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3.4-3.5《相似三角形的性质、图形的位似》同步练习
一、选择题
1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（ ）
A．点A，O，在同一直线上 B．
C．点O到与的距离之比是 D．
5．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
6．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
12．如图1，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图2，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。
13．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______．
14．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______．
16．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________．
三、解答题．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的；
(2)直接写出点的坐标为________，的长为________．
18．如图，，分别是，上的点，，相似比是．
(1)若，求的长．
(2)若，求的长．
19．如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
20．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
21．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为____________．
22．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
23．已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的；
(2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的；
(3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的．
24．根据题目要求，回答相应问题．
(1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得；
(2)根据（1）中所作图形，可得_______；
(3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得．
25．小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究：如图2，若，求证：．
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长．
(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案）
参考答案
一、选择题
1．B
∵，对应中线比为，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为．
2．A
解：已知，，
选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确；
选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误；
选项：，不是对应边，无法确定比例，错误；
选项：，不是对应边，无法确定比例，错误；
3．D
解：，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，，故B、C正确，D错误．
4．C
解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到，
∴点A，O，在同一直线上，，，，
∴点O到与的距离之比是，
故选项C错误.
5．B
解：∵与 位似，
∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心，
由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似，
∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，
∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间，
∴位似中心在线段上，且在线段上，
∵点在同一直线上，且顺序为，
∴位似中心在线段上．
6．C
解：∵四边形是平行四边形，
，
；
，
，
设的高为，
，，
．
，
．
7．B
解：∵，，
∴，，
∵和是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴．
8．B
解：∵，点为中点，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理，得．
关于x的方程中，
∴方程有两个相等的实数根．
9．D
解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，
∴相似比，的坐标为或，
∴的坐标为或．
10．C
直线（k＜0）与y轴交于点A，
点横坐标为，纵坐标，
，
，
，
，
，
，，
点坐标是．
11．B
【详解】解：由题意，得，．
，，
．
①当时，
，
，
，
，
解得；
②当时，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或2．
12．B
解：由函数图象可知，当时，图象出现转折，说明点运动到点，
．
四边形是菱形，
，．
当时，线段的长最小，由图象可知，的最小值为．
此时，
，，
，
，
是的中点，
，
，
．
在中，，
，是的中点，
．
二、填空题。
13．
解：以的顶点为位似中心，作的位似图形．
．
．
．
．
14．4
解：∵，与的面积比为，
∴，
∵三角形边长为正数，
∴，
∵，
∴．
15．
解：∵，，
∴，
∵与位似，位似中心是原点O，
∴，
∵，
∴，即．
16．
解：设正方形的面积为，，…，．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
在中，，
正方形的面积．
四边形是正方形，
，．
，，
∵∠ADO=∠BAA1．
∴∠DOA=∠ABA1，
，
，即，解得．
∴A1C=A1B+BC=，
正方形的面积．
同理可得正方形的面积，
第个正方形的面积为．
三、解答题．
17.(1)如图所示即为所求
(2)，
解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限，
∴ 对应点坐标为原坐标乘．
∵，
，．
根据勾股定理得
．
18.（1）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴．
19.(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
由（1）已证：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得．
20.(1)
证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ADB∽ EDA，
∴，
即，
∴．
21.(1)证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
(2)解：设，则，
，
，
，
，
．
22.（1）解：由题意，得，
则，
则；
，，，
，
解得；
（2），，
，
∵反射角等于入射角，
，
，
，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
23.(1)
(2)
(3)
24.(1)
（2）解：，且，
∴；
（3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到，
根据，
∴，
∴，
∴；
25.(1)证明： ∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接、，设，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵点为的中点，
∴，，
在中，，点为的中点，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．

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