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第二十八章 旋转
本章复习课
回顾与思考
导入新课
问题 1: 这些现象都包含了我们学过的哪种图形变换
P
P'
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
问题 2: 你能回忆起“旋转”的三要素是什么吗 旋转前后的图形有什么关系
旋转中心
旋转方向
旋转角
旋转前后的图形全等
旋转
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活动一：复习回顾
问题: 什么是图形的旋转 它的性质有哪些 如何进行图形的旋转作图
知识点 1: 图形的旋转
1.图形的旋转的概念:
旋转的三个要素:
旋转中心
旋转方向
旋转角度
把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度, 叫作图形的旋转, 点 O 叫作旋转中心, 转动的角叫作旋转角. 如果图形上的点 P 经过旋转后变为点 P'、P'', 那么这三个点叫作这个旋转的对应点.
O
P
P''
P'
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2.旋转的性质:
一个图形和其旋转得到的图形中, 对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段所成的角相等, 都等于旋转角.
图形绕某一点旋转, 既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3.旋转的作图:
在画旋转图形时, 首先确定旋转中心, 其次确定图形的关键点, 再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度, 然后顺次连接各对应点, 形成相应的图形.
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作图的步骤:
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离, 得到各点的对应点;
(4)连接所得到的各对应点.
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知识点 2: 中心对称和中心对称图形
问题: 什么是中心对称 什么是中心对称图形 中心对称和中心对称图形有什么区别与联系 我们学过的哪些图形是中心对称图形
1.中心对称:
位置必须满足一个条件: 将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的, 而中心对称的两个图形一定是全等的).
一个图形绕着某一点旋转180°, 如果旋转后的图形能与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称, 这个点叫作对称中心(简称中心). 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作对称点.
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2.中心对称图形: 把一个图形绕着某一个点旋转180°, 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合, 那么这个图形叫作中心对称图形, 这个点就是它的对称中心.
3.中心对称和中心对称图形的区别和联系
4.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等都是中心对称图形.
类型 中心对称 中心对称图形
区别
联系 指两个图形
指一个图形
1.如果把成中心对称的两个图形看成一个整体, 则它是中心对称图形
2.如果把中心对称图形对称的两部分看成两个图形, 则它们成中心对称
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知识点 3: 平移、轴对称、旋转的对比
问题: 平移、轴对称、旋转有什么相同点和不同点
类型 中心对称 轴对称 中心对称图形
相同点 不同点 定义
图形
要素
性质
都是全等变换, 即变换前后的图形全等
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换
平移方向、平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
1.连接各组对应点的线段平行
(或共线)且相等
2.对应线段平行(或共线)且相等
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角相等, 都等于旋转角
A
A'
B
C
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
A'
B'
C'
A
B
C
O
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知识点 4: 关于原点对称的点的坐标关系
问题: 在平面直角坐标系中, 关于原点对称的点的坐标有怎样的关系 如何利用这一规律作一个图形关于原点对称的图形
1.坐标规律: 两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反, 即点 P(x, y)关于原点的对称点为 P'(-x, -y).
2.作图应用: 作一个图形关于原点对称的图形时, 只需分别求出图形各关键点关于原点的对称点的坐标, 再依次连接各对称点, 即可得到所求图形.
该规律由中心对称的性质推导而来, 是中心对称在平面直角坐标系中的具体体现.
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活动二：例题解析
例 1 如图 1, △ACB 与△ADE 都是等腰直角三角形, ∠ACB 和∠ADE 都是直角, 点 C 在 AE 上, 如果 △ACB 经逆时针旋转后能与△ADE 重合.
(1)请指出其旋转中心与旋转角度.
(2)用图 1 作为基本图形, 经过怎样的旋转可以得到图 2
知识点 1: 图形的旋转
图 1
图 2
A
B
C
E
D
答案 (1) 旋转中心: 点 A;
旋转角度: 45°(逆时针旋转).
(2) 以点 A 为旋转中心, 将图 1 顺时针(或逆时针)旋转 90°三次得到图 2.
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例 2 如图 , △ABC 中, A(-2, 3), B(-3, 1), C(-1, 2).
(1)将△ABC 向右平移 4 个单位长度, 画出平移后的△A1B1C1.
(2)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A2B2C2.
答案 (1) (2)(3)如图所示.
(4)△A2B2C2 与△A3B3C3 成轴对称, 对称轴是 y 轴. △A3B3C3 与△A1B1C1 成中心对称, 对称中心的坐标是(0, 0).
O
B
A
C
y
x
1
1
(3)画出△ABC 关于原点 O 对称的△A3B3C3.
