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第1章 有理数
1.5.3 有理数的除法
学习目标与重难点
学习目标：
1.依托乘除逆运算探究有理数除法，发展符号意识与抽象能力，从符号、绝对值角度观察运算，培养数感。
2.通过归纳推理得到除法法则，发展推理意识，能熟练进行有理数除法、乘除混合运算，提高运算能力。
3.理解除法转化为乘法的数学模型，建立模型意识，会运用有理数除法解决简单问题，发展应用意识。
学习重点：掌握有理数除法法则，能正确进行有理数除法及乘除混合运算。
学习难点：在有理数乘除混合运算中准确判断结果符号，理解除法转化为乘法的转化思想。
预习自测
一、知识链接
1.有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。本节课利用乘法是除法逆运算的关系，借助有理数乘法的符号规律，推导得出有理数除法的符号法则。
2.倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。依据倒数，可以把有理数除法运算转化为乘法运算，实现化除为乘的转化思想。
3.乘除互为逆运算。之前已经知道除法可以由乘法反向推导，本节课沿用这个逆运算关系，从已知乘法算式，反推对应的除法结果，探究有理数除法的计算规律。且之前学过正数除法得知识，本节课将除法运算拓展到含有负数的有理数范围。
自学自测
1.(-18)÷6=____。
2.(- )÷(- )=____。
3.（-4）÷×（- ）____。
教学过程
一、创设情境、导入新课
两个有理数相除，如何计算？
对于有理数，除法也是乘法的逆运算，根据这个关系填表。
通过上面的计算，你能否体会到有理数除法应如何计算？
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的除法
教材第37页
1.有理数除法与乘法的关系：除法是乘法的逆运算，可以通过乘法结果反推除法的商；已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，使用除法运算。
2.有理数除法法则一：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
②0除以一个不为0的数结果为0；0不能作除数。
3.有理数除法法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
公式：a÷b=a·（b≠0）
说明：把除法运算转化为已经学过的乘法运算，实现化未知为已知。
4.倒数相关要点：0没有倒数；做除法转化乘法时，只把除数改写为它的倒数，被除数保持不变。
5.有理数乘除混合运算：①运算思路：先把全部除法统一转化成乘法；②先确定最终结果符号，多个数乘除，负因数个数决定符号；③再计算绝对值的乘积；④按照从左到右顺序运算。
6.计算的两类方法选择：能够整除时，优先用法则一，直接做绝对值相除；不能整除、含有分数时，用法则二，转化为乘倒数进行计算。
7.运算易错点：①0只能做被除数，绝对不能充当除数；②乘除混合运算，不随意改变运算顺序；③符号优先判断，再计算绝对值。
交流：（1）小学里进行除法运算时，怎样将除法转化为乘法？
有理数的除法也可以转化为乘法吗？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.-3×2-8÷（-2）计算的结果是（ ）
A．2 B．-2 C．-10 D．7
2.下列等式成立的是（ ）
A．100 ÷ ×（-6）=100÷[ ×（-6）] B．100 ÷ ×（-6）=100×6×（-6）
C．100 ÷ ×（-6）=100× ×6 D．100÷ ×（-6）=100×6×6
3.下列计算①（-1）×（-2）×（-3）=6；②（-36）÷9= -4；③×（- ）÷（-1）= ； ④（-4）÷ ×（-2）=16，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.如图，兰兰有5张写着不同数字的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数字相除，所得到的商最小，则最小的商是（ ）
A．-2 B．- C．-9 D．-4
【知识技能类作业】选做题：
1.如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4个分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数-2023将与圆周上的数字（ ）重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有_____种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转_____圈．
3.一个数的是-6，则这个数是_____．
4.计算：
（1）-1.75÷（-3）×
（2）÷[ - （ - ）]
（3）166 ÷ 41
【综合拓展类作业】
1.近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足的记为“-”，刚好50km的记为“0”．
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少km？
(3)已知汽油车每行驶100km需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少元？
2.分类讨论思想是一种重要的数学思想，请尝试运用分类讨论思想，解答下面的问题．
(1)当ab<0时，若b>0，|a|<|b|，则a+b______0．
(2)当abc<0时，若ab>0，则c______0．
