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第二十八章 旋转
28.2 中心对称
28.2.1 中心对称及其性质
导入新课
这就是我们今天要探究的特殊图形变换 —— 中心对称.
平移、翻折、旋转
旋转 180°
图 1
图 2
活动一：抽象概括，生成中心对称定义
思考: (1) 如图 1, 把其中一个图案绕点 O 旋转 180°, 你有什么发现
高效课堂
(2)如图 2, 线段 AC, BD 相交于点 O, OA = OC, OB = OD. 把△OCD 绕点 O 旋转 180°, 你有什么发现
图 1
图 2
O
O
A
B
C
D
中心对称的定义:
高效课堂
一个图形绕着某一点旋转180°, 如果旋转后的图形能与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称, 这个点叫作对称中心(简称中心), 这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点.
对比一般旋转与中心对称的联系与区别
旋转中心
旋转180°
完全重合
中心对称是特殊的旋转变换, 特殊之处在于旋转角度固定为180°.
活动二：观察思考，探究中心对称性质
问题: 作为特殊的旋转, 中心对称具有旋转的性质. 除此之外, 中心对称还有什么特殊的性质呢
高效课堂
提问: 结合旋转的定义, 点 A 绕 O 旋转 180°到 A',说明 A, O, A' 三点共线, 且 AO = OA', 对吗 那同理, 点 O 和 BB', CC' 的关系呢 你能完整总结一下中心对称的这个性质吗
探究: 如图, △ABC 和△A'B'C' 关于点 O 对称, 我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 对称中心 O 与对称点的连线 AA' 有什么关系 点 O 与 BB', CC' 呢
中心对称除了具有旋转的性质, 还具有性质:
成中心对称的两个图形中, 对称点所连线段都经过对称中心, 并且被对称中心平分.
O
A'
B'
C'
C
B
A
活动三：类比迁移，辨析概念性质
问题: 我们已经学习了轴对称和中心对称的相关知识, 知道它们都是图形的对称形式. 类比我们梳理概念的常用方法, 大家思考一下, 轴对称和中心对称有什么区别和联系
高效课堂
类型 轴对称 中心对称
定义
核心特征
性质
两个图形如果沿着某条直线对折, 直线两旁的部分能够互相重合, 则这两个图形关于这条直线轴对称
把一个图形绕着某一点旋转 180°, 如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
1.有对称轴 —— 直线
2.图形沿轴对折, 即翻折 180°
3.翻折后与另一图形重合
1.有对称中心 —— 点
2.图形绕中心旋转 180°
3.旋转后与另一图形重合
1.对称轴是对应点连线的垂直平分线
2.对应线段或延长线相交, 交点在对称轴上
1.对称中心是对应点连线的中点
2.对应点与对称中心在同一条直线上
活动四：规范示范，应用性质作图
例 如图, 选择点 O 为对称中心, 作出与△ABC 关于点 O 对称的△A'B'C'.
高效课堂
分析: 关键是利用中心对称的性质确定△ABC 三个顶点的对称点.
解: 连接 AO, 在 AO 的延长线上截取 OA' = OA, 即可以得到点 A 关于点 O 的对称点 A'. 以同样的方法分别作出点 B, C 关于点 O 的对称点 B', C', 依次连接 A'B', B'C', C'A', 就得到与△ABC 关于点 O 对称的△A'B'C'.
A'
B'
C'
O
C
B
A
课堂评价
1.下列各组图形中, 成中心对称的是 ( )
C
A. B. C. D.
2.如图, 已知△ABC 和△A'B'C' 关于点 O 成中心对称, 则下列结论错误的是 ( )
A. AB = A'B' B.∠A =∠A'
C. BB' = 2OB' D. OC' = B'C'
A'
B'
C'
O
C
B
A
D
课堂评价
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
C
E
A
B
F
3.如图, 在△ABC 中, AB = AC, △ABC 与△FEC 关于点 C 成中心对称, 连接 AE, BF, 要使四边形 ABFE 为矩形, 则∠ACB 的度数为 ( )
B
课堂评价
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
C
D
A
B
O
4.如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点O, AC = 4, BD = 16,将△BOC 绕着点 C 旋转180°得到△B'O'C, 则点 A 与点 B' 之间的距离为 ( )
C
O'
B'
5.画一个与已知四边形 ABCD 中心对称的图形.
(1)如图 1, 以顶点 A 为对称中心.
(2)如图 2, 以 BC 边的中点为对称中心.
课堂评价
C
A
B
D
E
F
G
A
B
C
D
M
N
图 1
图 2
课堂总结
1.本节课你学到了哪些知识
2.请从定义、性质、作图、应用四个方面自主梳理一下本节课的知识脉络.
3.你是经历怎样的过程得到中心对称的定义和性质的 这个过程体现了什么数学思想
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 28.2 第 6 题.
