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第3节　简谐运动的回复力和能量
物理观念 科学思维 科学态度与责任
1.理解回复力的概念。 2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3．知道简谐运动中机械能守恒。 1.会用动力学的观点分析简谐运动中各参数的变化规律及其之间的逻辑关系。 2．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况。 　　通过对弹簧振子的运动和能量的分析，形成解决物理问题的能量观和运动观。
1．回复力：能够使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
2．效果：把物体拉回到平衡位置。
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做简谐运动的物体静止时，回复力为零的位置。
3．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向平衡位置。
4．表达式：F＝－kx，该式表明了做简谐运动的物体的
　　　　　 　↓
“－”表明回复力与位移的方向始终相反。
回复力与位移的关系。
5．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
二、简谐运动的能量
1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为0。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
1.(物理与生活)如图所示，在试管中装有适量的砂粒，并将试管竖直静浮于水中，然后将试管竖直提起少许，后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”)
(1)试管运动的回复力总是指向平衡位置。(　　√　　)
(2)试管做简谐运动的回复力是恒力。(　　×　　)
2.(教材拓展P45)“练习与应用T1改编”
如图所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在光滑斜面上B、C之间做往复运动。在小球向O点运动的过程中，小球的速度与加速度的变化情况是(　　)
A．速度不断增大，加速度不断增大
B．速度不断减小，加速度不断增大
C．速度不断增大，加速度不断减小
D．速度不断减小，加速度不断减小
C　解析：小球静止时，受重力、斜面的支持力和弹簧的拉力，平衡时弹簧伸长了x0，则有mg sin θ＝kx0，当小球离开O点的距离为x时(假设在OC间)，小于受到的合力F合＝k(x＋x0)－mg sin θ＝kx，方向沿CO。结合牛顿第二定律和运动学公式可知，小球在向O点运动的过程中，其加速度不断减小，速度不断增大，A、B、D错误，C正确。
备课札记
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究点一___简谐运动的回复力
如图甲所示是水平方向的弹簧振子，如图乙所示是竖直方向的弹簧振子，如图丙所示是m随M一起振动的系统。
[问题设计]
(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
提示：(1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
1．简谐运动中回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某个力的分力。
2．对F＝－kx中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
3．简谐运动的加速度特点：根据牛顿第二定律得a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
4．简谐运动的回复力的规律：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【例1】 (2025·内蒙古巴彦淖尔期末)如图甲所示，“弹簧公仔”是一款玩具，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为m。竖直向上拉伸公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。以竖直向上为正方向，弹簧弹力与公仔头部运动时间的关系如图乙所示，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 (　　)
A．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长
B．t＝0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度相同
C．公仔头部做简谐运动的周期为2t0
D．公仔头部运动至最低点时，回复力的大小为4mg
C　解析　公仔头部有最大速度时，公仔头部恰好处于平衡位置，弹簧弹力与重力平衡，此时弹簧处于压缩状态，故A错误；以竖直向上为正方向，t＝0时刻弹簧弹力在负方向上达到最大，表明此时公仔头部恰好处于平衡位置的最上端，弹簧处于拉伸状态，t0时刻，弹簧弹力在正方向上达到最大，表明此时公仔头部恰好处于平衡位置的最下端，弹簧处于压缩状态，根据简谐运动的对称性可知，两时刻公仔头部位移大小相等，方向相反，则t＝0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度大小相等，方向相反，故B错误；结合上述可知，从t＝0时刻到t0时刻经历时间为半个周期，则有T＝t0解得T＝2t0，故C正确；结合上述，公仔头部在平衡位置有mg＝kx0公仔头部在最高点时弹簧处于拉伸状态，则有mg＝kx1公仔头部在最低点时弹簧处于压缩状态，则有3mg＝kx2根据简谐运动的对称性有x2－x0＝x1＋x0公仔头部运动至最低点时，回复力的大小F＝k解得F＝2mg，故D错误。
【例2】 一个质量为m、某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
(1)试分析木块上下振动的回复力的来源；
(2)试证明该木块的振动是简谐运动。
答案：见解析
解析：(1)木块上下振动的回复力是重力和浮力的合力。
(2)以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块又被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力如图所示，则
F合＝mg－F浮
又F浮＝ρgS(Δx＋x)
联立可得
F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx
又木块静止时有mg＝ρgSΔx，所以
F合＝－ρgSx
即F合＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动是简谐运动。
判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，如果物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
[练1] (多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
AD　解析：以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，A、D正确。
探究点二___简谐运动的能量
如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。
[问题设计]
(1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(3)A→O→A′过程中，振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？
提示：(1)动能最大，弹性势能为零。
(2)动能为零，弹性势能最大。
(3)A→O过程中弹性势能转化为动能，O→A′过程中动能转化为弹性势能。
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒。
(1)简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
(2)在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
(3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。
【例3】 如图所示，一个水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知物体的质量为M。
(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________相互转化，总机械能________。
(2)物体在振动过程中，下列说法正确的是________。
A．物体在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．物体在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
答案：(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD
解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)物体在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，B正确；振幅的大小与物体的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，C错误，D正确。
[练2] 如图所示是由轻质弹簧及其下端悬挂的物块组成的一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
C　解析：弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零；在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误。因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变；弹簧振子在平衡位置时动能最大，振动系统的势能最小，C正确，D错误。
探究点三___简谐运动中各物理量的变化规律
1．如图是水平弹簧振子的示意图。
(1)在小球远离平衡位置的过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；在小球衡位置的过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
(2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时，位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。
2．说明：(1)简谐运动中各个物理量的对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向。
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
【例4】 (多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，t2－t1<，如图所示，则(　　)
A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
ABC　解析：由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误。
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
[练3] (2025·湖南长沙高二检测)如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B．t＝0.1 s时，弹簧振子的位移为 cm
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力相同
B　解析：弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力，弹簧弹力提供回复力，回复力是效果力，A错误；由题图乙知T＝0.8 s，则振动圆频率为ω＝＝2.5π rad/s，振子的振幅为5 cm，所以其振动方程为x＝A sin ωt＝5sin (2.5πt)cm，所以在t＝0.1 s时，振子的位移为x＝5sin (2.5 π×0.1)cm＝ cm，B正确；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，振子动能越来越小，C错误；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力均指向平衡位置O点，大小相等，方向相反，则回复力不相同，D错误。
创新探究___解决实际问题
【例5】 (生活情境)(多选)某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。若从点M到达水面至点N到达水面所经历的时间为0.5 s，不计阻力的影响，以下说法正确的是(　　)
A．鱼漂做简谐运动的周期为1 s