(4)在△A1B1C1, △A2B2C2, △A3B3C3 中, 哪两个三角形成轴对称 对称轴是什么 哪两个三角形成中心对称 对称中心的坐标是什么
A1
B1
C1
C2
B2
A2
A3
B3
C3
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例 3 如图 , △ABC, △ADE 为等腰直角三角形, ∠ACB =∠AED = 90°.
(1)如图 1, 点 E 在 AB 上, 点 D 与 C 重合, F 为线段 BD 的中点, 则线段 EF 与 FC 的数量关系是_________; ∠EFD 的度数为_______.
(2)在图 1 的基础上, 将△ADE 绕 A 点顺时针旋转到如图 2 的位置, 其中 D, A, C 在一条直线上, F 为线段 BD 的中点. 则线段 EF 与 FC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系 证明你的结论.
(3)若△ADE 绕 A 点任意旋转一个角度到如图 3 的位置, F 为线段 BD 的中点, 连接 EF, FC, 请你完成图 3, 并直接写出线段 EF 与 FC 的关系(无需证明).
EF = FC
90°
A
B
C(D)
E
F
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
D
图 1
图 2
图 3
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答案 (2) EF = FC, EF⊥FC.
证明: 如图, 延长 CF 到 M, 使 CF = FM, 连接 DM, ME, EC.
∵ FC = FM, ∠BFC = ∠DFM, DF = FB,
∴ △BFC ≌ △DFM,
∴ DM = BC, ∠MDB = ∠FBC,
∴ MD = AC, MD∥BC.
∵ ED = EA, ∠MDE = ∠EAC= 135°,
∴ △MDE ≌ △CAE,
∴ ME = EC, ∠DEM = ∠CEA,
∴ ∠MEC = 90°,
∴ EF = FC, EF⊥FC.
A
B
C
E
F
D
M
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答案 (3) 如图, 结论为: EF = FC, EF⊥FC.
归纳总结: 延长三角形的中线构造全等三角形是常用作辅助线的方法, 证明线段相等问题可转化为证明三角形全等的问题解决.
A
B
C
E
D
F
课堂评价
1.下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
2.点 M(-2, 5) 关于原点的对称点的坐标是 ( )
A. (-2, -5) B. (2, -5) C. (2, 5) D. (5, -2)
A B C D
!
C
B
课堂评价
3. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠B = 30°, 将 Rt△ABC 绕点 C 旋转得 △A'B'C, 使得点 A, A', B 在同一条直线上, 则 △ABC 旋转的角度是 ( )
点拨 ∵ 将 Rt△ABC 绕点 C 旋转得 △A'B'C, ∴ CA = CA', ∴ ∠A = ∠CA'A. ∵∠ACB = 90°, ∠B = 30°, ∴∠A = 90°- 30°= 60°, ∴∠A'CA = 180°- 2×60°= 60°.
D
A. 30° B. 45°
C. 40° D. 60°
A
C
B
A'
B'
课堂评价
A
C
B
D
4. 如图, 在△ABC 中,∠BAC = 90°, AC = 2, AB = , △ACD 是等边三角形.
(1)求∠ABC 的度数.
(2)以点 A 为中心, 把△ABD 顺时针旋转60°, 画出旋转后的图形.
答案 ∵ 将(1) 在 Rt△ABC 中, ∵ AC = 2, AB = , ∴ BC = 4, ∴∠ABC =30°.
(2) 如图所示, △AEC 即为所求.
课堂总结
1.今天我们系统梳理了本章的核心知识, 谁能试着说说, 旋转的三要素是什么 旋转前后的图形有哪些关键性质
2.中心对称是特殊的旋转, 它的特殊性体现在哪里 中心对称和中心对称图形的主要区别是什么 你能举一个生活中的中心对称图形的例子吗
3.对比平移、轴对称和旋转,它们的相同点(比如图形全等)和不同点(比如变换方式、对应点关系)分别有哪些
4.在解决今天的几何综合题时, 我们用到了什么重要的辅助线方法 旋转思想在转化线段、角度关系时, 起到了怎样的作用
课堂总结
5.回顾本节课的例题和练习, 你觉得在判断旋转方向与角度、画变换图形时, 最容易出错的地方是什么 有什么避免出错的小技巧
6.图形变换在生活中应用广泛, 除了今天提到的例子, 你还能想到哪些利用旋转、中心对称设计的图案或场景
作业设计
基础性作业: 教材复习题 28 第 1 ~ 5 题.
提高性作业: 教材复习题 28 第 6 ~ 9 题.

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