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2026—2027学年九年级数学上册第一次月考押题卷
数 学
（测试范围：北师大版2024九年级上册，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知菱形的周长为，那么的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
2．如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根之和为1，则k的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
4．若是方程的一个根，则（ ）
A． B．2027 C．2025 D．2026
5．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
6．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．1 B． C．2025 D．
7．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（ ）．
A． B．2.5 C． D．2
9．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______．
12．已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______．
13．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m．
14．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于________．
15．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形．
16．如图，正方形中，点为上的两个动点，连接平分．给出如下几个结论：①；②平分；③；④若为中点，，则．其中正确结论的序号为___________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．先化简．再求值：．其中是方程的解．
18．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求线段的长．
19．已知一元二次方程，且．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若，解一元二次方程．
20．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为______，______．
(2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形，______是正方形；（请将添加的条件填在横线上）
(3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，、是正方形的对角线所在直线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根．
22．为推动青少年文化学习与体育锻炼协调发展，实验中学计划在操场空地用防护网搭建如图所示的两个矩形网球场，中间用防护网隔开．网球场一面靠墙（墙长m），并在平行于墙的边上的两处各留宽为m的门．已知计划使用的防护网总长为m，设网球场长为m．
(1)_______m；（用含x的代数式表示）
(2)矩形网球场ABCD的面积是否能达到？请说明理由．
23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值．
24．如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E．
(1)连接，求证：四边形为菱形；
(2)若，求的长．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B C A C C B D
1．B
利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可计算出边长的长度．
解：四边形是菱形，
．
菱形的周长为，
，解得．
2．A
利用矩形的性质易证是等边三角形，即可得解．
解：在矩形中，，
，
，
，
是等边三角形，
．
3．A
利用一元二次方程根与系数的关系，结合两根之和为1的条件求解，验证判别式确保方程有两个实数根．
解：，两根之和为1，
，解得，
∵恒成立，
∴符合题意．
4．B
由方程的根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算．
解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
5．C
根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
由得，即，
由得，
∴．
6．A
通过配方法将原方程化为的形式，求出,的值后代入计算.
解：，
，
，
，
，
∴，，
∴.
7．C
取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得．
解：如图，取的中点，连接，
四边形是矩形，
，，
点是直角斜边的中点，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
8．C
连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题．
解：连接、.
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，
∵点在上，，
∵，，
则，，
在中，，
∵是的中点，
∴．
9．B
根据题意得出，，求出，得出大正方形的面积为，即可得出边长为，根据，求出x的值即可．
解：∵关于x的方程，则，，
∴，，
∴，（负值舍去），
即，
则，
∴原方程为：，
∴大正方形的面积为，
∴边长为，
∴，
∴．
10．D
根据菱形的性质可知，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质可以求出，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证是等边三角形，即可证明，再利用勾股定理求出的长度．
解：菱形的边长为，
，
，
，
是等边三角形，
，
、是菱形的对角线，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
．
11．/
将原方程用配方法整理为的形式，得到和的值，即可计算．
解：对移项得，
将二次项系数化为，两边同除以得，
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方得，
整理得，
对比，得，，
因此．
12．
已知，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入计算即可得到结果．
解：∵，是方程的两个根，
∴根据根与系数的关系可得， ，
∴
．
13．
设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可．
解：设为，则，
依据题意得：
去括号得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
墙长，
，
即：，
解得，
综上所述，长为．
14．
根据三角形中位线定理得出，，可得四边形是平行四边形，进而得出四边形是菱形，即可求出的值，进而得出的值，找出周长与的关系规律，即可得出的值．
解：∵是边长为1的等边三角形，，分别是，的中点，
∴是的中位线，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
同理可得，四边形是菱形，，
∴，
……
∴，
∴．
15．O是的中点（答案不唯一）
先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
解：添加条件为：O是的中点，
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
16．①②③
过点作，垂足为，从而构造全等三角形，再结合角平分线的性质、全等三角形判定、勾股定理逐一验证四个结论正确性．
解：如下图所示，过点作，垂足为，
正方形中，，，
①平分，
．
，
．
在和中，
，
，．
在和中，
，
．
因此，故①正确；
②由①可知，，
，
平分，故②正确；
③由①可知，，
，
，
，
又，
代入得，即，故③正确；
④设，为中点，因此，则正方形边长．
，由①得，
，
在中由勾股定理得，，
代入得，展开化简得，
