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2026—2027学年九年级数学上册第一次月考真题重组卷
数 学
（测试范围：人教版2024九年级上册，第25-26章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·山西晋中·月考）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·甘肃定西·月考）某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·山西晋中·月考）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（26-27九年级上·陕西榆林·月考）若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（26-27九年级上·安徽合肥·月考）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）．
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·广东汕头·月考）若，则的值为（ ）
A． B．4 C．4或 D．或2
7．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
8．（26-27九年级上·四川泸州·月考）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（ ）
A．16 B．8 C．14 D．9
9．（26-27九年级上·云南曲靖·月考）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（26-27九年级上·辽宁铁岭·月考）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围）
12．（26-27九年级上·四川达州·月考）如果，是方程的两个实数根，则的值为________．
13．（26-27九年级上·河南周口·月考）如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________．
14．（26-27九年级上·辽宁铁岭·月考）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________．
15．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？
16．（26-27九年级上·北京西城·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：
①；
②；
③若，是抛物线上的两点，则；
④；
⑤（其中）．
其中正确的结论是__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（26-27九年级上·新疆和田·月考）解下列一元二次方程：
(1)（直接开平方法）
(2)（因式分解法）
(3)（配方法）
(4)（公式法）
18．（26-27九年级上·陕西榆林·月考）已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)试判断点是否在该二次函数的图象上．
19．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”．
(1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号）
①；②；③；
(2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值．
20．（25-26九年级上·陕西安康·月考）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)判断方程是否为“伴根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，
①求m的值；
②在①的条件下，若，解关于的方程．
21．（25-26九年级上·江苏南京·月考）每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元．
(1)求与的函数关系式并写出的取值范围；
(2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
22．（26-27九年级上·河南周口·月考）某农场有一块空地，空地上有一面长为的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为的门，已知木栏总长为．
(1)如图1，当 时，设长为．
①请用含x的代数式表示的长，并写出x的取值范围；
②若围成的菜地的面积为求的长；
(2)如图2，当时，请通过计算说明围成的菜地的面积能否为．
23．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点．
(1)求点的坐标；
(2)不等式的解集为_____；
(3)若点在抛物线上，且，求点的坐标．
24．（25-26九年级上·山西大同·月考）综合与实践
问题情境
在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内．
建模分析
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为）
（1）①求抛物线的解析式．
②求球员乙到点的距离．
问题解决
（2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号）
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A D B C A C C
1．C
解：A、方程未明确，当时不是二次方程，不符合题意；
B、方程含两个未知数，不符合一元要求；
C、方程只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求；
D、方程分母含未知数，是分式方程，不符合题意．
2．A
结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程．
解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得．
3．D
根据同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件解答即可．
解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴，即，
解得，
综上，的取值范围是且．
4．A
解：由根与系数的关系，得，，
解得，，
．
5．D
根据题意得到，代入解析式求解即可．
解：由题意得，
，
解得：，，
又，
，，
，
即点到点的距离是．
6．B
采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根．
解：设，由平方的非负性得．
方程可化为．
整理得．
．
解得，．
∵，
∴不符合题意，舍去．
∴．
7．C
本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．
解：选项A：，为一次函数，不是二次函数；
选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
选项C：，是整式，，一定为二次函数；
选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数；
故选C．
8．A
利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积.
解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上，
长方形关于轴对称，
点的横坐标为，
点的横坐标为，当时，，
点的坐标为，
，，
根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积，
阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积，
.
9．C
观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可．
解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标分别为和，
观察图象，当时，抛物线位于直线下方，
∴不等式的解集为．
10．C
根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号．
解：∵抛物线开口向下，
又∵抛物线与 轴交于正半轴 ，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，故选项正确；
∵，
∴，
∴，故选项错误；
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴，故选项错误 ；
由图象可知，当 时，，
∴，故选项错误；
故选．
11．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案．
解：由题意得：长方形的长为，
∴，
故答案为：．
12．
利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可．
解：是方程的实数根，
，整理得，
．
，是方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：，，
将结果代入所求式子得：．
13．2
设运动时间为，根据题意得：，其中，则，根据的面积为矩形面积的，列出方程，即可求解．
解：设运动时间为，
根据题意得：，其中，则，
∵在矩形中，，
∴，
∵的面积为矩形面积的，
∴，
∴，
解得：，
即运动时间为2秒．
14．
求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围．
解：令，得解得，
抛物线与轴交点为和
新函数在时，；
在或时，
当直线与相切时
方程有两个相等实数根
整理得
即
解得
当直线经过点时
，解得
如图，
结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点．