B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
C．点O过水面时，鱼漂的加速度最大
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
AB　解析：鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德原理可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，点M到达水面时鱼漂在最低点，点N到达水面时鱼漂在最高点，鱼漂从最低点到最高点历时0.5 s，简谐运动的周期为T＝2×0.5 s＝1 s，A正确；点N到达水面时，鱼漂达到了向上的最大位移，所受合力方向向下，所以具有向下的加速度，B正确；点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，C错误；由简谐运动的特点可知，鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小，D错误。
[练4] (探究情境)(多选)牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞口无初速度释放一个小球(小球的直径略小于洞的直径)，在小球向下端点运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球在洞内做简谐运动
B．小球在地心处动能最小
C．小球可以穿出小洞
D．若小球释放的位置再向下移动一点，则小球振动周期不变
AD　解析：设地球半径为R、质量为M，小球质量为m，小球偏离地心的位移为x，根据题意，由引力公式得F＝G，又因为M＝ρ·πR3，当小球偏离地心的位移为x时，此处地球的质量为M′＝ρ·πx3，考虑到方向性可求出小球偏离地心的位移为x时所受万有引力的合力为F＝－x，可知引力的合力大小与球偏离地心的位移x成正比，方向相反，所以小球做简谐运动，简谐运动周期与振幅无关，A、D正确；当合力为零时，速度最大，所以小球在地心处动能最大，在洞口无初速度释放一个小球，小球先加速再减速，根据对称性知小球不能穿出小洞，B、C错误。
1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
B　解析：回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
2.(2025·河北校联考模拟)如图所示，在光滑杆下面铺一张白纸，一个带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，白纸沿垂直杆方向以0.4 m/s的速度移动，铅笔在白纸上留下的痕迹如图所示。已知弹簧的劲度系数k＝10 N/m，振子(小球与铅笔)的质量为0.2 kg，不考虑一切摩擦，弹簧的质量忽略不计，弹簧的弹性势能Ep＝kx2，x为弹簧的形变量。下列说法正确的是(　　)
A．图线为铅笔的运动轨迹
B．弹簧振子的周期为0.25 s
C．铅笔在x＝5 cm的位置留下痕迹时，振子的加速度为－4 m/s2
D．铅笔在x＝10 cm的位置留下痕迹时，振子的动能为0.32 J
C　解析：铅笔在一条直线上往复运动，图线不是铅笔的运动轨迹，A错误；一个周期内白纸移动距离l＝20 cm，白纸移动速度为v＝0.4 m/s，该弹簧振子的周期为T＝＝0.5 s，B错误；振幅A＝8 cm，铅笔在x＝5 cm的位置留下痕迹时，弹簧弹力F＝－kA＝－0.8 N，振子的加速度大小为a＝＝－4 m/s2，C正确；根据能量守恒，铅笔在x＝10 cm的位置留下痕迹时，振子的动能为Ek＝Ep＝kA2＝0.032 J，D错误。
3．(2025·广西南宁高二期中)如图甲所示，将一个轻质弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂，上端装有一个记录弹力的力传感器。当振子上下振动时，弹力随时间的变化规律如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球的质量为2 kg
B．t＝2 s时小球的加速度为0
C．0～2 s时间段内，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s
D．小球的振幅为0.2 m
C　解析：根据题图可知，平衡位置处弹力为10 N，F＝mg，解得小球的质量为1 kg，A错误；t＝2 s时小球只受重力，加速度为g，B错误；0～2 s时间段内，小球初、末速度均为零，根据动量定理得IF－mgt＝0－0，解得IF＝20 N·s，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s，C正确；Fmax－mg＝kA，解得小球的振幅A＝0.1 m，D错误。
4．(多选)(2025·广西桂林高二期中)两个木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A上下做简谐运动。在振动过程中，木块B刚好始终不离开地面(即它对地面最小压力为零)。以下说法正确的是(　　)
A．在振动过程中木块A的机械能守恒
B．木块A做简谐运动的振幅为
C．木块A做简谐运动的振幅为
D．木块B对地面的最大压力是2(M＋m)g
BD　解析：振动过程中木块A与弹簧整体机械能守恒，而木块A的机械能不守恒，A错误；当弹簧处于伸长至最长状态时，木块B刚好对地面压力为零，故此时弹簧弹力F＝Mg，m有最大加速度，由F＋mg＝ma得a＝，由对称性，当m运动至最低点时，弹簧弹力大小为F′，但此时弹簧是处于压缩状态，根据牛顿第二定律得F′－mg＝ma，即F′＝m(g＋a)＝2mg＋Mg，所以F压＝F′＋Mg＝2(M＋m)g，D正确；A在平衡位置时弹簧压缩，振幅为最大位移与平衡位置的距离，则振幅为，B正确，C错误。
5．(2025·河南南阳期末)如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点(O在A、B之间)。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球 (　　)
A．在O点时的动能最大
B．在O点时的动能一定大于W
C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W
D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W
D　解析　小球位于平衡位置时合外力为零，速度最大，动能最大，依题意如图所示，平衡位置应该在O点下方，故A错误；
小球从O点出发再次回到O点时，弹力和重力均不做功，由动能定理可知，小球在O点时的动能等于W，故B错误；小球从O到A的过程中，推力做的功等于弹簧和小球系统机械能的增加量，故在A点时，弹簧弹性势能小于W，故C错误；
由O到A再到B的过程中，由动能定理有W＋WG＋W弹＝0