解得或（舍去），因此，故④错误．
综上：正确的结论为①②③．
17．，
本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解．
解：原式
；
∵是方程的解，
∴，即，
∴原式．
18．(1)证明：在矩形中，点O为对角线的中点，
∴，，
∴，
∵交边于点E，交边于点F，
∴是对角线的垂直平分线，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)
（1）依题意得是对角线的垂直平分线，则，，，进而可证明得，由此得，据此可得出结论；
（2）由得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后由矩形的性质得．
（1）略
（2）解：如图连接，则为的中点，
∵，
∴，
在矩形中，，，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
19．(1)证明：，
，
方程有两个实数根；
(2)
（1）利用一元二次方程根的判别式，结合条件化简，证明其非负性，从而证明方程有两个实数根；
（2）先由求出未知系数，再将方程化为标准形式后利用求根公式求解．
（1）略
（2）解：，
，
解得，
一元二次方程化为．
，
解得．
20．(1)相等，相等且互相垂直；
(2)邻边相等且有一个角为直角的平行四边形；
(3)证明：设与相交于点O，如图所示：
∵四边形是正方形，
，，
∵点E、F是对角线所在直线上的两点，且，
，
，
∴与互相垂直平分，
∴四边形是菱形．
（1）①由与对角线相等的平行四边形是矩形，因此可得答案为相等；
②由于对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，因此可得答案为相等且互相垂直；
（2）选择平行四边形时，由于邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形，因此可得答案为邻边相等且有一个角为直角的平行四边形；选择矩形时，由于邻边相等的矩形是正方形，因此可得答案为邻边相等的矩形；选择菱形时，有一个角是直角的菱形是正方形，因此可得答案为有一个角是直角的菱形，综上所述即可得出答案；
（3）设与相交于点O，由正方形性质得，，再根据得，进而得与互相垂直平分，据此可得四边形是菱形．
（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
∴横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直；
（2）解：选择平行四边形时，则邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形，理由如下：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
又∵有一个角是直角的菱形是正方形，
∴添加的条件为：邻边相等且有一个角为直角的平行四边形；
选择矩形时，邻边相等的矩形是正方形，
∴添加的条件为：邻边相等的矩形，
选择菱形时，则有一个角是直角的菱形是正方形，
∴添加的条件为：有一个角是直角的菱形；
（3）略．
21．(1)
解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数满足 ，即 ，
且，
化简得，
∵，
∴，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
(2)
，方程的另一个根为
（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况；
（2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根．
（1）见答案
（2）将已知根 代入原方程：，
化简得：，
解得 ，
将 代入原方程整理得： ，
解得，，
∴方程的另一个根为．
22．(1)
(2)矩形网球场的面积不能达到．
理由如下：
由（1）可知，．
根据题意，得，
整理，得．
，
∴原方程没有实数根，
∴矩形网球场的面积不能达到．
（1）由题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可
（1）解：（1）设网球场长为m，
m
（2）略
23．(1)不是邻根方程，计算如下：
，
，
解得：，
，
∴一元二次方程不是邻根方程；
(2)或0
(3)或
（1）解方程，根据题意即可判断；
（2）解方程，根据题意列方程即可解答；
（3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答．
（1）略
（2）解：，
，
或，
∵方程（m是常数）是“邻根方程”，
或，
或0；
（3）解：设方程的根为，且，
则，，
将代入得，
化简得，
，，
，
，即，
即，
解得．
24．(1)如图，
∵，
∴，
∵的角平分线为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
(2)
（1）证明，可得四边形为平行四边形，即可求证；
（2）根据勾股定理可得的长，再结合菱形的性质可得的长，设，则，在中，利用勾股定理可得的长，可得到的长，即可求解．
（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴，
∴．
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2026—2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考押题卷（测试范围：第1-2章） 试卷分析
一、单选题
1 0.95 利用菱形的性质求线段长
2 0.75 根据矩形的性质求线段长；等边三角形的判定和性质
3 0.75 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
4 0.7 由一元二次方程的解求参数
5 0.7 一元二次方程的定义；由一元二次方程的定义求参数
6 0.7 解一元二次方程——配方法
7 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用矩形的性质证明；等边对等角；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
8 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求角度；用勾股定理解三角形
9 0.55 解一元二次方程——配方法；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；完全平方公式在几何图形中的应用；二次根式的混合运算
10 0.51 含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
二、填空题
11 0.7 解一元二次方程——配方法
12 0.7 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；根据矩形的性质求面积；求一元一次不等式的解集
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；图形类规律探索；根据菱形的性质与判定求线段长；等边三角形的性质
15 0.65 两直线平行内错角相等；添一条件使四边形是矩形；证明四边形是矩形；等腰三角形的性质和判定
16 0.65 全等三角形综合问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用HL证全等（HL）；角平分线的性质定理；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
三、解答题
17 0.85 由一元二次方程的解求参数；分式化简求值
18 0.65 根据矩形的性质求线段长；利用菱形的性质求线段长；线段垂直平分线的性质；证明四边形是菱形；用勾股定理解三角形
19 0.65 公式法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况
20 0.65 证明四边形是矩形；证明四边形是菱形；根据正方形的性质证明；添一个条件使四边形是正方形
21 0.62 根据判别式判断一元二次方程根的情况；由一元二次方程的解求参数
22 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式；根据矩形的性质与判定求线段长
23 0.57 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数；由一元二次方程的解求参数
24 0.55 实数的混合运算；利用菱形的性质求线段长；证明四边形是菱形；用勾股定理解三角形

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