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新人教版·九年级上册
第二十六章 二次函数
26.2二次函数的图象和性质
26.2.2二次函数y=ax +k的图象和性质
回顾旧知
开口方向 ；
对称轴 ，即 ；
顶点坐标分别是 ；是抛物线最 点；
当x 时，函数有最 值
当x 时， y随着x的增大而减小；
当x 时， y随着x的 而增大；
二次函数y=2x 的图象 ；
二次函数y=2x 的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？
y =2x2
向上
y轴
（0，0）
直线x=0
一条抛物线
<0
>0
=0
小
增大
低
探究新知
想一想
如何y=ax +bx+c转化为类似y=ax +k的简单形式
上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax +bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？
ax +bx+c = 0
配方
(x-h) =k
二次函数y=ax +bx+c
类似方程配方
转化
y =a(x-h) +k
探究新知
提取a
配方
整理化简
k≠0
探究新知
画出二次函数 y=x , y=x2+1 ，y=x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝x2＋1 … 5 2 1 2 5 …
y＝x2－1 … 3 0 －1 0 3 …
4
1
0
1
4
5
2
1
2
5
3
0
－1
0
3
探究新知
（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？
（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？
图象的形状 开口方向 对称轴
抛物线
向上
y轴
函数 y =x y = x +1 y = x -1
顶点坐标
（0，0）
（0，1）
（0，－1）
（3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？
顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ；
低
小
1
0
-1
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
探究新知
y1 = x
y2 = x +1
二次项相同
+0
常数项不同
相同的自变量x对应的函数值相差1，即y2比y1多1
y 1= x
y 3= x -1
二次项相同
+0
常数项不同
相同的自变量x对应的函数值相差1，即y3比y1少1
y2=x +1、y3=x -1与y1=x 函数图象形状相同，位置沿y轴上下平移
（4）y=x +1、y=x -1的图象可由y=x 的图象如何平移得到？
y=x 的图象
向上平移1个单位
y=x +1的图像
向下平移1个单位
y=x －1的图像
y=x 的图象
探究新知
观察图象填空：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = x2
y =x2＋1
y = x2－1
向上
向上
向上
y轴
y轴
y轴
(0,1)
(0,-1)
(0,0)
思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.
(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 值为 ．
上
1
下
1
0
小
1
探究新知
画出二次函数 y=-x , y=-x2+1 ，y=-x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 …
y＝－x2＋1 … －3 0 1 0 －3 …
y＝－x2－1 … －5 －2 －1 －2 －5 …
－4
－1
0
－1
－4
－3
0
1
0
－3
－5
－2
－1
－2
－5
探究新知
（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？
（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？
图象的形状 开口方向 对称轴
抛物线
向下
y轴
函数 y =x y = x +1 y = x -1
顶点坐标
（0，0）
（0，1）
（0，－1）
（3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？
顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ；
高
大
1
0
-1
当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小.
探究新知
观察图象填空：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y =- x2
y =-x2＋1
y =- x2－1
向下
向下
向下
y轴
y轴
y轴
(0,1)
(0,-1)
(0,0)
思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.
(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 值为 ．
上
1
下
1
0
大
1
思考
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
y
O
x
y = ax2 +k(k<0)
y = ax2+k (k>0)
y = ax2
k
k
a>0，开口向上
a<0，开口向下
y
O
x
y = ax2 +k(k<0)
y = ax2+k (k>0)
y = ax2 (a<0)
k
k
当k>0时，
向上平移k个单位长度得到
当k<0时，
向下平移∣k∣个单位长度得到
上下平移规律：上加下减常数项
y=ax2
顶点(0, 0)
y=ax2+k
顶点(0, k)
归纳小结
二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质
y = ax2 + k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴 顶点坐标 最值
增减性
向上
向下
y 轴（直线x=0）
(0，k)
当 x = 0 时，y最小值 = k
当 x = 0 时，y最大值 = k
当 x＜0 时，
y 随 x 的增大而减小；
x＞0 时，
y 随 x 的增大而增大
x＜0时，
y 随 x 的增大而增大；
当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而减小
注意：k带前面的符号！
思考
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
(1)a决定开口方向：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；
|a|决定开口大小： |a| 越大，开口越小， |a| 越小，开口越大；
(2)k决定顶点的纵坐标,对称轴为y轴,顶点坐标为（0，k）.
易错提醒
（1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称；
（2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述；
（3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关；
（4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反.
课堂练习
3. 例2(2025广州市二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝－x2－2上，且0”或“＝”)
4. (2025珠海市三模)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2＋1图象上，则（　A　）
＞
A
A． y1典例精析
例 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( )
A．其图象的开口方向向上
B．当 x = 0 时，y 有最大值 4
C．其图象的对称轴是 y 轴
D．其图象的顶点坐标为 (0，4)
B
分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4
典例精析
例 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
典例精析
如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标.
解：当y=0时，0=x2-4
解得：x=±2
即A点的坐标为(-2,0)，
B点的坐标为(2,0).
∴AB=4.
∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b
∴｜b｜=2
即b=±2
当b=2时，x2-4=2
解得x=
当b=-2时，x2-4=-2
解得x=
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象和性质
图象
1.开口方向由a的符号决定；
2. k决定顶点的位置；
3.对称轴是y轴.
性质
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
与y=ax2的关系
平移规律：
k正向上；
k负向下.
拓展
1、对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
2、已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
3、抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
拓展
4、已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．

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