以O点所在水平面为参考平面，由功能关系有WG＝－(－EpGB－0)，W弹＝－(Ep弹B－0)
解得W＝Ep弹B－EpGB
故在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W，故D正确。
课时梯级训练(12)　简谐运动的回复力和能量
1．如图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为(　　)
A．加速度 B．位移
C．速度 D．回复力
C　解析：由题图可知，t1和t2时刻，质点运动的位移大小相等，方向相反；根据简谐运动的加速度a＝－，位移大小相等，方向相反，则加速度大小相等，方向相反，A、B错误；x-t图像上点的切线的斜率表示速度，故在t1和t2时刻速度相同，C正确；根据F＝－kx可知，t1和t2时刻质点的回复力大小相等，方向相反，D错误。
2.(2025·浙江杭州二模)如图所示，一端固定于天花板上的一个轻质弹簧，下端悬挂了质量均为m的A、B两个物体，正在竖直方向做振幅为x0的简谐运动，当达到最高点时弹簧恰好为原长。当系统振动到某个位置时，剪断A、B间细绳，此后A继续做简谐运动。则下列说法正确的是(　　)
A.如果在平衡位置剪断绳子，A依然可以到达原来的最低位置
B．如果在最高点剪断绳子，则B带走的能量最多
C．无论在什么地方剪断绳子，此后A振动的振幅一定增大，周期一定减小
D．如果在最低点剪断绳子，此后A振动过程中，振幅为
B　解析：如果在平衡位置剪断绳子，由于振子质量减小，从能量角度分析，假设A依然可以到达剪断前的最低点，则弹簧弹性势能的增加量大于振子动能和重力势能的减小量(可以与剪断前比较)，则假设错误，经过分析，A到不了原来的最低点，A错误；由于在上升过程中，A、B间的绳子拉力一直对B做正功，所以到达最高点时，B的机械能最大，则如果在最高点剪断绳子，则B带走的能量最多，B正确；如果在最低点剪断绳子，不难得出此后A的振幅为，而越是在弹簧短的时候剪断绳子，此后A的振幅就越小，当在最高点剪断绳子时，此后A的振幅为，振子的质量减小了，由T＝2π可知，周期一定减小，C、D错误。
3.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个电场强度为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　)
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
A　解析：小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，振幅为，A正确，B错误；运动过程中，电场力做功，故小球的机械能不守恒，C错误；运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错误。
4.如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．该简谐运动的振幅为2x1
B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1
C．物块在A位置时的回复力大小为kx1
D．物块在A位置时的回复力大小为kx1－mg
C　解析：该简谐运动的振幅为x1，A错误；物块运动过程中，其快慢是不同的，衡位置运动比较快，远离平衡位置运动比较慢，所以在不包含平衡位置的周期内物块通过的路程小于x1，B错误；物块在O位置时受力平衡，有kx0＝mg，x0为弹簧伸长量，在A位置时的回复力大小为F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正确，D错误。
5．一个弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时间时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为(　　)
A．a1>a2，E1a2，E1>E2
C．a1E2
A　解析：振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过时间通过的位移大于，所以a1>a2，E16.(2025·四川南充高二阶段练习)一根竖立且处于原长的轻质弹簧，下端固定在地面，上端在O点。现在O点处静止释放质量为m(可视为质点)的小球，小球在B点时速度刚好为零，A点的速度最大，AB长度为c，OA长度为d，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，忽略一切阻力。 下列说法正确的是(　　)
A．两段长度关系有c＝d＝
B．O到B点的过程中小球的回复力一直变大
C．A到B的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和变小
D．若提高到O点正上方较近处静止释放该小球，小球的最大加速度为g
A　解析：小球在A点时受力平衡，则mg＝kxOA，xOA＝d＝，由对称性可知c＝d＝，A正确；由简谐运动的特点可知，O到B点的过程中小球的回复力先减小后变大，B错误；系统的机械能守恒，则A到B的过程中，系统的动能减小，则重力势能与弹性势能之和变大，C错误；小球从O点释放时，在O点小球的加速度为g，到达B点时加速度也为g；若提高到O点正上方较近处静止释放该小球，则最低点的位置在B点下方，可知此时小球的最大加速度大于g，D错误。
7．如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M的物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动，运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内速度在减小，加速度在减小
B．t2～t3时间内木块受到的摩擦力在增大
C．t2时刻木块受到的摩擦力大小为
D．t3时刻木块受到的摩擦力大小为
C　解析：两物体一起运动，0～t1时间内由题图可知物体向平衡位置运动，速度在增大，加速度在减小，A错误；t2～t3时间内由振动图像可知加速度在减小，木块受到的摩擦力提供加速度，则t2～t3时间内木块受到的摩擦力在减小，B错误；t2时刻对两物体受力分析，则有kA＝(M＋m)a，对质量为m的木块受力分析，则有Ff＝ma，解得Ff＝，C正确；t3时刻木块的加速度为0，则摩擦力为0，D错误。
8.(多选)(2025·河北保定高二期末)如图所示，劲度系数为k的竖直轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一个质量为m的物体A，初始时系统处于静止状态，弹簧的弹性势能大小为E，将另一个与A完全相同的物体B轻放在A上，重力加速度为g，关于二者之后在竖直方向上的运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体B被弹簧弹回到某位置后将脱离物体A向上运动
