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2026—2027学年九年级数学上册第一次月考押题卷
数 学
（测试范围：人教版2024九年级上册，第25-26章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．15 B．19 C．15或19 D．18或20
7．在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值
9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
10．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________．
12．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限．
13．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米．
14．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________．
15．若一元二次方程有两个实数根，且一个根是另一个根的2倍，称该方程为“倍根方程”．若关于的方程是倍根方程，则的值为________．
16．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）．
(1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当时，矩形的面积为多少
19．某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
(1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
20．已知二次函数，且当时，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求y的最大值和最小值．
21．如图，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标;
(2)若点C为点B关于抛物线对称轴对称的点，点P在抛物线上且在第四象限内，且，求点P的坐标．
22．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）．
(1)若菜地的面积为，求的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由．
23．如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积．
(1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm．
(2)在运动过程中，求的最大面积．
24．如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，……
(1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ；
(2)探究发现，120是前 行的点数和；
(3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C C D C C B
1．D
根据一元二次方程的定义，需保证二次项系数不为0，列不等式求解．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴二次项系数不为0，
即，
解得．
2．B
根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解．
解：∵方程是一元二次方程，
∴，且，
由得，即，
由得，
∴．
3．D
解：在方程中，，，，
，
∴ ．
4．A
利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可．
解：∵它的两根分别为，，
∴，，
∴
．
5．C
确定年到年的增长次数为2，结合年平均增长率的计算规则列方程．
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为，
年平均每公顷产，年平均增长率为，
年平均每公顷产量为，
年平均每公顷产量为，
年平均每公顷产，
列方程得．
6．C
先求出一元二次方程的根，再结合三角形三边关系确定第三边的长，最后计算周长．
解：∵三角形两边的长分别是4和6，
∴ 第三边的长 ，
解方程 得 或 ，
∵ ，，
∴ 第三边的长为5或9，
∴ 该三角形的周长为 或 ．
7．D
先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答．
解：A、由函数的图象可知，
则函数的图象应该开口向上，故A选项错误；
B、由函数的图象可知，
则函数图象的对称轴为，
则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误；
C、由函数的图象可知，
则函数的图象应该开口向下，故C选项错误；
D、由函数的图象可知，
则函数图象的对称轴为，
则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确．
8．C
先把点代入得，求出或，结合抛物线的对称轴在轴右侧，则，然后根据二次函数的性质求解即可.
解：∵二次函数的图象经过点，
∴将，代入得，
解得或，
∵二次函数的对称轴为，对称轴在轴右侧，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为，
配方得，
∵，抛物线开口向下
∴该二次函数有最大值，最大值为.
9．C
将不等式变形为，结合图象找出二次函数图象在一次函数图象下方对应的取值范围即可．
解：不等式移项，得，
∵二次函数与一次函数的交点为及轴上的点，
∴交点横坐标分别为和，
由图象可知，当时，抛物线在直线下方或重合，
∴不等式的解集为．
10．B
连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解．
解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，
边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，
，，，垂直平分，
，
①当时，叠部分的面积为，此时，
，
，
，
，
；
②当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
，
即当时，有最大值为2；
③当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
；
④当时，叠部分的面积为，此时，
同理可得，，
，
综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线，
只有B选项符合题意．
11．
因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围．
解：∵ 是关于 的二次函数，
∴，
∴．
12．四
根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限．
解：二次函数图象的开口方向向下，
，
二次函数的对称轴，
，
当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴，
，
，，
点在第四象限．
13．
抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离．
解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米，
点的横坐标为，
将代入抛物线解析式，得，
警示灯离水面的距离为米．
14．或
根据图象判断抛物线高于直线的区间即可．
解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线，
