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2026—2027学年九年级数学上册第一次月考真题重组卷
数 学
（测试范围：北师大版2024九年级上册，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·福建宁德·月考）如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·四川泸州·月考）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（26-27九年级上·广东汕头·月考）关于的方程是一元二次方程，则它的二次项系数是（ ）
A． B．0 C． D．
4．（26-27九年级上·河南开封·月考）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
5．（25-26九年级上·山西晋中·月考）下列方程无实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27九年级上·江西九江·月考）如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是( )
A．112.5度 B．120度 C．115度 D．135度
9．（26-27九年级上·河南周口·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
10．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．14 B． C． D．10
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（26-27九年级上·四川达州·月考）若一元二次方程有一个根为，则___________．
12．（26-27九年级上·河南郑州·月考）如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________．
13．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____．
14．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____．
15．（25-26九年级上·山西晋中·月考）已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______．
16．（26-27九年级上·江苏泰州·月考）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（26-27九年级上·四川达州·月考）解方程：
(1)；
(2)．
18．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．求证：．
19．（26-27九年级上·江苏徐州·月考） 已知关于x的方程．若，是方程的两根．
(1)当时，求m的值；
(2)直接写出代数式的最小值．
20．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点．
(1)请你判断和的数量关系，并说明理由；
(2)过点作交的延长线于点，当，时，求的周长．
21．（26-27九年级上·甘肃天水·月考）阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
22．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，于，于，为的中点．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
23．（26-27九年级上·河南周口·月考）你知道怎样用几何方法求一元二次方程的正数解吗？以 为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为 即；
第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽长2，且面积为3，如图1所示；
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示；
第四步：计算大正方形的面积；
第五步：根据大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和列方程；
第六步：两边开方可求得该方程的解．
(1)大正方形的面积为 （用含x的代数式表示），小正方形的面积为 ；
(2)请你根据第五、六步的信息求这个方程的正数解．
24．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题：
(1)如果
①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________．
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．）
(2)如果，点D在线段上运动，且时，
①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论．
②若，求正方形的边长．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C A C A B A
1．C
解：A、∵是平行四边形具有的性质，
∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意；
B、∵是平行四边形具有的性质，
∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意；
C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意；
D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意．
2．B
解：二月份营业额为万元，三月份营业额在二月份基础上增长，为万元，
一月、二月、三月营业额共万元，
列方程为．
3．D
利用一元二次方程最高次数为、二次项系数不为的条件求，再计算二次项系数．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且．
由，得，
解得．
∵，
∴．
∴．
∴二次项系数为．
4．D
根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可．
解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意；
B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意；
C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意；
D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意．
5．C
利用根的判别式判断各方程是否有实数根，筛选出无实根的选项．
解：A、方程，，有实数根，故不符合题意；
B、方程，，有实数根，故不符合题意；
C、方程，，无实数根，故符合题意；
D、方程整理得，，有实数根，故不符合题意．
6．A
根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
7．C
设折叠后点与对角线上的点重合，连接，根据矩形的性质及勾股定理求出，根据折叠性质得出，，，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理，列方程求出的值，即可得出答案．
解：如图，设折叠后点与对角线上的点重合，连接，
∵矩形纸片中，，，
∴，，
∵折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，
∴，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为．
8．A
根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．B
需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式大于0两个条件求解．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上，的取值范围是且．
10．A
解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，是方程的两根，
∴由根与系数的关系得，
∴原式．
11．
将方程的根代入原方程，整理即可得到的值．
解：把代入一元二次方程，
得，
整理得，
移项得．
12．
根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得．
解：在正方形中，，，
，
又，
，
在中，，
．
13．