15．
本题考查了二次函数的应用，
根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额．
解：降价后每件盈利为元，日销售量为件，
故，
因二次项系数，
故函数有最大值，
当时，w最大．
故答案为：．
16．①②⑤
根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题．
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∴，故④错误；
把代入得：，
∴，故②正确，
∵，抛物线开口向下，
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，抛物线y取得最大值，
当时，，且，
∴，故⑤正确；
综上：①②⑤正确．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
（1）利用直接开平方法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
（3）利用配方法求解即可．
（4）利用公式法求解即可．
（1）解：∵,
∴，
解得，．
（2）解：∵，
∴，
解得，．
（3）解：，
，
移项，得，
合并同类项，得
配方，得，即．
两边开平方，得．
解得，．
（4）解：∵,
在这里，
∴，
解得，．
18．(1)
(2)点不在该二次函数的图象上
（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可；
（2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可．
（1）解：∵（为常数）是二次函数，
∴，且，
解得或，
又∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴这个二次函数的解析式为，
当时，，
∴点不在该二次函数的图象上．
19．(1)
①
(2)
的值为或
(3)
，，
（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可；
（2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值；
（3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值．
（1）解：
或
所以：，
，
所以是和谐方程；
或，
所以：，
，
所以：不是和谐方程；
所以：不是和谐方程；
（2）
或，
若，，根据和谐方程的定义，可得：，
解得：；
若，，根据和谐方程的定义，可得：，
解得：；
综上所述，m的值为1或2；
（3）设方程两根为，且，
根据根与系数的关系，可以得：，，
，，
，，
将代入得：，
将代入得：，
将代入得：，
解得：，
当时，，，
方程为，
解得，满足、，符合题意；
当时，，，
方程为，
解得，，不满足，不符合题意，舍去；
综上所述，，，．
本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用．
20．(1)是“伴根方程”
(2)①或；②
（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断；
（2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解；
②首先由得到，然后代入求解即可．
（1）解：，
，
或，
解得，，
∵，
∴方程是“伴根方程”；
（2）解：①∵，
∴或，
∴，，
∵方程（m是常数）是“伴根方程”，
∴，
∴或；
②∵，
∴，
∴关于t的方程为，
∴，
∴．
21．(1)
(2)当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答；
（2）利用二次函数的顶点坐标公式进行计算，即可解答．
（1）解：根据题意，可得：
，
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
解得；
答：与的函数关系式为，的取值范围是；
（2）解：函数中，
∵，
∴函数开口向下，
∵对称轴为，且，
∴，随增大而增大，
∴当时，．
答：当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．
22．(1)①；②
(2)不能围成，
假设围成的菜地的面积能为，
设长为，则，
根据题意得：，
整理得：，
此时，
∴此方程没有实数根，
∴假设不成立，即当时，围成的菜地的面积不能为．
①设长为，则，根据题意，列出不等式组，即可求解；
②根据题意，列出方程，结合①中x的取值范围解答即可；
（2）假设围成的菜地的面积能为，设长为，则，根据题意，列出方程，即可求解．
（1）解：①设长为，则，
根据题意得：，
解得：；
②根据题意得：，
解得：，
因为，
∴，
即的长为；
（2）略
23．(1)，，
(2)或
(3)或
（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解；
（3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案．
（1）解：对于抛物线，
令，得，
∴，
令，则，解得，，
∴，；
（2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围，
即或；
（3）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将点，的坐标代入，得：，解得，
∴直线的解析式为，
如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴取，此时，
故；
如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点，
设，则，
∴，
∴，
∴，解得，
∵，
取，，
故；
综上，或．
24．（1）①；②；（2）
本题考查了二次函数的实际应用，涉及抛物线解析式的求解、顶点坐标的运用以及利用函数模型解决实际问题；解题的关键是正确建立平面直角坐标系，根据已知条件确定抛物线的顶点和经过的点，并理解“形状相同”意味着二次项系数相等．
（1）①由于已知抛物线的顶点和点，可设顶点式代入求解；②球员乙到点的距离即为点的横坐标，将代入解析式解方程，根据实际意义取舍；
（2）由与形状相同得二次项系数相同，结合顶点高度和经过点，求出解析式，再令得落地点，计算的长度．
解：（1）①根据题意得，点的坐标为，点的坐标为，且点为抛物线的顶点．
设抛物线的解析式为，将点代入，得，
解得．
抛物线的解析式为，即．
②在中，当时，，
解得（舍去）．
由实际情境，球员乙应在球员甲之后（），故取，
点的横坐标为，即球员乙到点的距离为．
（2）根据题意得，设抛物线的顶点坐标为，
则解析式为，
将点代入，得．
解得（舍去）．
由顶球后球向前运动，顶点横坐标应大于点横坐标，
抛物线的解析式为．
当时，．
解得（舍去）．
∵落地点在前方，
．
．
答：他需要跑的距离的长度为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共5张PPT)
2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考真题重组卷（测试范围：第25-26章） 试卷分析
一、单选题
1 0.9 一元二次方程的定义；分式方程的定义；二元一次方程的定义
2 0.75 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
3 0.7 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
4 0.7 一元二次方程的根与系数的关系
5 0.7 已知二次函数的函数值求自变量的值；拱桥问题(实际问题与二次函数)
6 0.65 因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
7 0.65 二次函数的识别
8 0.65 面积问题(二次函数综合)；y=ax 的图象和性质
9 0.65 根据交点确定不等式的解集
10 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
二、填空题
11 0.85 列二次函数关系式
12 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 根据矩形的性质求面积；动态几何问题(一元二次方程的应用)
14 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；求抛物线与x轴的交点坐标；抛物线与x轴的交点问题
15 0.65 y=ax +bx+c的最值；销售问题(实际问题与二次函数)
16 0.6 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数的对称性求函数值；y=ax +bx+c的最值
三、解答题
17 0.7 解一元二次方程——直接开平方法；解一元二次方程——配方法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18 0.68 因式分解法解一元二次方程；根据二次函数的定义求参数；y=ax +k的图象和性质
19 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；解分式方程（化为一元一次）；解分式方程（化为一元二次）
20 0.65 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数
21 0.65 y=ax +bx+c的最值；用一元一次不等式解决实际问题；列二次函数关系式；销售问题(实际问题与二次函数)
22 0.63 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；根据矩形的性质求面积；一元一次不等式组的其他应用
23 0.57 面积问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；求抛物线与y轴的交点坐标；图象法解一元二次不等式；根据交点确定不等式的解集
24 0.4 求抛物线与x轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式；投球问题(实际问题与二次函数)

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