(3)已知a，b，c是非零有理数，直接写出 + + 的值．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.利用乘法与除法互为逆运算完成填表计算，回顾小学分数除法旧知，由此引入有理数除法的探究学习。
2.掌握有理数除法两条法则。法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以不为0的数结果为0。法则二：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，实现除法向乘法的转化。
3.有理数除法有两种计算途径，可直接相除，也可转化为乘法运算；牢记0不能作除数，0不存在倒数；乘除混合运算先确定符号，再计算绝对值。
4.结合例题练习有理数除法、乘除混合运算，根据题型灵活选择运算法则，做题时重点留意符号，减少计算错误。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是（ ）
A. 0除以任何数都得0 B. 互为倒数的两个数的乘积为1
C. 若两个数的商为0，则被除数一定为0 D. 一个数除以它的倒数，商为1
2.小航在计算 8÷a时，误将“÷”看成“+”得到的结果是 6，则 8÷a的正确结果是（ ）
A． 4 B． 2 C．2 D． 2
3.有一栋居民住宅楼，每两层楼之间的楼梯都是由17级台阶组成的，小明一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一边数一边跑，当他数到238时，恰好回到了一楼，那么这栋楼有（ ）
A．7层 B．8层 C．6层 D．9层
4.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若b+d=0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【知识技能类作业】选做题：
1. 若|x-1|+|y+2|=0，则x+y÷xy=（ ），则结果是（ ）
A.- B. C. D.-
2. 若，则的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 按如下程序进行计算：输入x→x2→+x→÷x→ x→输出结果，则无论x取任何非零值时，输出的结果都是______。
【综合拓展类作业】
1. 阅读下面材料，解决问题：
计算：。
解法一：。
解法二：原式的倒数为，所以原式。
请比较两种解法，利用你认为比较简便的方法计算下面题目：
。
现有四个有理数，，，，运用有理数的四则混合运算写出不同的算式，使结果等于，要求每个数都要用到，且只能用一次，请写出至少两种不同的运算式。
答案
自学自测：1.-3；2.；3.3
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.B
2.B
3.C
4.C
【知识技能类作业】选做题
1.A
2.12；1.6
3.-8
4.（1）；（2）；（3）
【综合拓展类作业】
1.（1）48；
（2）60km；
比原来节省846元．
2.（1）＞（2）＜（3）±3或±1
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】0除以任何非0数都得0，A错误；0没有倒数，所以B选项说法不严谨，错误；两个数的商为0，被除数一定为0，除数不为0，C正确；1除以1的倒数1，商为1，但，D错误。故选C。
【详解】C
2.【解析】解：根据题意，得，解得：，．故选：A．
【详解】A
3.【解析】1.小明上去再下来一共走了238级台阶，所以单程（一楼到顶楼）台阶数：238÷2=119级
2.每两层之间是17级台阶，算出楼层间隔数：119÷17=7个间隔
3.楼层数=间隔数+1（因为1楼不需要爬台阶）：7+1=8层
故答案为8层。
【详解】B
4.【解析】根据数轴上的点所表示数的特点：互为相反数的两个数位于原点的两侧，且到原点的距离相等可以确定出原点的位置，进而可确定a、b、c、d的符号，然后再根据有理数的加法法则、乘除法法则、绝对值的性质及有理数比较大小的方法，即可做出判断．
解： ∵b＋d＝0，
∴b和d互为相反数，且表示数字b和d的点为端点的线段的中点表示的数字是0，
∴a＜b＜0＜c＜d，
∴b＋c＜0，
∴A选项错误，
∵a和c的符号相反，
∴＜0＜1，
∴B选项错误，
∵ad＜0，bc＜0，且|ad|＞|bc|，
∴ad＜bc，
∴C选项错误，
a到原点的距离大于d到原点的距离，
∴|a|＞|d|，
∴D选项正确.
故答案为：D.
【详解】D
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】因为绝对值具有非负性，|x-1|≥0，|y+2|≥0，两个非负数相加等于0，则每一项都为0，所以x-1=0，y+2=0，解得x=1，y=-2。将x=1，y=-2代入式子（x+y）÷（xy），得到原式= ，故答案为C。
【详解】C
2.【解析】当a、b都为正数时，结果为1+1=2；当都为负数时，结果为-1+(-1)=-2；当一正一负时，结果为1-1=0，所以不可能是1，选B。
【详解】B
3.【解析】按程序计算：，所以结果恒为1。
【详解】1
【综合拓展类作业】
1.【解析】本题选用解法二，先求原式的倒数可以简化计算。先写出倒数算式，转化为乘法，再用乘法分配律，分别用括号内每一项乘-48，算出倒数结果，最后取倒数，就能得到原式答案。
【详解】取原式的倒数计算：，所以原式。
2.【解析】要把3，4，-6，10四个数字各用一次，通过加减乘除组合凑出24。可以先想24的常见组合，比如3×8、24×1、30-6等，尝试调整数字符号和运算顺序，写出不同算式，例如构造出10-4=6，再用3×6-(-6)得到24，多试几种运算搭配，写出至少两个符合要求的式子。
【详解】解：答案不唯一，例如：；；，任选两种即可。
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