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2026—2027学年九年级上册第一次月考真题重组卷04
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A．空中楼阁 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．守株待兔
2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线
C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点
4．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）同班同学小明和小芳从校门口到教室需要经过刷脸通道后爬楼梯到达教室，已知学校有两个刷脸通道，三个楼梯，那么某天小明和小芳经过相同的刷脸通道，相同的楼梯到达教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（25-26九年级上·浙江·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，这个函数图象如图所示．小球从第秒到第秒的运动路径长为（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·浙江金华·月考）根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（ ）
x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4
的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36
的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42
A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间
8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3
y m n
有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（）
A．① B．② C．③ D．②③
9．（25-26九年级上·浙江金华·月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
则不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知二次函数，当______时，图象经过原点．
12．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______．
13．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被等分成了三个扇形，B盘被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字，如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为偶数的概率是__ ．
14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
15．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则方程的解是___________．
16．（24-25九年级上·浙江金华·月考）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成．
(1)共有多少种可能密码？
(2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？
(3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由．
18．（22-23九年级上·浙江湖州·月考）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“世”、“界”、“杯”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“杯”的概率；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的概率．
19．（23-24九年级上·浙江杭州·月考）已知抛物线，若此抛物线与轴只有一个公共点且过点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
20．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(3)小滨说：“该超市每天的利润最大为元”；小江说：“该超市每天的利润最大为元”．你认为谁说得对？请说明理由．
21．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和该二次函数的顶点坐标；
(2)当时，求自变量的取值范围．
22．（22-23九年级上·浙江台州·月考）如图，以为顶点的抛物线交 y轴于点
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点是否也在这个抛物线上？
(3)你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点？ 若能，请写出平移的方法．
23．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
24．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
(2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
(3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B B B C C B
1．D
此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、空中楼阁表示虚幻，不可能发生，故此选项不合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；
C、水中捞月是不可能事件，故此选项不合题意；
D、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意．
故选：D．
2．B
本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键，
根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答．
解：A、是一次函数，故A错误；
B、是二次函数，故B正确；
C、不是二次函数，故C错误；
D、是反比例函数，故D错误；
故选：B．
3．D
此题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一判断开口方向、对称轴、增减性及点是否在图象上．
解：∵函数为，，
∴图象开口向上，A正确；
对称轴为直线，B正确；
∴当时，随增大而增大，C正确；
当时，，
∴图象不经过点，D错误．
故选：D．
4．D
本题考查列表法与树状图法求概率，概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
画出相应的树状图，根据概率公式即可求解．
解：根据题意，可画树状图如下所示：
，
由上可得，到达教室一共有6种可能性，
设这六种可能分别用1,2,3,4,5,6表示，画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中小明和小芳经过相同的刷脸通道共有6种结果，
∴小明和小芳经过相同的刷脸通道，相同的楼梯到达教室的概率是，
故选：D．
5．B
本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解．
解：根据题意，当时，得：，
解得：或．
∴水面宽度为：（米）．
故选：B．
6．B
本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的顶点坐标求解与路程的分段计算是解题关键．
先根据二次函数的顶点坐标确定小球到达最高点的时间，再分别计算“第2秒到最高点”的上升高度、“最高点到第4秒”的下落高度，两者相加即为运动路径之长．
解：已知小球的高度与小球运动时间之间的关系式为，
其顶点横坐标为小球到达最高点的时间，
二次函数顶点的横坐标为，
当时，对应的高度为，
当时，对应的高度为，
当时，对应的高度为，
可得：
小球从第秒到第秒上升的高度为：，
小球从第秒到第秒下降的高度为：，
总路径长：．
故选：．
7．B
本题考查估算方程的解，掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．由表格可知，当时，，当时，，进而即可得出答案．
解：由表格可知，当时，，
当时，，
当时，存在一个x的值，使，
故答案为：B．
8．C
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的相关性质，通过待定系数法求二次函数解析式，再判断各结论的正确性．
∵由表可知，当时，当时，当时，
即该函数图像经过点,
代入得，解得，
∴该二次函数解析式为，
∴，故①错误，
∵，
∴该函数图像开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴左侧y随x的增大而增大，
又∵该函数图像的对称轴为，包含对称轴右侧，
∴y不是始终随x的增大而减小，故②错误；
当时，，即，
当时，，即，
∴，故③正确．
故选：C．
9．C
本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位．
解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位；
∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位；
∴原函数向右平移3个单位得；
再向下平移2个单位得．
故选：C．
10．B
本题考查了二次函数和不等式的关系，根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，进而可得的解集