∴当或时，．
15．
设方程的两根为和，利用一元二次方程根与系数的关系列等式求解即可．
解：设方程的两个根分别为和，
∵对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为，
∴；，
∴；，
∴．
16．
观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解．
解：将方程变形为，
设，则原方程可化为，
∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴有一个根为，
即，解得，
因此一元二次方程必有一个根为．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
（1）解： ，
移项得 ，
系数化为1得 ，
开平方得 ，
即 ，；
（2）解：，
系数化为1得 ，
开平方得 ，
即 ，；
（3）解：
开平方得
当，解得；
当，解得 ，
即 ，；
（4）解：
整理得，
开平方得 ，
当，解得 ；
当，解得 ．
即 ，．
18．(1)．
(2)
（1）篱笆只围三边，垂直墙的两边长度都是，平行于墙的边长为；矩形面积长宽，由此列出二次函数，再根据边长大于0求自变量范围；
（2）直接代入第一问解析式求值．
（1）解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
矩形面积：，
又矩形边长必须大于0，
，
解得：，
函数解析式：，自变量取值范围．
（2）解：把代入解析式：
，
当时，矩形面积为．
19．(1)
每次降价的百分率为
(2)
每台冰箱的售价应定为元
本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为，根据标价为元，最后以每台元的价格卖给中奖者，列出方程进行求解即可；
（2）设每台冰箱的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
（1） 解：设每次降价的百分率为，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：每次降价的百分率为；
（2） 解：设每台冰箱的售价应定为元，
由题意，得：，
解得：,
答：每台冰箱的售价应定为元．
20．(1)；
(2)y的最大值为，最小值为．
（1）解：∵当时，，
，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：由（1）可知该函数图象开口向下，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小．
∵当时，，当时，，
∴当时，y的最大值为，最小值为．
21．(1)，
(2)
（1）根据二次函数的性质解答即可；
（2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解．
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴，
令，，
∴．
（2）解：设点的坐标为，
∵点P在第四象限内，
∴，
∵抛物线的对称轴为，B、C关于对称轴对称，，
，
∴，平行x轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
代入抛物线：得，，
解得，
∵，
∴，
．
22．(1)的长为或
(2)该菜地的面积不能为，理由如下：
设的长为，则，
由题意，得，
整理，得，解得，
当时，，
即当时，，
∴这棵古树没有被围在菜地里，
∴要将这棵古树围在矩形菜地内，该菜地的面积不能为．
（1）设的长为，则，由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得方程，求出y的值，然后再根据P处这棵树是否被围在菜地内进行分析即可．
（1）解：设的长为，则，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
答：的长为或．
（2）略
23．(1)；
(2)
（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出；
（2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
（1）解：当，同时出发后经过时，，，
又，
∴；
（2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，
则．
∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为．
24．(1)10；
(2)15
(3)解：不能，理由如下：
根据题意可得：，整理得，．
，即方程的两根均为无理数．
三角形点阵中前行的点数和不能是60．
（1）利用倒序相加求和来解决第二空；
（2）根据一元二次方程有正整数解即可判断；
（3）根据一元二次方程没有正整数解即可判断．
（1）解：前四行的点数分别是：1，2，3，4；
前四行的点数和是：；
前行的点数分别是：1，2，3，4，，，
前行的点数和是：；
（2）解：由题意得，
整理得到：，
，
解得：（舍去），
所以120是前行的点数和；
（3）略
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2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考押题卷（测试范围：第25-26章） 试卷分析
一、单选题
1 0.85 由一元二次方程的定义求参数
2 0.75 解一元二次方程——直接开平方法；由一元二次方程的定义求参数
3 0.7 公式法解一元二次方程
4 0.7 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值；由一元二次方程的解求参数
5 0.7 增长率问题(一元二次方程的应用)
6 0.65 因式分解法解一元二次方程；构成三角形的条件；三角形三边关系的应用
7 0.65 一次函数、二次函数图象综合判断；已知函数经过的象限求参数范围；根据二次函数的定义求参数
8 0.65 待定系数法求二次函数解析式；把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值
9 0.65 根据交点确定不等式的解集
10 0.45 动点问题的函数图象；求正方形重叠部分面积；图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、填空题
11 0.85 根据二次函数的定义求参数
12 0.74 判断点所在的象限；y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
13 0.7 拱桥问题(实际问题与二次函数)
14 0.65 根据交点确定不等式的解集
15 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；由一元二次方程的解求参数
16 0.65 由一元二次方程的解求参数
三、解答题
17 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；解一元二次方程——配方法
18 0.7 列二次函数关系式；求自变量的取值范围；求自变量的值或函数值；求不等式组的解集
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；y=ax 的图象和性质
21 0.65 面积问题(二次函数综合)；y=a（x-h） +k的图象和性质；根据二次函数的对称性求函数值；求抛物线与y轴的交点坐标
22 0.64 因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
23 0.63 列代数式；图形运动问题(实际问题与二次函数)
24 0.57 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；用代数式表示数、图形的规律

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