先证明，推出，，再证明是等边三角形，据此计算即可求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
在中，，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，
∴．
14．20
先由矩形的性质和勾股定理求得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形的中位线性质求得，，进而可求解．
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∵O为的中点，是的中点，
∴，，，
∴四边形的周长．
15．
根据矩形的性质得出，，即可得出有两个相等的实数根，利用根的判别式求出的值，进而求出的长，最后根据矩形对角线相等即可求出的长．
解：∵矩形，对角线，相交于点，
∴，，
∵，的长是关于的方程的两个根，
∴有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得，即，
∴．
16．
设方程两根为直角三角形两直角边长，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合面积求出两根之积，再通过勾股定理和完全平方公式计算斜边长．
解：设一元二次方程的两根分别为，，
即直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，
根据一元二次方程根与系数的关系，得，，
直角三角形的面积为3，
，
，
，
，
，
，
该直角三角形斜边长为．
17．(1)，
(2)，
（1）解：
，；
（2）解：
，，，
，
，
，．
18．证明：，
，
四边形为正方形，
，
，
．
先根据平行四边形证明，再根据正方形的性质证明，最后根据线段之间的数量关系，即可求证．
略
19．(1)；
(2)0
（1）把代入方程，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解．
（1）解：把代入方程，得，
．
（2）解：将，整理得，
∵，是方程的两根，
，，
∴，
所以代数式的最小值为0．
20．(1)解：，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
(2)
（1）根据四边形是菱形，得出，，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
（2）根据菱形性质可得：，，先在中求出，再证明四边形是平行四边形，进而得出、，由此即可解决问题．
（1）略
（2）解：∵菱形，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴的周长
，
即的周长是．
21．(1)
（答案不唯一）
(2)
(3)
（1）将二次项与一次项组合，利用完全平方公式配成完全平方式，调整常数项即可得到配方形式；
（2）将等式中含x、y的项分别分组配方，根据平方的非负性求出x、y的值，代入代数式计算；
（3）将等式左边拆项后分组配方，根据平方的非负性求出a、b、c的值，代入代数式计算．
（1）解： ；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
解得，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
解得，，，
∴．
22．(1)21
(2)
（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论．
（1）解：∵于，于，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴的周长；
（2）解：∵，M为的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
23．(1)；4
(2)
（1）根据正方形的面积公式解答即可；
（2）根据题意，列出方程，即可．
（1）解：大正方形边长为，则面积为 ；
小正方形边长为：，则面积为4；
（2）解：由题意列方程：，
整理得：，
两边开方得：，
解得：，
即这个方程的正数解为．
24．(1)①，；
②结论仍然成立，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
即．
又，
∴．
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
(2)①．②．
（1）①运用正方形的边相等、内角为的性质，以及已知的，的条件．得，，所以可推出，结合，，用证明，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到和的数量关系，再结合推导角的关系得到位置关系．
②点D在延长线上时同理证明全等即可验证结论．
（2）①过点A作交于点G，构造出等腰直角，可得到，结合正方形，同理证明，再通过推导角的关系得到与的位置关系．
②连接，过点A作，交于点G．因为已证，且构造的是等腰直角三角形，已知，可求出的长度，结合得到的长度，再在直角三角形中用勾股定理求的长度，即正方形的边长．
（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，即．
又，
∴．
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
②略
（2）解：①结论：．
过点A作，交于点G．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
②连接，过点A作，交于点G．
由①知，是等腰直角三角形，
∴．
由①知，，
∴，
∵等腰直角中，，
∴．
由①知，，
∴在中，．
∵正方形的边，且正方形边长满足，
∴，
解得．
即正方形的边长为．
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2026—2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考真题重组卷（测试范围：第1-2章） 试卷分析
一、单选题
1 0.85 添一个条件使四边形是菱形
2 0.75 增长率问题(一元二次方程的应用)
3 0.7 一元二次方程的定义；由一元二次方程的定义求参数
4 0.7 添一条件使四边形是矩形；添一个条件使四边形是菱形；添一个条件使四边形是正方形
5 0.7 根据判别式判断一元二次方程根的情况
6 0.65 根据菱形的性质与判定求角度；等边对等角；三角形内角和定理的应用
7 0.65 勾股定理与折叠问题；根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题
8 0.65 根据正方形的性质求角度；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
9 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
10 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；由一元二次方程的解求参数
二、填空题
11 0.85 由一元二次方程的解求参数
12 0.7 根据正方形的性质求角度
13 0.65 含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
15 0.65 因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数；根据矩形的性质求线段长
16 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；通过对完全平方公式变形求值；用勾股定理解三角形
三、解答题
17 0.7 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程
18 0.65 根据正方形的性质证明；利用平行四边形的性质证明
19 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；由一元二次方程的解求参数
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质证明；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
21 0.65 配方法的应用；已知字母的值 ，求代数式的值；运用完全平方公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式分解因式
22 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；等边对等角；三角形内角和定理的应用
23 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
24 0.4 实数的混合运算；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形

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