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(共16张PPT)
26.4二次函数与实际问题
—— 商品利润问题
人教版九年级数学上册 · 第26章
月亮圆了，灯笼红了，国旗飘了。
再过不久就是中秋节，紧跟着是国庆节。
今年中秋，你们家准备买什么口味的月饼？
你家附近月饼店，一盒月饼卖多少钱，
其实都是“算”出来的！
今天，咱们不当吃月饼的人，
而当一回“卖月饼的老板”。
用数学过好中国节
创业挑战 · 帮“圆月坊”老板算笔账
中秋前夕，老板遇到了难题
老板做了市场调查，得到四条信息：
①
现在每盒售价 60 元，每天能卖出 300 盒
②
每涨价 1 元，每天就少卖出 10 盒
③
每降价 1 元，每天就多卖出 20 盒
④
每盒的成本（进价）是 40 元
老板的难题：销售旺季来了，该涨价还是降价？如何定价，才能每天赚得最多？
理清变量 · 利润到底和什么有关？
把“文字”翻译成“数学”
每天总利润 ＝ × 。
顺着这个关系，逐层拆解：
→ 利润是“定价”的函数，定价一变，利润就变
设未知数小窍门：题目给的是“涨/降 1 元”对应的销量变化，
所以设“涨价 x 元”（或“降价 x 元”）比直接设售价更顺手。
每盒利润
每天卖出的盒数
每盒利润 ＝ 售价 成本（成本固定 40 元）
每天销售量 ＝ 看定价（定价变，销量跟着变）
情形一 · 涨价 x 元，逐项表示
售 价
单 件 利 润
每 天 销 售 量
每 天 总 利 润 y
定义域（实际意义）：x ≥ 0，且销量 300 10x ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 30
60 + x
(60+x) 40 = 20 + x
300 10x
(20 + x)(300 10x)
情形一 · 配方求最值
展开、配方，找抛物线顶点
y = (20 + x)(300 10x)
= 10x + 100x + 6000
= 10(x 5) + 6250
开口向下，顶点处取得最大值：x = 5 时，y 最大 = 6250
定价 65 元/盒（60 + 5）时，每天利润最大 ＝ 6250 元
◆ 涨价方案：利润冲到 6250 元
情形二 · 降价 x 元，薄利多销？
售价
60 x
单件利润
(60 x) 40 = 20 x
每天销售量
300 + 20x
每天总利润 y
(20 x)(300 + 20x)
y = 20x + 100x + 6000 = 20(x 2.5) + 6125 （0 ≤ x ≤ 20）
降价顶点 x = 2.5 → 定价 57.5 元，最大利润 6125 元（定价到“角”也合理）
拍板！哪个定价最赚？
涨价方案
定价 65 元
最大利润 6250 元
降价方案
定价 57.5 元
最大利润 6125 元
6250 ＞ 6125 → 涨价方案更优！
结论：定价 65 元/盒时，每天利润最大，为 6250 元。
（涨价、降价都要算，再比较取最优，才不会漏掉最好解！）
方法提炼 · 利润问题“四步法”
从“做一题”到“会一类”
① 设元
通常设涨价/降价 x 元（或直接设售价）
② 列表列式
找单件利润、销售量表达式，列 y 关于 x 的二次函数
③ 定定义域
按实际意义确定 x 范围（销量、单件利润非负）
④ 求最值·
决策
配方或顶点公式求最值，比较各情形给定价建议
巩固练习 · 国庆灯笼“定价师”（同型练手）
国庆期间，某文创店销售“中国红”小灯笼：
· 现价每个 50 元，每天卖 150 个；
· 每涨价 1 元，每天少卖 5 个；
· 每降价 1 元，每天多卖 10 个；
· 每个成本 30 元。
问题：如何定价，可使每天利润最大？ （分涨价、降价两种情况）
任务：
独立完成在任务单上，注意也分“涨价、降价”两种情形，并比
较取最优。
练习答案 · 金牌定价师揭晓
涨价 x 元：y = (20+x)(150 5x) = 5(x 5) + 3125
降价 x 元：y = (20 x)(150+10x) = 10(x 2.5) + 3062.5
涨价 → 定价 55 元，利润 3125 元
降价 → 定价 47.5 元，利润 3062.5 元
3125 ＞ 3062.5 → 涨价 5 元、定价 55 元时利润最大！
提高拓展 · 精讲习题 教材P53练习1「旅行社接团」
旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费 2100 元；
对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人缴费降低 30 元。
问：旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大是多少？
先想一想：营业额 y 关于人数 x，是一个“统一”的式子吗？
——关键在“20人起组团、超过才优惠”：优惠有门槛，规律要分两段！
为什么是分段函数？
优惠有“门槛”，规律分两段
第一段（不优惠）
0 < x ≤ 20
营业额 y = 2100x
（一次函数，随人数增多而增大）
→ x = 20 时最大：42000 元
第二段（有优惠）
20 < x ≤ 90
y = [2100 30(x 20)]x
= 30x + 2700x
= 30(x 45) + 60750
→ x = 45 时最大：60750 元
定义域提醒：每人缴费不能为负 → 2100 30(x 20) ≥ 0 → x ≤ 90，
两段都要在“有意义的范围”内求最值。
完整分段函数：y = 2100x (0y = 30(x 45) +60750 (20巩固练习：课本53页第2题
2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？
课堂小结 · 今天我们学到了什么
盘点收获
建模关键：把“文字”翻译成“函数”——找准单件利润、销售量随定价的变化规律，列二次函数。
求解关键：用顶点（配方）求最值；现实问题里 x 有范围，最值要在“有意义的范围”内找。
策略关键：涨价、降价都要算，最后比较取最优（分类讨论思想）。
视野拓展：二次函数还能解决面积、投篮轨迹、拱桥设计……数学算清生活里的“最优解”。
结束语
我们从中秋的月饼，算到国庆的灯笼，
发现了一个道理：生活里处处是数学，
而数学，能帮我们把日子过得更“明白”。
愿大家像今天求出的“最大值”一样，
把团圆与快乐拉到满格；
祝同学们学业“步步高”、未来“节节高”！

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