解：根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，过点
∴不等式的解集为或
故选：B．
11．1
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法．
根据函数过原点，代入求解即可．
由题知函数过原点，
，解得．
故答案为：1．
12．
本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案．
解：由题意知，红球的概率为：，
故答案为：．
13．
本题考查了概率，将B盘分成相等的三份，用画树状图的方法表示出所有情况根据题意求概率即可．
解：将B盘标6的部分平均分成两部分，分别记为6，6，即将B盘平均分成三份，画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中指针指向的数字之和为偶数的结果有4种，所以指针指向的数字之和为偶数的概率为．
故答案为：．
14．
本题考查二次函数的顶点式应用，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的求解，将实际问题转化为二次函数模型是解题关键．
先将已知点代入抛物线顶点式，求出系数的值，得到完整的函数表达式，再令，解关于的一元二次方程，取正根即为铅球掷出的水平距离．
解：，
点坐标为，
将代入抛物线中，
可得，解得，
抛物线为，
令，则，
移项、化简：，
解得，（不符合题意，舍去），
故．
故答案为：．
15．
本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解．
解：由图象知，抛物线的对称轴为：，
∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为，
∴另一个与轴的交点为，
∴方程的两个根为．
故答案为：
16．
本题考查二次函数的图象和性质，根据题意求出抛物线的对称轴，，分类讨论：点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧；点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，进行解答，即可．
解：∵抛物线，
∴抛物线图象开口向上，对称轴，，
∵，在抛物线对称轴的两侧，
∴当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧；
∴，
即，
解得：，无解；
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
不是．
理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码．
本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键．
(1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果；
(2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可；
(3)用概率解释．
（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种，
密码的可能性有：（种）；
（2）；
（3）略
18．(1)
(2)
本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先列出表格，然后再根据概率公式进行计算即可．
（1）解：∵口袋里装有分别标有汉字“世”、“界”、“杯”的三个小球，
∴任取一个球，球上的汉字刚好是“杯”的概率是；
（2）解：由题意，列表如下：
世 界 杯
世 / 世、界 世、杯
界 界、世 / 界、杯
杯 杯、世 杯、界 /
共有6种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的情况有2种，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的概率是．
19．(1)
(2)或
本题考查了二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式是解题的关键．
（1）由题意得：，计算求解，进而可得解析式；
（2）将代入，可求，即，将代入，可求，联立，，计算求解，然后根据函数与不等式组的关系求解即可．
（1）解：由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：将代入得，，即，
将代入得，，
解得，，
联立，，
解得，，
∴，
∵，
∴或．
20．(1)
(2)该商品的销售单价为元
(3)
小江说的是正确的，理由如下：
设该超市的每日利润为元，
，
且对称轴为，
时取得最大值6000，
该超市每天的利润最大为元，
小江说的是正确的．
本题考查了一次函数的实际应用、一元二次方程的求解以及二次函数的最值问题，结合实际销售的取值范围分析是解题关键．
（1）通过图像上的两点坐标，利用待定系数法求出销量与单价的一次函数关系式；
（2）根据“利润（单价成本）销量”列出方程，求解后结合单价的取值范围确定有效解；
（3）构建利润的二次函数表达式，结合二次函数的性质与单价的取值范围，判断利润的最大值．
（1）解：设函数关系式为
将点、代入得：
解得：，
函数的表达式为；
（2）解：由题意得，，
解得：，（舍去），
答：该商品的销售单价为元．
（3）略
21．(1)
的值为，该二次函数的顶点坐标为
(2)
或
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴，
∴该函数图象的顶点坐标为，
由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为；
（2）令，则：，
，
解得，
∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上，
∴当时，或．
22．(1)
(2)点不在这个抛物线上
(3)把抛物线向右平移个单位或个单位可经过点
（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）求出当时，的值即可得出结果；
（3）设平移后的抛物线的解析式为，将代入可得，解得，，由此即可得出结果．
（1）解：设抛物线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
故点不在这个抛物线上；
（3）解：设平移后的抛物线的解析式为，
将代入可得，
解得：，，
∴把抛物线向右平移个单位或个单位可经过点．
23．(1)，顶点坐标为
(2)x的取值范围是
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质：
（1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）结合图象，即可得到答案．
（1）解：由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的表达式为．
因为，
所以抛物线的顶点坐标为；
（2）解：观察图象，
当时，抛物线在直线的下方，即，
所以x的取值范围是．
24．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键．
（1）根据折线统计图，用频率估计概率即可；
（2）用丁区域的圆心角度数除360度即可；
（3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，
∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，
根据题意可列表如下：
甲 乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
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2026-2027学年九年级数学上册第一次月考真题重组卷04
（浙教版，测试范围：第1-2章） 试卷分析
一、单选题 1 0.94 事件的分类
2 0.94 二次函数的识别
3 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
4 0.65 列表法或树状图法求概率
5 0.65 拱桥问题(实际问题与二次函数)
6 0.65 y=ax +bx+c的最值；投球问题(实际问题与二次函数)；从函数的图象获取信息
7 0.65 求反比例函数值；图象法确定一元二次方程的近似根
8 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
9 0.65 二次函数图象的平移
10 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据交点确定不等式的解集
二、填空题 11 0.94 y=ax +bx+c的图象与性质
12 0.65 根据概率公式计算概率；由频率估计概率
13 0.65 列表法或树状图法求概率
14 0.65 已知二次函数的函数值求自变量的值；待定系数法求二次函数解析式；投球问题(实际问题与二次函数)；y=a（x-h） +k的图象和性质
15 0.65 抛物线与x轴的交点问题
16 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质
三、解答题 17 0.85 根据概率公式计算概率；概率的其他应用
18 0.85 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
19 0.65 抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集
20 0.65 求一次函数解析式；营销问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
21 0.65 利用不等式求自变量或函数值的范围；把y=ax +bx+c化成顶点式
22 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
23 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
24 0.65 几何概率；列表法或树状图法求概率；由频率估计概率

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