第二十八章 旋转
28.2 中心对称
28.2.2 中心对称图形
导入新课
导入新课
2022 年冬奥会开幕式场面宏大, 精彩绝伦, 不仅彰显了大国气韵, 也令所有人耳目一新. 其中各国代表队的手持牌更给我们留下了深刻的印象, 我们仔细观察手持牌上这个雪花图案(如图), 它有什么特点呢 这些图案的设计复杂吗 我们自己可以设计出这种图案吗
导入新课
这个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合.
活动一：观察发现，总结定义(研究美)
任务: 探究中心对称图形的概念
高效课堂
问题 1: 在轴对称的学习中, 我们既学习了两个图形成轴对称, 也学习了轴对称图形. 类似地, 有两个图形关于某个点成中心对称, 是不是也有中心对称图形呢
高效课堂
思考: 如图, 将线段 AB 绕它的中点 O 旋转180°, 你有什么发现
A
O
B
高效课堂
问题 2: 如图, 将 ABCD 绕它的两条对角线的交点 O 旋转180°, 你有什么发现
O
B
A
D
C
这两个图形运动的共同特点是什么
高效课堂
这两个图形分别绕各自的“中心点”旋转180°后, 都能与它们自身重合.
线段、平行四边形都是中心对称图形.
线段的对称中心是什么 平行四边形的对称中心是什么
你能给有这类特点的图形下个定义吗
中心对称图形的定义:
中点
对角线的交点
把一个图形绕着某一个点旋转180°, 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合, 那么这个图形叫作中心对称图形, 这个点就是它的对称中心.
O
活动二：巩固新知，学以致用（品析美）
问题 1: 我们知道, 矩形、菱形、正方形是轴对称图形, 它们是中心对称图形吗 它们的对称中心分别是什么
高效课堂
结论: 矩形、菱形、正方形绕其对称轴的交点旋转180°与原图形完全重合, 是中心对称图形, 对称轴的交点就是其对称中心.
O
O
问题 2: 中心对称图形有什么性质
高效课堂
中心对称图形的性质:
过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形.
问题 3: 生活中有哪些图案是中心对称图形 你能举例说明吗
思考: 中心对称图形有哪些应用
活动三：观察思考，讨论交流（区分美）
任务: 探究中心对称和中心对称图形的区别和联系
高效课堂
问题 1: 中心对称和中心对称图形有怎样的区别和联系
(1)两个三角形关于某一点中心对称, 再隐藏对称中心组合成一幅图片旋转180°与原来图形重合.
(2)一个平行四边形分成两个三角形旋转180°后两个三角形完全重合.
中心
高效课堂
类型 中心对称图形 中心对称
区别
联系 指一个图形的对称关系
指两个图形
1.如果把成中心对称的两个图形看成一个整体, 则它是中心对称图形
2.如果把中心对称图形对称的两部分看成两个图形, 则它们成中心对称
中心对称和中心对称图形的区别和联系
高效课堂
类型 中心对称图形 轴对称图形 概念 区别
把一个图形绕着某一个点旋转 180°, 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合, 那么这个图形叫作中心对称图形
对称中心 —— 点
问题 2: 中心对称图形与轴对称图形有什么区别
如果一个图形沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够互相重合, 那么这个图形叫作轴对称图形
对称中心 —— 直线
图形绕对称中心旋转 180°
图形沿对称轴对折
旋转后与原图形重合
对折后直线两旁的部分重合
课堂评价
1.以下是我国部分博物馆标志的图案, 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A
A. B. C. D.
课堂评价
2.如图均是由边长为 1 的等边三角形构成的网格, 每个网格图中有 5 个等边三角形已涂上阴影. 请在余下空白等边三角形中, 按下列要求涂上阴影:
(1) 在图 1 中涂上 1 个阴影等边三角形, 使得阴影部分图形是中心对称图形, 但不是轴对称图形.
(2) 在图 2 中涂上 2 个阴影等边三角形, 使得阴影部分图形是轴对称图形, 但不是中心对称图形.
(3) 在图 3 中涂上 3 个阴影等边三角形, 使得阴影部分图形既是中心对称图形, 又是轴对称图形.
图 1
图 2
图 3
课堂评价
3.如图, 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O, 过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E, F, AB = 2, BC = 3, 试求图中阴影部分的面积.
C
E
A
B
F
D
答案 因为矩形 ABCD 是中心对称图形, 所以△BOF 与△DOE 关于点 O 成中心对称, 所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到 Rt△ADC 中. 又因为 AB = 2, BC = 3,所以 Rt△ADC 的面积为 ×3×2 = 3, 即图中阴影部分的面积为 3.
O
课堂总结
说说在本节课中你的收获和疑问.
现实生活中从不缺少美,我们要善于用数学的眼光去发现生活中的美! 愿同学们在发现中找到美,开启美好人生!
作业设计
基础性作业: 教材习题 28.2 第 2 题.
提高性作业: 教材习题 28.2 第 5, 8 题.
拓展性作业: 设计一幅精美的中心对称图形图案.
