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第3章《圆》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各图中的为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
3．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定
4．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________．
12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________．
13．一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________．
14．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°．
15．如图，已知点B为的中点，切于点C，点A，O，D在一条直线上．若，则_____．
16．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（4分）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
18．（6分）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由．
19．（6分）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线；
20．（8分）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求残片所在圆的半径．
21．（8分）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
22．（10分）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．（10分）已知四边形是的内接四边形，，连接．
(1)如图①．求的度数；
(2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积．
24．（10分）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
25．（10分）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
(1)求证：是小圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
参考答案
一、选择题
1．C
解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角．
2．D
解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意；
B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意；
D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意；
故选：D
3．A
解：∵的半径为，，且，
∴点A在外．
4．A
解：如图，连接，
∵与都是所对的圆周角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
5．D
解：∵，，，，
∴．
∵ 外心为斜边的中点，
∴ 外接圆半径．
∴ 外心与顶点的距离为．
故选：D．
6．D
解：
连接，
∵，且，
∴，
设圆的半径为R，
∵，
则在中，有即，
解得，即，
故选项D符合题意．
7．A
解：设圆半径为，则，
四分之一圆的圆心角为，
四分之一圆的面积，
正十二边形的中心角为，
图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形，
设其中一个等腰三角形为，，，
过点作于点，
在中，，，
，
，
四分之一正十二边形的面积，
剩余面积 ．
8．C
解：正六边形的边长为1，
，，
，
同理可得：，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
扇形（阴影部分）的面积．
9．C
解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
的半径为，
，
，
，
．
10．C
解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径，
∵为的直径，
∴，
∵和都是所对的圆周角，，
∴，
∴，
∵，是的切线，，是切点，
∴，，
∴，，
∴．
二、填空题
11．
解：的半径为，，
，即点在内，
点到上各点的最大距离为．
12．
解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等．
已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则：
．
13．
解：，
，
解得 或，
故两直角边长分别为和．
由勾股定理，斜边长为 ．
故外接圆直径为 ．
故答案为：．
14．
解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点，
∴，
∴．
15．
解：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵点B为的中点，
∴，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：，
故答案为：．
16．
解：如图所示，连接．
∵点是切点，
∴,
∵，
∴,
∵，
∴,
∵,
∴为等腰三角形，
∴,
∴,
∵与同底等高，
∴，
∵半径，圆心角，
∴扇形面积．
三、解答题
17．证明：∵，
∴
∴ ，
∴，
∴，
∴．
18．，理由如下：
四边形内接于，
，
，
∴∠ADC=180 -105 =75 ，
，
∴∠ACD= ∠AOD=75 ，
，
．
19．证明：是的直径，
，
∵
，
，
，
即：，
是的切线；
20．（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：如图，连接，
设圆的半径为r，则，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即圆的半径为
21．(1)
证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
22．（1）证明:连接，
为的直径，为弦，于点，
，，，
，
，
，，
，
，
.
（2）解:根据题意，得，
，
，
，
为的直径，
，
，
在中，，
，
解得:，
．
23．（1）解：∵四边形是的内接四边形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠AOC=2∠P=120 ，
∵，
；
（2）∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
24．(1)证明：连接，如图所示：
，为斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
∵ME AB，
，
又为的半径，
是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
，
由（1）可知，，
为的直径，
，
，
在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即，
∴在中，由勾股定理可得，
∵，
∴．
25．
（1）证明：如图所示，连接，设交于H，
∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H在小圆O上，
又∵，
∴是小圆O的切线；
（2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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