一半，那么这个锐角等于30°．
已知：如图，　①　；
求证：　②　．
证明：
14． (12分)如图，在△ABC中，D为边AB的中点，CD⊥AB，过点D的直线EF与CB的延长线交于点E，与AC交于点F．已知EF⊥AC，∠E=30°．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求证：AD=BE．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
【原创】八上阶段测试 讲解课件
第十五章 轴对称
2026秋人教版八上数学原创情境题
阶段检测8 等边三角形
一、 选择题(每小题 3 分，共 18 分)
1 ． 如图，垂直于地面的一棵树在距离地面 2 m 处折断，树尖 B 恰好碰到地面．经测量∠B=30 ° , 则原来树高为( )
A ． 6 m B ． 9 m C ． 10 m D ． 12 m
1 ． A 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠B=30° , AC=2 m，∴BC=4 m，∴树高为 AC＋BC=6(m)．
A ． 4 B ． 8 C ． 12 D ． 16
2 ． C 【解析】 ∵△ABC 为等边三角形 ， ∴AB=BC=AC ， ∵BD 平分∠ABC ，CD=2， ∴AC=2CD=2×2=4 ， ∴△ABC 的周长为 3AC=12.
2 ． 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC．若 CD=2 ，则△ABC 的周长为( )
A ． 40 ° B ． 39 ° C ． 41 ° D ． 60 °
3 ． B 【解析】 ∵△ADF 是等边三角形， ∴ ∠FAD=60° . ∵ ∠2=81° , ∴ ∠DAB=180° - 60° -81°=39° . ∵AB∥EC ， ∴ ∠1=∠DAB=39° .
3 ． 如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一
边上，当∠2=81 °时， ∠1 的度数为( )
4 ． (2024 贵州遵义 19 中期末)下列三角形：①有两个角等于 60 ° 的三角形；②有一个
角等于 60 ° 的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有( )
A ． ①②③ B ． ①②④
C ． ①③ D ． ①②③④
4 ． D 【解析】①有两个角等于 60° 的三角形是等边三角形；②有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形．故选 D．
A ． 60 海里 B ． 80 海里
C ． 100 海里 D ． 120 海里
5 ． D 【解析】如解图，连接 AC ，由题意得，∠ABC=25° +35°=60° , BA=BC=120 海里， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=120 海里，即 A ，C 两地相距 120 海里．
5 ． 如图，两艘轮船由海平面上 B 地出发，同时分别向北偏东 25 °和北偏西 35 ° 的方
向行驶 120 海里到达 A ，C 两地，则A ，C 两地相距( )
A ． 17 ° B ． 23 °
C ． 37 ° D ． 53 °
6 ． B 【解析】 ∵△ABC 为等边三角形，AD⊥BC ， ∴ ∠ACB=60° , AD 垂直平分 BC， ∵E 为 AD 上一点，∴BE=CE，∴ ∠ECB=∠EBC=37° , ∴ ∠ACE=∠ACB-∠ECB=60° -37°=23° .
6 ． 如图，在等边△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，E 为AD 上一点，连接 BE ，CE ．若
∠EBC=37 ° , 则∠ACE 的度数为( )
二、填空题(每小题 3 分，共 12 分)
7 ． 在△ABC 中， ∠A=∠B ，若添加一个条件使△ABC 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．
7 ． ∠B=∠C(答案不唯一)
8 ． 如图，△ABC 是等边三角形，BC=BD，∠BAD=25 ° , 则∠BCD 的度数为 ．
8 ． 55° 【解析】由等边三角形的性质可知 AB=BC ， ∠ABC=60° , ∵BC=BD ， ∴AB=BD，
∴ ∠BAD=∠ADB=25° , ∴ ∠ABD=130° , ∴ ∠CBD=70° , ∴∠BCD=∠BDC=(180° -∠CBD)=55° .