第二十八章 旋转
28.2 中心对称
28.2.3 关于原点对称的点的坐标
导入新课
问题: 我们已经学习了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律, 你能说说点 P(x, y)关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标分别是什么吗
点 P(x, y)关于 x 轴的对称点为 P1(x, -y), 关于 y 轴的对称点为 P2(-x, y).
如果将一个点绕原点旋转 180°(即关于原点对称), 它的坐标会有什么变化
活动一：动手探究，发现坐标关系
高效课堂
问题: 如图, 在平面直角坐标系中, 作出下列已知点关于原点的对称点, 并写出它们的坐标.
结论: 两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反, 即点 P(x, y)关于原点的对称点为 P'(-x, -y).
O
B
A
D
C
利用上述规律, 可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形.
2
-3
y
x
-4
-2
-1
-1
-2
-3
-4
2
1
3
4
5
6
1
3
4
5
E
A'
B'
C'
D'
E'
A(4, 0), B(0, -3), C(2,1 ), D(-1, 2), E(-3, -4).
这些坐标与已知点的坐标有什么关系
O
2
y
x
-2
-1
-1
-2
-3
-4
2
1
3
4
5
1
3
4
-5
活动二：应用规律，精准求解与作图
例 如图, 利用关于原点对称的点的坐标的关系, 作出与△ABC 关于原点对称的图形.
高效课堂
分析: 先求三个顶点关于原点的对称点的坐标, 描出并连接这些点, 就可以得到与这个三角形关于原点对称的图形.
解: 点 P(x, y)关于原点的对称点为 P'(-x, -y), 因此△ABC 的三个顶点 A(-4, 1), B(-1, -1), C(-3, 2)关于原点的对称点分别为 A'(4, -1), B'(1, 1), C'(3, -2). 依次连接A'B', B'C', C'A', 就可得到与△ABC 关于原点对称的△A'B'C'.
B(-1, -1)
A(-4, 1)
C(-3, 2)
A'(4, -1)
C'(3, -2)
B'(1, 1)
通过刚刚所完成的例题, 你能尝试总结一下, 对于一些规则的几何图形, 在平面直角坐标系中作出与它们关于原点对称的图形的方法吗
高效课堂
对于一些规则几何图形, 与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似, 只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)关于原点对称的点的坐标, 描出并顺次连接这些点, 就可以得到与这个图形关于原点对称的图形.
活动三：归纳总结，梳理方法
高效课堂
问题: 结合刚才的探究和应用,我们可以把“关于原点对称的点的坐标”相关知识梳理为两部分, 即坐标规律和作图步骤. 你能分别总结一下吗
(1)坐标规律: 点 P(x, y)关于原点的对称点为 P'(-x, -y)(符号相反).
(2)作图步骤: 找特殊点(如多边形顶点)—求对称点坐标—描点—连接成图形.
课堂评价
1.点 P(2, -3) 关于原点对称的点的坐标是 ( )
A. (-2, -3) B. (2, 3) C. (-2, 3) D. (-3, 2)
C
2.已知点 A(3, a), B(b, 4) 关于原点对称, 则 ab 的值为 ( )
A. -12 B. 7 C. -7 D. 12
D
课堂评价
3.已知点 P(a + 3, 2a - 5) 关于原点的对称点在第二象限, 则 a 的取值范围是 ( )
A. a < -3 B. -3 < a < C. < a < 3 D. a >
B
点拨 由题意可得, 点 P 在第四象限, ∴ ∴
课堂评价
4.已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1 的坐标是 (4, 3), 那么点 P 关于原点的对称点 P2 的坐标是 ( )
A. (-3, --4) B. (-4, 3)
C. (-4, -3) D. (4, -3)
B
点拨 ∵点 P 关于 x 轴的对称点 P1 的坐标是 (4, 3), ∴点 P 的坐标为(4, -3), ∴点 P 关于原点的对称点 P2 的坐标是 (-4, 3).
课堂评价
5. 如图, 利用关于原点对称的点的坐标的关系, 作出与四边形 ABCD 关于原点对称的图形.
答案 A, B, C, D 关于原点对称的点的坐标分别为 A'(2, -3), B'(4, -1), C'(3, 1), D'(1, 0), 如图所示, 四边形 A'B'C'D' 即为所求.
O
B
A
D
C
2
-3
y
x
-4
-2
-1
-1
-2
-3
-4
2
1
3
4
5
1
3
4
5
A'
B'
C'
D'
-5
-5
课堂总结
1.学习了本节课,你掌握了什么核心规律
2.作一个图形关于原点对称的图形,关键步骤是什么
3.对比关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标规律,你发现了什么异同
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1 ~ 3 题.
教材习题 28.2 第 4 题.
提高性作业: 教材习题 28.2 第 9 题.
拓展性作业: 在平面直角坐标系中画出一个自己喜欢的规则图形(如长方形、正五边形), 先写出各顶点的坐标, 再作出其关于原点对称的图形, 并验证对称点坐标是否符合规律.

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