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第1章《三角形》单元自测卷
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（ ）
A． B． C．D．
2．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
10．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ）
A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥D．①②④⑥
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______．
12．如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____．
13．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________．
14．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______．
15．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______．
16．如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________．
三．解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分．）
17．如图，，，，垂足分别为，，．求证：．
18．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
19．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图．
(1)过点画边的垂线，交于点；
(2)过点画的高；
(3)线段______的长度是点到直线的距离．
20．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接．
(1)连接，，若，求的周长；
(2)若，求证：平分．
21．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．如图，是等边三角形，是边上的点，且，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
23．如图，于点，于点F．若，．
(1)求证：平分．
(2)已知，，求的长．
24．探究解题
(1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点．
①试说明：；
②若，，求的长．
【问题解决】
(2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计）
参考答案
一．单项选择题
1．D
解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意．
2．D
解：由题意可知，，，，
，
，
．
3．D
解：根据旋转的性质得，
∴．
4．A
解：分两种情况讨论：
当为腰长时，底边长为，
∵，
∴无法构成三角形，此情况舍去.
当为底边长时，腰长为.
∵，
∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为．
5．A
解：∵的面积为，的面积为，
∴，
∵、分别是的两条中线，
∴，，
∴，，
∴．
6．D
解：三条直线两两相交围成一个三角形；
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点；
∴共有处可供选择的地址．
7．C
根据题意整理已知条件：
由 ，，可得 ，
∵ ，，
且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边，
满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据．
8．B
解：如图所示：
①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个；
②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个；
故符合条件的点C共有个．
9．C
解：设运动时间为，
∵D是中点，，
∴，，
由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴分两种情况：
当时，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∴，
∴，
解得：，；
综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或．
10．A
解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
故①正确；
由①知，，
，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
点Q在上，是等边三角形，
，
，
故③错误；
连接，在上取点M，使得，连接，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
由③知，，
，
，
是等边三角形，
故⑤正确；
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
由于题中没有给出这一条件，
所以不能成立，
所以也不能成立，
故⑥错误；
所以正确的结论有①②④⑤．
二．填空题
11．
解：∵在和中，，，
∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是．
12．
解：设小正方形的边长为1 如图，
在中，，，
是等腰直角三角形．
．
在和中，
，
．
．
在中，，
．
．
13．
解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．15
解：连接，，，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长为∶，
∵F是、垂直平分线的交点，
∴．
∵，
∴M是的中点，
∴．
15．
∵，
∴，，
∵平分，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴．
16．
解：是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
三．解答题
17．证明：∵，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
18．解：支持小丽的观点，证明如下：
∵，，，
∴
∴．
19．(1)
解：下图直线即为所求，
(2)
解：下图线段即为所求，
（3）解：线段的长度是点到直线的距离．
20．（1）解：垂直平分，
．
同理：．
的周长；
(2)
证明：，垂直平分，垂直平分，，
，，
．
平分．
21．(1)
证明：，是边上的中线，
，
又，
，
，
；
（2）解：，
，是边上的中线，
．
22．(1)
证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中
∴．
(2)
解：是等边三角形，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴是等腰三角形，且，
∴是等边三角形．
23．（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
24．(1)①证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
②解：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
答：花坛内区域的面积为．

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