9 ． 40 cm 【解析】如解图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵AO=BO=50 cm，CO=DO=30 cm，
∴AD=AO ＋ OD=50 ＋ 30=80(cm) ． ∵AO=BO ， ∠AOB=120° , ∴∠A=∠B=(180° - ∠AOB)=×(180° - 120°)=30° , ∴ 在 Rt△ADE 中 ， ∠A=30° , AD=80 cm ， ∴DE=AD=×80=40( cm) ．即 AB 距离地面 CD 的高度是 40 cm．
9 ． 如图① , 设计一张折叠型方桌，其示意图如图② , 若 AO=BO=50 cm ，CO=DO=30
cm．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度∠AOB 应为 120 ° , 此时桌面AB 距离地面 CD 的高度是 ．
10 ． 90° 【解析】如解图，连接 CN，由题意可知，点 B 与点 C 关于 AD 对称，∴BN=CN，
∴BN＋MN=CN＋MN ，故当 M ，N ，C 三点共线，且 CM⊥AB 时，BN＋MN 有最小值，过点 C 作 CM′ ⊥AB 于点 M′ ，交 AD 于点 N′ ，此时 BN＋MN 最小， ∴ ∠BMN=90° .
10 ． 如图，在等边△ABC 中，D 是边 BC 的中点，连接 AD，M，N 分别是AB，AD
上的动点，连接 BN，MN．当 BN＋MN 取最小值时， ∠BMN的度数为 ．
三、解答题(共 40 分)
11 ． (8 分)已知等腰三角形的底角是 15 ° , 腰长是 10 cm ，求其腰上的高．
11 ． 解：如解图，在△ABC 中，AB=AC=10 cm ，∠B=∠ACB=15° , 过点 C 作 CD⊥BA ，交BA 延长线于点 D，
∵ ∠B=15° , AB=AC，
∴ ∠DAC=30° ,
∵CD 为 AB 边上的高，AC=10 cm，
∴CD=AC=×10=5(cm)．
则其腰上的高是 5 cm ．(8 分)
12 ． (10 分)(2025 郑州市管城区阶段检测)如图，AB=AC， ∠BAC=120 ° , AD⊥AC，
AE⊥AB．
(1)求∠C 的度数；
12 ． (1)解： ∵AB=AC ， ∠BAC=120° ,
∴ ∠C=∠B=30° ；(5 分)
(2)证明：由(1)知∠B=∠C=30° , ∵AD⊥AC ，AE⊥AB，
∴ ∠ADC=∠AEB=60° ,
∴ ∠ADC=∠AEB=∠EAD=60° ,
∴△ADE 是等边三角形．(10 分)
(2)求证：△ADE 是等边三角形．
13 ． (10 分)(教材新增习题改编)证明：在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边是
斜边的一半，那么这个锐角等于 30 ° .
已知：如图， ① ;
求证： ② .
证明：
13 ． 解：①在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° , BC=AB；②∠BAC=30° .
证明：如解图，延长 BC 到点 D ，使得 CD=BC ，连接 AD ，(3 分)
∴BD=2BC ，即 C 是 BD 的中点，
∵ ∠ACB=90° ,
∴AC 是 BD 的垂直平分线，
∴AD=AB ． ∵BC=AB，
∴BD=2BC=AB ， ∴AD=AB=BD，
∴△ABD 是等边三角形，(7 分)
∴ ∠BAD=60° . ∵AC 是 BD 的垂直平分线，
∴AC 平分∠BAD，
∴ ∠BAC=30° . (10 分)
(1)求证：△ABC 为等边三角形；
14 ． 证明：(1)∵D 为边 AB 的中点，CD丄AB， ∴CD 垂直平分 AB，
∴AC=BC．
∴△ABC 为等腰三角形．
∵EF丄AC ，∠E=30° ,
∴∠ACB=60° ,
∴△ 为等边三角形；( 分)
14 ． (12 分)如图，在△ABC 中，D 为边 AB 的中点，CD丄AB ，过点 D 的直线 EF 与
CB 的延长线交于点 E ，与 AC 交于点 F．已知EF丄AC，∠E=30 ° .
ABC 6
(2)求证：AD=BE．
(2)由(1)知，△ABC 为等边三角形， ∴ ∠ABC=60° .
∵ ∠ABC=∠E+∠BDE ， ∠E=30° ,
∴ ∠BDE=30° ,
∴BE=BD．
∵D 为边 AB 的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BE ．(12 分)
Thanks!
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