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26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第二十六章 二次函数
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
··· ···
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象．
探索求知
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
y=2x2+1
y=2x2-1
9
7
5.5
3.5
3
1
1.5
-0.5
1
-1
1.5
-0.5
3
1
5.5
3.5
9
7
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2
3
4
1
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6
7
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9
-1
-2
-3
-4
0
-1
x
y
描点、连线，画出这两个函数的图象.
探索求知
y=2x2+1
y=2x2-1
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
y=2x2+1
y=2x2-1
向上
向上
（0，1）
（0，-1）
y轴
y轴
想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？
观察思考
抛物线 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　）
A.其图象的开口方向向上
B.当x=0时，y有最大值4
C.其图象的对称轴是y轴
D.其图象的顶点坐标为（0，4）
B
典例精析
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
探索求知
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向 ；
(3)对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别
是 .
抛物线
向下
y轴
(0，0)，
(0，2)，
(0，-2)
探索求知
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________.
(6) 函数的增减性都相同：
__________________________
__________________________.
高
大
y=0
y=-2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大，
对称轴右侧y随x增大而减小
探索求知
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
y轴
y轴
（0，k）
（0，k）
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
知识要点
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　）
C
典例精析
A.开口方向相同
B.顶点相同
C.对称轴相同
D.当x＞0时，y随x的增大而增大
画出二次函数y=2x ，y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … …
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
探索求知
二次函数y=ax2+k的图象及平移
观察图象，说说它们之间的区别与联系.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
0
-1
x
y
探索求知
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
+1
-1
x … -1.5 -1 0 1 …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
3.5
5.5
2
1
3
2
1
(x， )
(x， )
(x， )
2x2-1
2x2
2x2+1
3
-1
0
1
探索求知
解析式
点的坐标
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
函数对应值表
从数的角度探究
可以发现，把抛物线y=2x2向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2向 平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
0
-1
x
y
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
探索求知
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
知识要点
二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k＞0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k＜0 时,向下平移｜k｜个单位长度得到.
上下平移规律：
上加下减常数项.
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A.抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B.抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C.抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D.抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
【解析】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
D
练一练
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ 它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步，即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱个单位长度.
第二种方法：描点法，三步，即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
想一想
对称轴y轴，顶点坐标(0,k).
例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是( )
D
典例精析
A
B
C
D
x
y
x
y
x
y
x
y
o
o
o
o
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　 )
D
变式训练
x
y
x
y
x
y
x
y
o
o
o
o
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．
2.填表：
y=2x2－4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y=3x2
y=3x2＋1
y =－4x2－5
向上
向上
向下
（0，0）
(0，1)
(0，-5)
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂练习
y轴
y轴
3.已知(m，n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，则点(-m，n)
（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k ；若顶点位于x轴上方， 则k ；若顶点位于x轴下方，则k .
5.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a= .
在
=2
＞2
＜2
-2
课堂练习
6.已知抛物线y=ax2+k.
（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点 坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是 ；
（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表 达式为y=-0.5x2-1，则a= ,k= .
（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的 函数表达式是 ；将抛物线y=ax2+k向下平移3个单 位，得到的新的抛物线的函数表达式是 .
y=-2x2-3
- 0.5
-3
y=x2+4
y=x2+1
课堂练习
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
课堂练习
A
B
O
x
y
解：抛物线y＝x2－4，当y＝0时，x＝±2
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)
∴AB＝4
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b
当b＝2时，x2－4＝2，
当b＝－2时，x2－4＝－2，
∴|b|＝2
∴ ×4|b|＝4
即b＝±2
解得
x＝±
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)
解得x＝±
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
课堂小结

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