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25.3 实际问题与一元二次方程
数字问题与图形问题
人教版数学九年级上册第二十五章
学习目标
1.掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；
2.熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；
3.掌握一元二次方程解应用题的步骤，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.
复习导入
列方程解决实际问题的一般步骤是什么？
1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它 们之间的等量关系；
2. 设：设未知数；
3. 列：根据等量关系列出方程；
4. 解：解方程；
5. 验：检验解在实际问题中是否有意义；
6. 答：写出实际问题的答案.
例题讲解
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
思考：本题的等量关系是什么？
追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？
直角三角形
a ＋b ＝c
例题讲解
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，
x+2，其中x为正整数.
由勾股定理得: x2 +(x+1)2 = (x+2)2
解得: x1=3，x2= –1（舍）
答：三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
∴x+1=4，x+2=5
例题讲解
例2 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数的平方等于这个两位数，求出这个两位数.
思考：本题的等量关系是什么？
个位数的平方等于这个两位数
追问：如何表示这个两位数？
设十位数字为x
例2 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数的平方等于这个两位数，求出这个两位数.
例题讲解
解：设十位数字为x，则个位数字为x+3
解得: x1=2，x2= 3
∴x+3=5或6
答：这个两位数为25或36
例题讲解
例3 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
思考：40 m是矩形的什么量？
追问：本题的等量关系是什么？
长×宽=面积
矩形的周长
（长+宽）×2=周长
例题讲解
例3 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
解：设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (20–x) m
∴ x(20–x) = 96
解得： x1= 12，x2=8
∴ 20-x =8 或12
答：能围成一个唯一的矩形
例题讲解
(2) 可设一边长为(10 + x) m，那么其邻边长为 m；
设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：
(1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m；
比较这些设法，说说它们各自的特点.
(10 - x)
(10 + x)(10 - x)＝96
可列方程为：
可列方程为：
例题讲解
(10 + x)(10 - x)＝96
直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程.
利用“周长为 40，则长+宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值.
例题讲解
如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
平移转化
解：设道路的宽为 x m
解得： x1=2，x2=50＞20（舍）
答：道路的宽为 2m
例题讲解
(20–x)(32–x)=540
（20-2x)(32-2x)=540
（20-x)(32-x)=540
例题讲解
课堂练习
1.两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(　　)
A．x(x＋1)＝99 B．x(x＋2)＝99
C．x(x－1)＝99 D．x(x－2)＝99
2.一个正方形的边长6cm，在四周加上等宽的边框后，面积增加28cm ，求边框的宽度.
6cm
D
C
B
A
25米
3.如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？
当x=20时，100-4x=20<25
当x=5时，100-4x=80>25 x=5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长分别是20m,20m
解：设AB=x m，则BC=100-4x
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
解得：x1=5，x2=20
课堂练习
如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
能力提升
分析：设时间为x s
AP= ,
CQ= ,
PC= .
方程为：
课堂小结
教材 P21 练习（书）
P24 第1、2、6、7、8、9题（书）
课堂作业

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