B．A、B运动过程中的最大加速度为g
C．A、B运动过程中的最大加速度为
D．弹簧的最大弹性势能为＋E
CD　解析：初始时，A、B的加速度最大，对A、B组成的系统，根据牛顿第二定律有2mg－kx1＝2ma，kx1＝mg，解得a＝，B错误，C正确；当两物体运动到最低点时，其速度为零，弹簧的弹性势能达到最大，根据简谐运动的对称性有kx2－2mg＝2ma，解得x2＝，根据系统机械能守恒定律有Epmax＝2mg(x2－x1)＋E＝＋E，D正确；由于系统在运动过程中最大加速度为，所以物体B将始终受到向下的重力和A对B向上的支持力，所以B将不会脱离物体A向上运动，A错误。
9.(多选)如图所示，轻质弹簧下端固定在斜面底端，上端与一个小球(视为质点)相连，弹簧与斜面平行，小球位于B点时弹簧恰好处于原长状态，初始状态小球静止在A点。现对小球施加一个方向沿斜面向上的恒定拉力，使小球由静止开始运动，一段时间后到达最高点C。已知ABA．小球从A点运动至C点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能减小
B．小球从A点运动至C点，该拉力对小球所做的功等于小球重力势能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和
C．小球从A点运动至B点的过程中，其机械能增大
D．小球从B点运动至C点的过程中，其动能先减小后增大
BC　解析：在小球和弹簧组成的系统中，拉力对系统做正功，系统的机械能增加，A错误；根据能量守恒可知，小球从A点运动至C点，该拉力对小球所做的功等于小球重力势能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，B正确；小球在拉力F作用下，会在AC间做简谐运动，由于AB＜BC，平衡位置在BC间某一点，在平衡位置小球受到的合力为零，则F－mg sin θ－F弹＝0，故在AB段，小球受到的拉力与弹力的合力向上，其合力做正功，在AB段小球的机械能增加，在BC段时，从B到平衡位置，小球受到的合力向上，合力做正功，动能增加，从平衡位置到C，合力向下，做负功，动能减小，C正确，D错误。
10.(2025·江苏苏州高二期中)如图所示，弹簧上端固定，下端悬挂一个小钢球，把钢球从平衡位置O向下拉一段距离A，放手让其运动，A就是振动的振幅，用停表测出钢球完成n个全振动所用的时间t，就是振动的周期。现把振幅减小为原来的一半，则钢球(　　)
A．振动周期变为原来的一半
B．经过平衡位置的动能变为原来的一半
C．最大加速度变为原来的一半
D．若n的值取小一些，可以减小测量误差
C　解析：根据弹簧振子的周期公式T＝2π，可知，把振幅减小为原来的一半，钢球振动周期不变，A错误；钢球从释放到运动至平衡位置过程，由动能定理可得W弹＋WG＝Ek－0，其中W弹＝kA2，WG＝－mgA，联立解得Ek＝kA2－mgA，即经过平衡位置的动能不会变为原来的一半，B错误；钢球在平衡位置时，有kx＝mg，振幅为A时，最大加速度满足mam＝k(A＋x)－mg，振幅为时，最大加速度满足mam′＝k(＋x)－mg，联立解得am′＝，C正确；若n的值取小一些，会增大测量误差，D错误。
11．如图所示，倾角为α的斜面体(光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球，开始时，小球静止于O点。压缩弹簧使其长度为时将小球由静止开始释放，重力加速度为g，弹簧弹性势能的表达式Ep＝k(Δx)2，Δx为弹簧形变量。
(1)证明小球所做运动为简谐运动；
(2)求小球振动到最低点时弹簧的弹性势能。
答案：(1)见解析　(2)2k
解析：(1)设小球在斜面上平衡时，设弹簧伸长量为Δl，有
mg sin α－kΔl＝0
当小球离开平衡位置向下的位移为x时，弹簧伸长量为x＋Δl，小球所受合力为F合＝mg sin α－k(x＋Δl)
联立以上各式可得F合＝－kx，可知小球做简谐运动。
(2)小球做简谐运动的振幅为A＝＋Δl
小球振动到最低点时弹簧的伸长量为Δx＝A＋Δl
弹簧的弹性势能Ep＝k(Δx)2＝k＝2k。(共58张PPT)
机械振动
第3节　简谐运动的回复力和能量
第二章
物理观念 科学探究 科学态度与责任
1.理解回复力的概念。 2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3．知道简谐运动中机械能守恒。 1.会用动力学的观点分析简谐运动中各参数的变化规律及其之间的逻辑关系。 2．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况。 　　通过对弹簧振子的运动和能量的分析，形成解决物理问题的能量观和运动观。
必备知识 自主学习
1．回复力：能够使物体在____________附近做往复运动的力。
2．效果：把物体拉回到______位置。
　　　　　　　　　 　↓
做简谐运动的物体静止时，回复力为零的位置。
平衡位置
平衡
必备知识 自主学习
3．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向____________。
4．表达式：F＝_________，该式表明了做简谐运动的物体的
　　　　　 　↓
“－”表明回复力与位移的方向始终相反。
回复力与位移的关系。
5．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向______位置，物体的运动就是简谐运动。
平衡位置
－kx
正比
平衡
必备知识 自主学习
二、简谐运动的能量
1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是______和______相互转化的过程。
(1)在最大位移处，______最大，______为0。
(2)在平衡位置处，______最大，______最小。
动能
势能
势能
动能
动能
势能
必备知识 自主学习
2．决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能______，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
守恒
必备知识 自主学习
1.(物理与生活)如图所示，在试管中装有适量的砂粒，并将试管竖直静浮于水中，然后将试管竖直提起少许，后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”)
必备知识 自主学习
(1)试管运动的回复力总是指向平衡位置。(　　)
(2)试管做简谐运动的回复力是恒力。(　　)
√
×
必备知识 自主学习
2.(教材拓展P45)“练习与应用T1改编”
如图所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在光滑斜面上B、C之间做往复运动。在小球向O点运动的过程中，小球的速度与加速度的变化情况是(　　)
A．速度不断增大，加速度不断增大
B．速度不断减小，加速度不断增大
C．速度不断增大，加速度不断减小
D．速度不断减小，加速度不断减小
C
解 析
小球静止时，受重力、斜面的支持力和弹簧的拉力，平衡时弹簧伸长了x0，则有mg sin θ＝kx0，当小球离开O点的距离为x时(假设在OC间)，小于受到的合力F合＝k(x＋x0)－mg sin θ＝kx，方向沿CO。结合牛顿第二定律和运动学公式可知，小球在向O点运动的过程中，其加速度不断减小，速度不断增大，A、B、D错误，C正确。
关键能力 互动探究
如图甲所示是水平方向的弹簧振子，如图乙所示是竖直方向的弹簧振子，如图丙所示是m随M一起振动的系统。
关键能力 互动探究
[问题设计]
(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
提示：(1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
关键能力 互动探究
1．简谐运动中回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某个力的分力。
关键能力 互动探究
2．对F＝－kx中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
关键能力 互动探究
【例1】 (2025·内蒙古巴彦淖尔期末)如图甲所示，“弹簧公仔”是一款玩具，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为m。竖直向上拉伸公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。以竖直向上为正方向，弹簧弹力与公仔头部运动时间的关系如图乙所示，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 (　　)
C
关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
A．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长
B．t＝0时刻和t0时刻，公仔头部的加速度相同
C．公仔头部做简谐运动的周期为2t0
D．公仔头部运动至最低点时，回复力的大小为4mg
解 析
解 析
关键能力 互动探究
【例2】 一个质量为m、某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
(1)试分析木块上下振动的回复力的来源；
(2)试证明该木块的振动是简谐运动。
答案：见解析
解 析
(1)木块上下振动的回复力是重力和浮力的合力。
(2)以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块又被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力如图所示，则
F合＝mg－F浮
又F浮＝ρgS(Δx＋x)
联立可得
F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx
解 析
又木块静止时有mg＝ρgSΔx，所以
F合＝－ρgSx
即F合＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动是简谐运动。
关键能力 互动探究
判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，如果物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
关键能力 互动探究
[练1] (多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
AD
解 析
以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，A、D正确。
关键能力 互动探究
如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。
关键能力 互动探究
[问题设计]
(1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？
(3)A→O→A′过程中，振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？
提示：(1)动能最大，弹性势能为零。
(2)动能为零，弹性势能最大。
(3)A→O过程中弹性势能转化为动能，O→A′过程中动能转化为弹性势能。
关键能力 互动探究
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒。
(1)简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
(2)在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
(3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。
关键能力 互动探究
【例3】 如图所示，一个水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知物体的质量为M。
(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________相互转化，总机械能________。
关键能力 互动探究
(2)物体在振动过程中，下列说法正确的是________。
A．物体在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．物体在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
答案：(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD
解 析
(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)物体在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，B正确；振幅的大小与物体的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，C错误，D正确。
关键能力 互动探究
[练2] 如图所示是由轻质弹簧及其下端悬挂的物块组成的一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
C
解 析
弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零；在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误。因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变；弹簧振子在平衡位置时动能最大，振动系统的势能最小，C正确，D错误。
关键能力 互动探究
1．如图是水平弹簧振子的示意图。
(1)在小球远离平衡位置的过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；在小球衡位置的过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
关键能力 互动探究
(2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时，位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。
关键能力 互动探究
2．说明：(1)简谐运动中各个物理量的对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向。
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
关键能力 互动探究
ABC
解 析
由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误。
关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
[练3] (2025·湖南长沙高二检测)如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是(　　)
B
解 析
关键能力 互动探究
【例5】 (生活情境)(多选)某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。若从点M到达水面至点N到达水面所经历的时间为0.5 s，不计阻力的影响，以下说法正确的是(　　)
A．鱼漂做简谐运动的周期为1 s
B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
C．点O过水面时，鱼漂的加速度最大
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
AB
解 析
鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德原理可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，点M到达水面时鱼漂在最低点，点N到达水面时鱼漂在最高点，鱼漂从最低点到最高点历时0.5 s，简谐运动的周期为T＝2×0.5 s＝1 s，A正确；点N到达水面时，鱼漂达到了向上的最大位移，所受合力方向向下，所以具有向下的加速度，B正确；点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，C错误；由简谐运动的特点可知，鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小，D错误。
关键能力 互动探究
[练4] (探究情境)(多选)牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞口无初速度释放一个小球(小球的直径略小于洞的直径)，在小球向下端点运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球在洞内做简谐运动
B．小球在地心处动能最小
C．小球可以穿出小洞
D．若小球释放的位置再向下移动一点，则小球振动周期不变
AD
解 析
素养训练 学业评价
1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
B
解 析
回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
素养训练 学业评价
C
解 析
素养训练 学业评价
3．(2025·广西南宁高二期中)如图甲所示，将一个轻质弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂，上端装有一个记录弹力的力传感器。当振子上下振动时，弹力随时间的变化规律如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)

A．小球的质量为2 kg
B．t＝2 s时小球的加速度为0
C．0～2 s时间段内，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s
D．小球的振幅为0.2 m
C
解 析
根据题图可知，平衡位置处弹力为10 N，F＝mg，解得小球的质量为1 kg，A错误；t＝2 s时小球只受重力，加速度为g，B错误；0～2 s时间段内，小球初、末速度均为零，根据动量定理得IF－mgt＝0－0，解得IF＝20 N·s，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s，C正确；Fmax－mg＝kA，解得小球的振幅A＝0.1 m，D错误。
素养训练 学业评价
BD
解 析
素养训练 学业评价
5．(2025·河南南阳期末)如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点(O在A、B之间)。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球 (　　)
D
素养训练 学业评价
A．在O点时的动能最大
B．在O点时的动能一定大于W
C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W
D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W
解 析
小球位于平衡位置时合外力为零，速度最大，动能最大，依题意如图所示，平衡位置应该在O点下方，故A错误；
小球从O点出发再次回到O点时，弹力和重力均不做功，由动能定理可知，小球在O点时的动能等于W，故B错误；小球从O到A的过程中，推力做的功等于弹簧和小球系统机械能的增加量，故在A点时，
解 析
弹簧弹性势能小于W，故C错误；由O到A再到B的过程中，由动能定理有W＋WG＋W弹＝0，以O点所在水平面为参考平面，由功能关系有WG＝－(－EpGB－0)，W弹＝－(Ep弹B－0)，解得W＝Ep弹B－EpGB，故在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W，故D正确。
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